Оптимальный момент выхода поставщиков ликвидности из автоматизированных маркетмейкеров

6/10

Ключевые слова: автоматизированные маркетмейкеры; децентрализованные финансы; предоставление ликвидности; оптимальная остановка; алгоритм Лонгстаффа–Шварца; вариационные неравенства; уравнение Гамильтона–Якоби–Беллмана; вязкостные решения.

Аннотация

Мы изучаем задачу оптимального вывода ликвидности представительным поставщиком ликвидности (LP) в автоматизированном маркетмейкере (AMM). LP зарабатывают комиссии с торговой активности, но подвержены непостоянным потерям (impermanent loss, IL) из-за колебаний цен. Существующие работы рассматривали статическое предоставление и экзогенные стратегии выхода; здесь оптимальный момент выхода характеризуется как решение задачи стохастического управления с эндогенным моментом остановки. Функция ценности LP удовлетворяет квазивариационному неравенству Гамильтона–Якоби–Беллмана, для которого установлена единственность в вязкостном смысле. Численно реализованы два взаимодополняющих подхода: схема Эйлера на расщеплении операторов и регрессионный метод Лонгстаффа–Шварца. Калиброванные симуляции показывают, как оптимальная стратегия выхода зависит от волатильности оракульной цены, уровня комиссий и поведения арбитражёров и шумовых трейдеров. Арбитраж порождает и комиссии, и IL; оптимальное решение LP балансирует эти противоположные эффекты по состоянию пула и рассогласованию цен. Наконец, находится оптимальный уровень комиссии для представительного LP при выведенной стратегии выхода. Работа углубляет понимание динамического предоставления ликвидности в AMM и устойчивости пассивных стратегий LP в разных рыночных режимах.

1. Введение

Децентрализованные финансы (DeFi) быстро эволюционируют. С запуска Uniswap вокруг технологии автоматизированных маркетмейкеров появилось множество инноваций. AMM — децентрализованные торговые площадки, где поставщики ликвидности (LP) и тейкеры (LT) взаимодействуют по заранее заданным правилам; см. Adams et al. (2021, 2023); Capponi and Jia (2021). Среди самых заметных дизайнов — constant function market maker (CFM) с инвариантом $f(x,y)=k$, где $x$ и $y$ — резервы двух активов, а $f$ задаёт правила торговли. Главное достоинство CFM — пассивное предоставление ликвидности: капитал можно поставить в пул без непрерывного ребаланса и активной постановки заявок, как в лимитном стакане. В обмен LP получают пропорциональную долю комиссий. Однако они несут риски, прежде всего непостоянные потери (IL) из-за расхождения цен пула и внешнего рынка.

Литература по AMM быстро растёт. Фундаментальный вклад — Angeris et al. (2020) о свойствах CFM; см. также Angeris and Chitra (2020) для мультиактивной постановки. В присутствии арбитражёров обменный курс CFM для малых сделок остаётся в полосе вокруг внешней цены, ширина которой определяется комиссиями. Установлены свойства no-splitting и no-depletion; payoff LP как функция внешней цены без комиссий — Clark (2020), концентрированная ликвидность Uniswap v3 — Clark (2021). Обобщения: децентрализованные пулы и динамические bonding curve (Cartea et al., 2024b); oracle-based AMM для смягчения IL (Bergault et al., 2024a,b,c). Хеджирование IL — Fukasawa et al. (2024); Loss-Versus-Rebalancing — Milionis et al. (2022, 2024); предсказуемые потери — Cartea et al. (2024a). Арбитраж CEX/DEX — Cartea et al. (2025); He et al. (2025); конкуренция стакана и AMM — Aoyagi and Ito (2025); Barbon and Ranaldo (2021); Lehar and Parlour (2025). Равновесие LP — Aoyagi (2020); Hasbrouck et al. (2022).

Комиссии LP — главный механизм компенсации IL, возникающего, когда арбитражёры выравнивают внутреннюю цену пула с внешней. Без комиссий LP в стандартном CFM получает вогнутый payoff, строго доминируемый холдом вне пула. Оптимальные структуры комиссий — Evans et al. (2021); Cao et al. (2025); Baggiani et al. (2025); Campbell et al. (2025); дизайн стимулов — Aqsha et al. (2025); take rate протокола — Fritsch et al. (2022). Эмпирика и теория показывают, что LP часто получают устойчиво отрицательную доходность, особенно в волатильных рынках (Canidio and Fritsch, 2023) — серьёзный вызов долгосрочной устойчивости пассивного предоставления ликвидности (Hasbrouck et al., 2025).

В этой статье изучается оптимальный момент выхода из CFM: минимизировать IL и максимизировать собранные комиссии. LP может вывести ликвидность в любой момент до фиксированного горизонта $T$ и максимизирует ожидаемую стоимость позиции с учётом накопленных комиссий и реализованного IL. Это задача стохастического управления, где момент выхода — управление. Ближайшая работа — препринт Capponi and Zhu (2025), тоже об оптимальном выходе из CFM.¹ Там — трактабельный фреймворк с замкнутыми формулами и ценными структурными инсайтами. Мы расходимся в нескольких пунктах. Во-первых, их порог статический, наш — динамический: область выхода эволюционирует во времени и зависит от текущих (стохастических и управляемых) переменных состояния. Во-вторых, они предполагают, что «цена» — геометрическое броуновское движение; мы явно разделяем фундаментальную (внешнюю) цену, где происходит ценообразование, и внутреннюю референсную цену пула, выводимую из детальной модели потоков заявок в AMM. В-третьих, они абстрагируются от стратегических тейкеров; мы явно моделируем арбитраж: как арбитражёры выравнивают внутреннюю и внешнюю цены, как их сделки реализуют IL и как это влияет на решение о выходе. Оптимальная стратегия зависит не только от внешней цены (например, Binance), но и от состояния пула (резервы и внутренняя цена). Наконец, мы учитываем риск-аверсию LP — естественную черту приложений, насколько нам известно, ещё не разобранную в литературе.

Вклад.

1. Характеризация оптимального момента выхода LP из CFM. Функция ценности соответствующей задачи оптимальной остановки — единственное вязкостное решение квазивариационного неравенства Гамильтона–Якоби–Беллмана (HJB QVI), очерчивающего область выхода.
2. Два численных подхода: схема Эйлера на расщеплении операторов и регрессионный алгоритм Лонгстаффа–Шварца.
3. Калибровка и тесты оптимальной стратегии:
   1. Средние комиссии и средний IL в оптимальный момент выхода — вогнутые функции волатильности оракульной цены.
   2. Критерий результативности (комиссии минус IL), неотрицательный в ожидании, поскольку немедленный выход всегда допустим, растёт примерно линейно с уровнем комиссии после некоторого порога: комиссии достаточно высоки, LP оптимально остаются до терминального момента.
   3. Больше активности арбитражёров и шумовых трейдеров — больше комиссионной выручки. Арбитражёры также увеличивают реализованный IL до максимума, подразумеваемого волатильностью оракула. Рост шумовой торговли поднимает комиссии, оставляя средний IL без изменений.
   4. LP склонны выходить, когда рассогласование оракульной и внутренней цен становится слишком большим: ожидаемый выигрыш от будущих арбитражных сделок перевешивается связанным IL, и LP выходят до выравнивания цен арбитражёрами.

Раздел 2 вводит вероятностный фреймворк и формулирует задачу. Раздел 3 анализирует её методами динамического программирования. Раздел 4 изучает решение и структуру оптимальной стратегии. Раздел 5 заключает. Приложение A обобщает результат на риск-аверсного LP с экспоненциальной полезностью; доказательство основного результата — в приложении B оригинала (здесь опущено).

2. Модель

2.1. Вероятностный фреймворк

Пусть $T\gt 0$ — торговый горизонт, $\Omega_c$ — непрерывные функции из $\mathfrak{T}=[0,T]$ в $\mathbb{R}$, $\Omega_d$ — кусочно-постоянные càdlàg-функции из $\mathfrak{T}$ в $\mathbb{N}$, $\Omega=\Omega_c\times(\Omega_d)^2$ с борелевской $\sigma$-алгеброй $\mathcal{F}$. Наблюдаемое состояние — канонический процесс $(\chi_t)_{t\in\mathfrak{T}}=(W_t,\hat N^b_t,\hat N^a_t)$.

Мера $\hat{\mathbb{P}}$: $W$ — броуновское движение, $\hat N^a$, $\hat N^b$ — пуассоновские процессы интенсивности $a_0\gt 0$, все независимы. Фильтрация $\mathbb{F}$ — $\hat{\mathbb{P}}$-пополнение канонической фильтрации $\chi$.

AMM пары активов $X$ и $Y$ (например, USDC и ETH) с торговой функцией $f(x,y)=xy$ — constant function market (CFM). Есть также внешний лимитный стакан, где происходит ценообразование. $S=(S_t)$ — внешний mid актива $Y$ в единицах $X$. $X_t$ и $Y_t$ — строго положительные количества в пуле. Функция уровня

Параметр $c\gt 0$ — глубина пула, постоянная на горизонте. Внешний mid:

Тейкеры приходят как считающие процессы $N^a$ (покупки) и $N^b$ (продажи) сделок размера $\xi\gt 0$.² $Z_t=X_t/Y_t$ — предельная цена $Y$ в единицах $X$ в CFM. Механика резервов по Cartea et al. (2024b):

с $N^b_0=N^a_0=0$, $Y_0\in[\underline Y,\overline Y]$, $Z_0=X_0/Y_0$. Границы $0\lt\underline Y\lt\overline Y\lt\infty$ упрощают анализ и интерпретируются как риск-лимиты: AMM перестаёт торговать при слишком низких или высоких мгновенных ценах. $Y_0$, $\underline Y$, $\overline Y$ кратны $\xi$; $Q:=\{\underline Y,\underline Y+\xi,\dots,\overline Y\}\subset\mathbb{R}$.

Экспонента Долеан–Дад:

где $\lambda^a_t=\bar\lambda^a(Y_{t-},S_t)$, $\lambda^b_t=\bar\lambda^b(Y_{t-},S_t)$ и

с $a_0\gt 0$, $a_1,a_2\geq 0$. Функция $c/y^2$ — предельная цена пула: $Z_t=c/Y_t$. Если внешняя цена $S$ выше (ниже) предельной цены пула, интенсивность сделок, изымающих (вносящих) $Y$, растёт.³

Мера $\mathbb{P}$ задаётся $d\mathbb{P}/d\hat{\mathbb{P}}:=L_T$. Под $\mathbb{P}$ процессы $\hat N^b$ и $\hat N^a$ имеют интенсивности $(\lambda^b_t)$ и $(\lambda^a_t)$; $W$ остаётся броуновским. Далее работаем только под $\mathbb{P}$.

2.2. Постановка задачи

Непостоянные потери в момент $t$:

Для простоты рассматриваем представительного агента, владеющего всей ликвидностью AMM и желающего закрыть позицию до $T$.⁴ Он максимизирует комиссионную выручку и минимизирует IL.

Пусть $\mathcal{T}_{t,T}$ — моменты остановки со значениями в $[t,T]$, $\mathcal{T}:=\mathcal{T}_{0,T}$. Задача оптимальной остановки

где $R_t=\int_0^t \mathfrak{r}(Y_{s-})(dN^b_s+dN^a_s)$ и $\mathfrak{r}:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+$ — функция комиссии с линейным ростом.⁵ Здесь LP риск-нейтрален; риск-аверсный случай с экспоненциальной полезностью разобран в приложении A.

3. Математический анализ

Функция ценности задачи (2.9) характеризуется как единственное вязкостное решение HJB QVI.

3.1. Функция ценности

Записываем $-\mathrm{IL}_t+R_t$ как интеграл по $N^b$ и $N^a$ с подынтегральными

Функция ценности $v:\mathfrak{T}\times Q\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$:

Определение 1. $\Xi$ — класс неотрицательных функций $u:\mathfrak{T}\times Q\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, ограниченных по второй переменной и не более чем квадратичного роста по третьей: $0\leq u(t,y,S)\leq C_0(1+S^2)$.

Предложение 1. Функция ценности $v$ принадлежит $\Xi$ и, в частности, корректно определена. (Доказательство: линейный рост $\mathfrak{r}$ и ограниченность $Y$ дают ограниченность по $y$; произведения $\beta^{a,b}\bar\lambda^{a,b}$ имеют квадратичный рост по $S$; неравенство Дуба даёт $\mathbb{E}[\sup|S|^2]\lt\infty$. Неотрицательность: $\tau=t$ допустим.)

Лемма 1 (принцип динамического программирования, Øksendal and Sulem, 2007). Для всех $\theta\in\mathcal{T}_{t,T}$

Кандидат HJB QVI:

на $[0,T)\times Q\times\mathbb{R}$, с $v(T,y,S)=0$.

3.2. Вязкостное решение

Определение 2. Класс $\mathcal{C}$: функции, $C^1$ по $t$ на $[0,T)$, $C^2$ по $S$, с ограниченными $|\gamma|$ и $|\partial_S\gamma|$.

Определение 3. Нижняя и верхняя полунепрерывные оболочки $u_*$ и $u^*$ — $\liminf$ и $\limsup$ по $(t,S)$ при фиксированном $y$.

Определение 4. Вязкостная субрешение (суперрешение): для тестовых $\gamma\in\mathcal{C}$, касающихся $u$ сверху (снизу) в точке, оператор HJB QVI, применённый к $\gamma$, неположителен (неотрицателен). $v$ — вязкостное решение, если $v^*$ — субрешение, а $v_*$ — суперрешение.

Теорема 1. Функция ценности $v$ из (3.1) — единственное вязкостное решение в $\Xi$ уравнения HJB QVI (3.4) с терминальным условием $v(T,y,S)=0$. Более того, она непрерывна.

Доказательство длинное и техническое; оно приведено в приложении B оригинала (существование, принцип сравнения, единственность и непрерывность) и здесь опущено.

4. Численные результаты

4.1. Схема Эйлера и алгоритм Лонгстаффа–Шварца

Неявная схема Эйлера на трёхмерной сетке $(t,Y,S)$ с условиями Неймана по $S$. HJB QVI сочетает диффузию и скачки: на каждом шаге по времени расщепление операторов — явный шаг по скачкам, затем неявный по диффузии, затем условие минимума (остановиться или продолжить).

Схема Эйлера может быть неустойчива из-за условия Куранта–Фридрихса–Леви. Для устойчивости и сравнительной статики реализован алгоритм Лонгстаффа–Шварца по лемме 1: на каждом дискретном шаге выбор между продолжением и остановкой

с $\hat v(T,y,S)=0$. Условное ожидание аппроксимируется полиномиальной регрессией в Монте-Карло — метод, введённый Longstaff and Schwartz (2001) для американских опционов. Алгоритм 1: $m$ траекторий, полином степени $d$ по $(S_i,Y_i)$, регрессия continuation value, остановка при $\mathbf{C}_i\leq 0$.

Сравнение методов: $n=1440$, $m=5000$, $T=1$ день, $d=3$, $\sigma=100$ USD$\cdot$day$^{-1/2}$, $a_0=4$ day$^{-1}$, $a_1=8$ day$^{-1}$, $a_2=0{,}04$ USD$^{-1}\cdot$day$^{-1}$, $\xi=1$, $X_0=1000$ USD, $Y_0=1000$ монет (фиктивный актив; далее — калиброванные параметры).

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

Оба метода дают похожие формы и одинаковые области выхода. Функция ценности максимальна при $S=c/Y^2(=Z)$, когда цена AMM совпадает с внешней. LP покидает пул, когда $v$ достигает 0, то есть когда $|S-Z|$ слишком велико. Ценообразование происходит на внешней площадке: отклонение создаёт «потенциальный» IL, реализуемый только когда арбитражёры торгуют в AMM, выравнивая цены. При крупном движении LP могут выйти до реализации IL — раньше арбитражёров. Со временем ценность падает, область удержания слегка сжимается: ожидаемых комиссий меньше, терпеть высокий потенциальный IL менее выгодно.

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

Лонгстафф–Шварц недооценивает функцию ценности относительно Эйлера из-за дискретизации времени: выход только в дискретные моменты. Области остановки совпадают.

4.2. Сравнительная статика

Дискретизация: 1440 шагов, $T=1$ (один день). Средние и интервалы — по 10 000 симуляций. Параметры из Aqsha et al. (2025), калибровка Binance и Uniswap V2, ETH–USDC, 1 января – 30 апреля 2022: $S_0=Z_0=2820$ USD, $\sigma=0{,}0569\,S_0$ USD$\cdot$day$^{-1/2}$, $Y_0=50\,000$ ETH, $X_0=Y_0 Z_0$. Базис интенсивностей: $a_0=1$ day$^{-1}$, $a_1=10$ day$^{-1}$, $a_2=10$ USD$^{-1}\cdot$day$^{-1}$. Стресс-тесты по $a_1$ (шумовые трейдеры) и $a_2$ (арбитражёры). Комиссия постоянна и равна $0{,}01\times\xi\times S_0$ при $\xi=100$.

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

Предельная цена пула $Z_t$ близко следует внешней $S_t$ благодаря арбитражёрам ($a_2$). Рост цен сопровождается истощением резервов $Y$ и наоборот. Накопленные комиссии растут — основной механизм компенсации IL.

Таблица 1: влияние волатильности оракула на $\mathbb{E}[\tau]$ ($\tau=T=1$, если LP не вышел раньше), $\mathbb{E}[R_\tau]$ и $\mathbb{E}[\mathrm{IL}_\tau]$.

Вогнутая связь $\sigma$ с комиссиями и IL: в первой половине таблицы выше $\sigma$ — больше комиссий от арбитражёров; при ещё большем $\sigma$ эффект исчезает, потому что LP выходят рано из-за резкого роста IL.

При росте комиссии $\mathfrak{r}$ ожидается падение потока заявок: $a_i$ заменяются на $a_i\exp(-\kappa(\tilde{\mathfrak{r}}-\mathfrak{r}))$, $\kappa=10^{-4}$ USD$^{-1}$ (базовое $\mathfrak{r}$ порядка $10^4$). Качественная картина устойчива к выбору $\kappa$ и к линейному расписанию затухания.

Комиссии монотонно растут с $\mathfrak{r}$. В нижней половине масштабирование почти линейно: средний выход около $T=1$. В верхней — ранний выход. IL сходится во второй половине: LP не выходят рано. Строка $\mathfrak{r}/2$: средний выход $\approx 0{,}96$ (ниже 1,0, выше 0,11).

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

К концу горизонта срезы квадратичны: IL доминирует в критерии. Каждая точка — ранний выход.

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

При некоторых $\mathfrak{r}$ неопределённость может увести реализацию в отрицательную область. В ожидании критерий неотрицателен: $\tau=0$ всегда допустим, поэтому $\mathbb{E}[R_\tau-\mathrm{IL}_\tau]\geq 0$. После порога падение потока заявок бьёт по критерию сильнее, чем выигрыш от роста комиссии: виден оптимальный множитель комиссии, максимизирующий критерий LP.

Комиссии монотонно растут и с шумовыми трейдерами, и с арбитражёрами. При всех рассмотренных $a_1$ LP остаются примерно до конца; при снижении $a_2$ выходят раньше — цены сильнее расходятся. Больше шума не меняет средний IL; больше арбитража реализует больше IL вплоть до максимума, заданного волатильностью оракула. Полные промежуточные строки таблиц 3–4 — в оригинале.

5. Заключение

Задача оптимального выхода LP из constant function market формализована как задача оптимальной остановки. Функция ценности — единственное вязкостное решение HJB QVI; предложены два численных метода.

Оптимальная стратегия определяется взаимодействием IL и комиссий. LP остаются в пуле, когда комиссионный доход перевешивает потенциальный IL: чаще при низкой волатильности, высоких комиссиях или высокой торговой активности. Когда расхождение цены AMM и оракула слишком велико, LP оптимально выходят до выравнивания арбитражёрами.

Функция ценности максимальна при равенстве цен AMM и оракула и падает при расхождении. Арбитраж не мгновенный: IL реализуется только после сделок арбитражёров. При крупных движениях LP могут выйти превентивно, «обгоняя» арбитражёров. Газ и priority fees в этой гонке критичны: чтобы действовать быстрее LP, арбитражёрам, скорее всего, пришлось бы платить более высокий priority fee. Влияние priority fees и детальное моделирование транзакционных издержек — перспективное направление, которым авторы занимаются.

Приложение A. Риск-аверсный поставщик ликвидности

LP максимизирует ожидаемую полезность P&L:

где $\psi\gt 0$ — абсолютная риск-аверсия. Процесс $P_t=P^X_t+S_t P^Y_t+R_t$ имеет динамику $dP_t=\beta^b(Y_{t-},S_t)dN^b_t+\beta^a(Y_{t-},S_t)dN^a_t$. Функция ценности $u_\psi(t,y,S,p)$ — супремум ожидаемой экспоненциальной полезности. Принцип ДП (лемма 2) даёт HJB QVI (A.3) с терминальным условием $u_\psi(T,y,S,p)=-e^{-\psi p}$.

Анзац $u_\psi(t,y,S,p)=-\exp\{-\psi(p+v_\psi(t,y,S))\}$ сводит задачу к HJB QVI для $v_\psi$ с дополнительным членом $-\psi(\partial_S v_\psi)^2$ и экспоненциальными скачковыми слагаемыми (A.4), $v_\psi(T,y,S)=0$.

Замечание 2. При $\psi\to 0$ уравнение (A.4) переходит в риск-нейтральное (3.4).

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

Риск-аверсия сжимает область удержания: LP раньше выходит при том же рассогласовании цен. Доказательство теоремы 1 (приложение B оригинала) опущено.

Сноски

1. Параллельные работы в той же теме: Ma et al. (2025) — аллокация и выход в liquid staking и AMM; Feinstein и Georgiou — предварительные результаты на SIAM FM&E 2025; Agarwal and Gobet (2025). ↩
2. Постоянный размер сделки — ради экономии; случайные размеры укладываются в тот же фреймворк. ↩
3. Стохастические интенсивности сделок в AMM моделировались в Cartea et al. (2024b); Aqsha et al. (2025); Baggiani et al. (2025). ↩
4. Тот же приём: Fukasawa et al. (2025), Aqsha et al. (2025). ↩
5. Оптимальные динамические комиссии: Baggiani et al. (2025); линейные $\mathfrak{r}(y)$ хорошо приближают оптимум. ↩

Литература

• Adams, H. et al., Uniswap v3 core, 2021; Uniswap v4 core [draft], 2023.
• Agarwal, A. and Gobet, E., Optimal exit from Uniswap v3 and best expected return for a liquidity provider, 2025.
• Angeris, G. and Chitra, T., Improved price oracles: Constant function market makers. In AFT, 2020, 80–91.
• Angeris, G., Kao, H.-T., Chiang, R., Noyes, C. and Chitra, T., An analysis of Uniswap markets. Cryptoeconomic Systems, 2020.
• Aoyagi, J., Liquidity provision by automated market makers, 2020.
• Aoyagi, J. and Ito, Y., Coexisting exchange platforms: Limit order books and automated market makers. JPE Micro, 2025.
• Aqsha, A., Bergault, P. and Sánchez-Betancourt, L., Equilibrium reward for liquidity providers in automated market makers, 2025. arXiv:2503.22502.
• Baggiani, L., Herdegen, M. and Sánchez-Betancourt, L., Optimal dynamic fees in automated market makers, 2025. arXiv:2506.02869.
• Barbon, A. and Ranaldo, A., On the quality of cryptocurrency markets: Centralized versus decentralized exchanges, 2021.
• Bergault, P., Bertucci, L., Bouba, D. and Guéant, O., Automated market makers: Mean-variance analysis of LPs payoffs and design of pricing functions. Digital Finance, 2024, 6(2), 225–247.
• Bergault, P. et al., Automated market making: the case of pegged assets, 2024. arXiv:2411.08145.
• Bergault, P. et al., Price-aware automated market makers, 2024. arXiv:2405.03496.
• Campbell, S., Bergault, P., Milionis, J. and Nutz, M., Optimal fees for liquidity provision in automated market makers, 2025. arXiv:2508.08152.
• Canidio, A. and Fritsch, R., Arbitrageurs’ profits, LVR, and sandwich attacks, 2023.
• Capponi, A. and Jia, R., The adoption of blockchain-based decentralized exchanges, 2021.
• Capponi, A. and Zhu, B., Optimal exit time from a CFM, 2025.
• Cartea, Á. et al., Predictable losses of liquidity provision, 2024a; Decentralised finance and automated market making, 2024b; CEX–DEX arbitrage, 2025.
• Clark, J., The replicating portfolio of a constant product market, 2020; Uniswap v3, 2021.
• Evans, A., Angeris, G. and Chitra, T., Optimal fees for geometric mean market makers, 2021.
• Fukasawa, M., Maire, B. and Rosenbaum, M., Hedging of impermanent loss, 2024.
• Hasbrouck, J., Rivera, T. and Saleh, F., The need for fees at a DEX, 2022; related follow-ups, 2025.
• He, S. et al., CEX–DEX arbitrage, 2025.
• Lehar, A. and Parlour, C., Decentralized exchange: The Uniswap automated market maker, 2025.
• Longstaff, F. and Schwartz, E., Valuing American options by simulation: a simple least-squares approach. Rev. Financ. Stud., 2001.
• Milionis, J., Moallemi, C., Roughgarden, T. and Zhang, A., Automated market making and loss-versus-rebalancing, 2022, 2024.
• Øksendal, B. and Sulem, A., Applied Stochastic Control of Jump Diffusions, 2007 (Springer).

Оригинал статьи: Bergault, Bieber and Sánchez-Betancourt, «Optimal Exit Time for Liquidity Providers in Automated Market Makers», arXiv:2509.06510 · лицензия CC BY 4.0