A theoretical framework for fees in AMMs

4.5/10

Аннотация

В децентрализованных финансах автоматические маркетмейкеры (AMM) — площадка для торговли активами без посредника. Для bluechip-пар арбитраж даёт большую часть выручки AMM и одновременно главный источник потерь из-за «информированного потока» (informed orderflow). Как уменьшить эти потери, не убивая неинформированную торговлю, — центральная задача. Мы разбираем механику арбитража и спрашиваем, как AMM максимизировать удержание стоимости (минимизировать потери). Динамика арбитража моделируется для конкретной реализации пула и изучается чувствительность к выбору комиссии. Полученная динамика отображается на случайное блуждание со специальной схемой наград — удобная отправная точка для дальнейших работ.

1. Введение

DeFi даёт финансовые сервисы без посредников. Арбитраж — использование расхождений цен между площадками — работает как в традиционных финансах, но с особенностями блокчейна: DEX, лендинг, пулы ликвидности. Возможности возникают из-за спроса/предложения, задержек транзакций и несовершенства алгоритмов цены. Композируемость протоколов позволяет строить сложные связки (занять дешевле на одной площадке, продать дороже на другой). Арбитражёры выравнивают цены и поддерживают эффективность; окна короткоживущи. Риски: непостоянные потери, комиссии, уязвимости контрактов, регуляторная неопределённость.

В AMM арбитраж — и выручка, и потери от informed flow. Основной источник комиссий — bluechip-пары, торгуемые и в DeFi, и на CEX; иногда полагают, что больше 80% оборота таких пар — арбитраж.

Поэтому мы моделируем торговлю AMM исключительно как арбитраж. Источник бесконечной ликвидности котирует цену в каждый момент; котировка — броуновское движение с дрейфом. Параллельно симулируется AMM: constant-function пул; результаты переносятся на concentrated liquidity (Uniswap v3).

Раздел 2 — математика AMM и оптимальный арбитраж. AMM участвует в выигрыше через комиссию. При данном расхождении цен есть оптимальная комиссия, при которой AMM удерживает 2/3 выигрыша, арбитражёр — 1/3. Пороговый выигрыш (минимальная разница цен для успешного арбитража) пропорционален квадрату комиссии и обратно пропорционален price impact.

Раздел 3 — эффективная модель: случайное блуждание со схемой наград. Главный вывод: в спокойных условиях выбор конкретной комиссии относительно неважен, выигрыш AMM инвариантен. Это следствие структуры арбитражной награды из разд. 2 и свойств одномерного блуждания.

Раздел 4 — микроскопическая симуляция, где арбитражёр сам находит оптимальные моменты. Подтверждает выводы блуждания. Раздел 5 — заключение.

Смежная литература. AMM: Hanson (2007), Othman et al. (2013); ранние реализации Lehar & Parlour (2021), Capponi & Jia (2021), Hasbrouck et al. (2022); детали Uniswap v2/v3 — Adams et al. (2020, 2021), учебник Ottina et al. (2023). Uniswap v3 даёт LP выбор статических тиров комиссий. Динамические комиссии: Trader Joe v2.1, Curve v2, Mooniswap, Algebra, Nezlobin (2023). Токсичный поток и LVR: Cartea et al., Milionis et al. (2024), Crapis et al. (2023), Angeris et al. (2024). Смежная работа того же сайта — оптимальные динамические комиссии в CFMM.

2. Постановка задачи

2.1. Устройство

Взаимодействие AMM и CEX как источника бесконечной ликвидности. AMM — пул Uniswap v2:

анализ переносится на v3. Три цены: спот $p_s$, эффективная цена свопа $p_{\mathrm{eff}}$, спот после свопа $p'_s$. Спот до свопа:

Своп $\Delta A$ токенов на $\Delta B$:

где $\mathrm{pi}_A$ — нелинейность ценовой функции (price impact). Для constant-function AMM $\mathrm{pi}_A=1/x_A$. Новый спот:

Обратный своп с $\mathrm{pi}_B$:

2.2. Арбитражный цикл

Арбитражёр видит, что токен B дешевле в AMM, чем на CEX: $p_s/p_{\mathrm{CEX}} \gt 1$. CEX — бесконечная ликвидность. Берётся флэшлоан $\Delta_{FL}$ в токене A, комиссия займа $f_{fl}$. AMM берёт комиссию $f$, в пул входит

После свопа $\Delta B$ продаётся на CEX без импакта: $\Delta=\Delta B/p_{\mathrm{CEX}}$. Прибыль арбитражёра

где $\mathrm{TXN}$ — стоимость транзакций. Обозначим $\alpha=p_s/p_{\mathrm{CEX}}$.

Условие арбитража. $P_A \gt 0$. При $\mathrm{TXN}=0$:

Порог по $\alpha$ при заданной $f$:

Далее $f_{fl}=0$ (реалистично на многих платформах). Оптимальный размер займа из $dP_A/d\Delta_{FL}=0$:

положителен при выполнении порога; это тот размер, который выравнивает новый спот $p'_s$ с $p_{\mathrm{CEX}}$. Оптимальный выигрыш арбитражёра:

Выручка AMM: $R^{\mathrm{opt}}=\Delta_{FL}^{\mathrm{opt}} f$, то есть

Малая комиссия $f\ll 1$. Параметризуем $\alpha=1+\delta\alpha$, $\delta\alpha=(p_s-p_{\mathrm{CEX}})/p_{\mathrm{CEX}}\ll 1$. Порог в первом порядке:

что интуитивно: арбитраж ждёт расхождения порядка комиссии. Тогда

При фиксированном $\delta\alpha$ оптимальная комиссия $f^{\mathrm{opt}}=\delta\alpha/2$: AMM удерживает 2/3 арбитражного выигрыша, арбитражёр — 1/3.

Итог раздела 2:

1. порог арбитража $\delta\alpha\propto f$ и обратно пропорционален price impact;
2. потенциальный выигрыш агента $P\propto f^2$;
3. выручка DEX при срабатывании $R\propto f^2$;
4. максимальная доля, которую AMM может удержать, — 2/3.

Кажется, DEX достаточно поднять $f$. Но $f$ также определяет, как часто достигается порог. Дальше — взаимодействие этих двух эффектов.

3. Эффективная модель: случайное блуждание с наградами

Результаты разд. 2 мотивируют простую модель: случайное блуждание (микроскопическое описание броуновского движения), с твистом под комиссии AMM. Эвристика с рынка: в спокойные периоды конкретная комиссия почти не влияет на выручку.

Ходок шагает вверх или вниз на единицу с вероятностями $p_{\mathrm{down}},p_{\mathrm{up}}$, $p_{\mathrm{down}}+p_{\mathrm{up}}=1$. Рассматриваем низкую волатильность без дрейфа (sideways). Шаг — изменение цены CEX относительно AMM. Либо шаг превышает порог арбитража (сделка), либо нет. Порог растёт линейно с $f$ (17), награды — квадратично (18).

Стратегия I: $f_I$ такова, что каждый шаг цены выше порога; награда $+1$.

Стратегия II: $f_{II}=2f_I$, порог удвоен: арбитраж только через два шага от последней точки; по (18) награда $+4$.

Если награды II в среднем срабатывают чаще чем раз в четыре шага — II выигрывает; реже — проигрывает; ровно четыре — ничья. Симметричное блуждание, 10 000 шагов: кумулятивные доходности совпадают в пределах ошибки (рис. 2). Средний выигрыш за два шага одинаков в обеих схемах (рис. 1b).

Среднее смещение блуждания $\sigma(t)\propto\sqrt{t}$. Для $f_{II}=2f_I$ пороги $\sigma_{II}=2\sigma_I$, времена $t_{II}=4t_I$, награды $R_{II}=4R_I$ — средние по времени совпадают. Аргумент не требует соизмеримости шага и награды.

Итог. При sideways-движении цены точная комиссия не важна (оптимизация — в следующей работе). «Заговор» свойств блуждания и арбитражного свопа даёт сокращение в важном пределе. Это согласуется с эмпирикой.

4. Сравнение с полной численной симуляцией

Пул Uniswap v2 с высокой ликвидностью, $x_A x_B=L^2$, старт $p_s=p_{\mathrm{CEX}}=1$. Цена CEX — броуновское движение. На каждом шаге: эволюция $p_{\mathrm{CEX}}$; проверка порога $\alpha \gt 1/(1-f)$ (или обратного); оптимальный своп, выравнивающий AMM с CEX. CEX без импакта. Отслеживаем накопленные комиссии DEX vs волатильность.

В сообществе принято: выше волатильность — выше комиссия. Это верно на коротком горизонте; на длинном различия сглаживаются, средняя выручка не зависит от конкретной $f$ — как в блуждании.

1000 равноотстоящих точек, $\sigma=0.001$ на шаг, $L=15000$, 1000 независимых прогонов. Средняя доходность при данной $\sigma$ чувствительна к $f$ при $f \lt \sigma$ и выходит на плато при $f$ выше волатильности (рис. 4). Это подтверждает анализ и даёт нижнюю границу оптимальной комиссии.

5. Заключение

Минимальная модель доходности DEX на heavily-arbitraged core-пулах. При sideways точное значение комиссии не важно, пока она не слишком высока. Нижняя граница — минимальное изменение цены между блоками. Подтверждено и полной симуляцией, и блужданием с наградами. Следующая работа — асимметричные комиссии при направленном движении цены.

Литература

1. Adams, H., Zinsmeister, N. & Robinson, D. (2020). Uniswap v2 Core.
2. Adams, H. et al. (2021). Uniswap v3 Core.
3. Angeris, G., Diamandis, T. & Moallemi, C. (2024). Multidimensional blockchain fees are (essentially) optimal. arXiv:2402.08661.
4. Bukov, A. & Melnik, M. (2020). Mooniswap by 1inch.exchange.
5. Capponi, A. & Jia, R. (2021). The adoption of blockchain-based decentralized exchanges. arXiv:2103.08842.
6. Cartea, Á., Drissi, F. & Monga, M. (2022). Predictable loss and optimal liquidity provision. SSRN 4273989.
7. Cartea, Á. et al. (2023). Automated market makers designs beyond constant functions. SSRN 4459177.
8. Crapis, D., Moallemi, C. C. & Wang, S. (2023). Optimal dynamic fees for blockchain resources. arXiv:2309.12735.
9. Egorov, M. (2021). Automatic market-making with dynamic peg. Curve v2.
10. Hanson, R. (2007). Logarithmic market scoring rules. J. Prediction Markets 1(1), 3–15.
11. Hasbrouck, J., Rivera, T. J. & Saleh, F. (2022). The need for fees at a DEX.
12. Lehar, A. & Parlour, C. A. (2021). Decentralized exchanges. SSRN 3905316.
13. Milionis, J., Moallemi, C. C., Roughgarden, T. & Zhang, A. L. (2024). Automated market making and loss-versus-rebalancing. arXiv:2208.06046.
14. MountainFarmer et al. (2022). JOE v2.1 Liquidity Book.
15. Nezlobin, A. (2023). Twitter thread on dynamic fees.
16. Othman, A. et al. (2013). A practical liquidity-sensitive AMM. ACM TEAC 1(3).
17. Ottina, M., Steffensen, P. J. & Kristensen, J. (2023). Automated Market Makers. Apress.
18. Volosnikov, V. et al. (2022). Algebra ecosystem: decentralized exchange.
19. Cartea, Á., Drissi, F. & Monga, M. (2023). Predictable losses of liquidity provision in CFMMs. Applied Mathematical Finance 30(2), 69–93.

Перевод выполнен с сохранением структуры, формул и данных оригинала. Оригинал: arXiv:2404.03976 · Alexander, Fritz · CC BY 4.0.