Ценообразование опционов на токенах automated market maker

6/10

Philip Z. Maymin · Fairfield University, Dolan School of Business

Февраль 2026 · arXiv 2603.29763v1 · 33 стр.

Оригинал: Maymin, P.Z. «Option Pricing on Automated Market Maker Tokens» — arxiv.org/abs/2603.29763 (PDF).

Ключевые слова: automated market makers, ценообразование опционов, constant elasticity of variance, Black–Scholes, Bittensor, decentralized finance, ликвидность

Классификация JEL: G12, G13, G14 · Классификация arXiv: q-fin.PR

Аннотация

Мы выводим стохастический процесс цены токенов, для которых единственным механизмом price discovery служит constant-product automated market maker (AMM). Когда чистый поток в пул следует диффузии, цена токена подчиняется процессу constant elasticity of variance (CEV), в пределе бесконечной ликвидности переходящему в Black–Scholes. Получены замкнутые цены европейских опционов и введены ликвидностно-скорректированные греки. CEV-структура порождает leverage effect — волатильность растёт при падении цены; нормированный implied volatility skew зависит только от весового параметра пула, а не от его глубины: Black–Scholes недооценивает 20%-OTM put примерно на 6% в терминах implied vol при любой глубине пула, тогда как абсолютное расхождение цен исчезает при углублении пулов. Эмпирически, после контроля глубины пула и волатильности потоков, реализованная дисперсия доходностей на 90 подсетях Bittensor демонстрирует сильно отрицательную ценовую эластичность, решительно отвергая geometric Brownian motion и согласуясь с CEV-предсказанием. Дополнительный delta-hedged бэктест на 82 подсетях подтверждает почти идентичные ошибки хеджирования ATM, согласно предсказанию, что расхождения цен сосредоточены в «крыльях».

1. Введение

Automated market makers (AMM) стали доминирующим механизмом обмена токенов в decentralized finance (DeFi), обработав сотни миллиардов долларов кумулятивного объёма с запуска Uniswap в 2018 [Adams et al., 2021]. В отличие от классических бирж со стаканом, где цены возникают из взаимодействия дискретных заявок, AMM определяют цены алгоритмически по соотношению резервов в пулах ликвидности. Наиболее распространённая конструкция — constant-product AMM с инвариантом $x \cdot y = k$ и marginal exchange rate $x/y$ [Angeris et al., 2021].

Появился новый класс AMM-native токенов, где AMM — не просто торговая площадка, а единственный механизм price discovery: нет стакана, off-chain рынка и внешнего price oracle; bonding curve и есть рынок. Яркий пример — Dynamic TAO (dTAO) сети Bittensor (февраль 2025): каждой подсети назначен «alpha»-токен, торгуемый исключительно через dedicated constant-product AMM против нативного TAO [Bittensor Foundation, 2025]. Более 60 активных подсетей, суммарный staked value свыше $3 млрд и растущий спрос на хеджирование treasury exposure делают ценообразование деривативов практической задачей. Bittensor даёт наиболее чистую среду для тестирования AMM-динамики: без конкурирующей площадки наблюдаемый процесс цены полностью определяется механикой AMM.

Модель Black–Scholes [Black and Scholes, 1973] предполагает geometric Brownian motion (GBM) с постоянной волатильностью — оправданно, когда цены меняются из-за экзогенного притока информации на глубоком frictionless рынке. Для AMM-native токенов цена эндогенна: каждая сделка механически сдвигает reserve ratio, и динамика наследует нелинейную структуру bonding curve.

Центральный вклад — вывод стохастического процесса цен AMM-токенов из первых принципов и построение фреймворка ценообразования опционов. Главный результат (Теорема 1): при Brownian diffusion чистого staking flow цена следует CEV-модели [Cox, 1975; Cox and Ross, 1996] с показателем $\beta = w$ — весом numeraire-токена в пуле. Для стандартного constant-product AMM $\beta = 1/2$. Это не эмпирическая оценка, а следствие bonding curve.

Основные следствия:

Black–Scholes как предельный случай. При $k \to \infty$ CEV-волатильность исчезает, цена становится детерминированной. При большом конечном $k$ процесс аппроксимирует GBM с эффективной волатильностью, обратно пропорциональной $\sqrt{k}$.
Ликвидностно-зависимая волатильность и leverage effect. Мгновенная волатильность $\sigma(P) = \delta P^{\beta-1}$; при $\beta = 1/2$ она убывает как $\sqrt{P}$ — структурный leverage effect (отрицательная корреляция цены и vol), следствие механики bonding curve, а не capital structure.
AMM-специфичные греки. «Liquidity Greek» $\Lambda = \partial V/\partial k$ и «emission Greek» $E = \partial V/\partial e$.
Количественное расхождение с BS. Замкнутые выражения расхождения как функции глубины пула и moneyness (рис. 3–4).
Универсальный IV skew. Нормированный skew зависит только от $\beta$, не от $\delta$ или $k$ (Предложение 5). При $\beta = 1/2$ BS недооценивает 20%-OTM put ~6% в IV при любой глубине.
Эмпирическая валидация. Медианная эластичность дисперсии $-0.86$ на 90 подсетях (IQR $[-0.98, -0.71]$), $p < 0.0001$ против GBM-null.

Работа связывает теорию AMM [Loesch et al., 2021; Angeris et al., 2021, 2022; Clark, 2021; Guillaume and Schroers, 2024], литературу CEV [Cox, 1975; Schroder, 1989; Davydov and Linetsky, 2003] и tokenomics Bittensor [Bittensor Foundation, 2025]. Раздел 2 — обзор литературы; 3 — институциональный контекст; 4 — CEV из AMM; 5 — опционы, греки, эмиссия; 6 — численный анализ и эмпирика; 7 — ограничения; 8 — заключение.

2. Связанная литература

Теория AMM. Angeris et al. [2021] заложили математические основы CFMM; [2022] — оптимальный routing. Milionis et al. [2022] ввели LVR («Black–Scholes для AMM»). Park [2023] критикует constant-product pricing. Roughgarden [2024] анализирует welfare и комиссии; Cartea et al. [2024] — continuous-time модель с арбитражёрами.

AMM и опционы. Clark [2021] показал, что LP constant-product AMM фактически продаёт perpetual straddle; Loesch et al. [2021] формализовали impermanent loss. Hasbrouck et al. [2024] интерпретируют concentrated liquidity как covered calls. Fukasawa et al. [2023] хеджируют IL variance swaps; Guillaume and Schroers [2024] — static hedging. Bichuch and Feinstein [2024] дают risk-neutral цены LP-токенов при GBM underlying. Dave [2023] и Block Scholes and Panoptic [2025] анализируют perpetual options в DeFi.

CEV. Cox [1975], Cox and Ross [1996]; Beckers [1980], Emanuel and MacBeth [1982]; Schroder [1989] — замкнутая формула; Davydov and Linetsky [2003], Larguinho et al. [2013]. В CEV-литературе $\beta$ обычно оценивают; мы показываем, что для AMM-токенов $\beta = w$ задаётся дизайном пула.

Параллельная работа. Hitier [2025] моделирует LP portfolio при GBM external price — дополняет наш подход, когда AMM — одна из площадок, а не единственный price discovery.

Наш вклад. Литература ценит LP-позиции как деривативы underlying [Bichuch and Feinstein, 2024; Hasbrouck et al., 2024]. Мы идём в обратном направлении: выводим процесс цены токена из bonding curve и ценим деривативы на него. CEV с $\beta = w$ — недостающее звено полного фреймворка.

3. Институциональный контекст

3.1. Constant-Product Automated Market Makers

Constant-product AMM поддерживает резервы $(x, y)$ с инвариантом

\[ x \cdot y = k, \tag{1} \]

где $k > 0$ постоянен при каждом swap. Трейдер, внося $\Delta x$ токена X, получает $\Delta y$ токена Y:

\[ (x + \Delta x)(y - \Delta y) = k \quad \Longrightarrow \quad \Delta y = \frac{y \cdot \Delta x}{x + \Delta x}. \tag{2} \]

Marginal price токена Y в X:

\[ P = \frac{x}{y}. \tag{3} \]

Эффективная цена исполнения превышает marginal price на slippage порядка $\Delta x/x$. Дизайн введён Buterin [2017], формализован Angeris et al. [2021].

Пример 1. Пул: $x = 1000$ TAO, $y = 40{,}000$ ALPHA, $k = 4 \times 10^7$, $P = 0.025$. Staking 100 TAO даёт $\Delta y = 40{,}000 \times 100 / 1100 \approx 3636.4$ ALPHA. Новая цена $P' \approx 0.0302$ — рост 21% от депозита 10% резерва TAO. Пул в 10 раз глубже дал бы меньший price impact — предвестник BS-предела.

3.2. Обобщённые Constant-Function AMM

Constant-product — частный случай weighted-product семейства:

\[ x^w \cdot y^{1-w} = K, \tag{4} \]

где $w \in (0,1)$ — вес токена X (numeraire), $K > 0$. При $w = 1/2$ получаем constant-product с $K = k$. Balancer реализует произвольные веса [Martinelli and Mushegian, 2019]. Marginal price:

\[ P = \frac{1-w}{w} \cdot \frac{x}{y}. \tag{5} \]

3.3. Bittensor и Dynamic TAO

Bittensor — децентрализованная сеть AI-сервисов с подсетями. С февраля 2025 — Dynamic TAO (dTAO): каждая подсеть $i$ имеет independent constant-product AMM с резервами $(x_i, y_i)$, где $x_i$ — TAO, $y_i$ — alpha ($\alpha_i$) [Bittensor Foundation, 2025]. Staking — swap TAO на alpha; unstaking — обратно. Цена alpha: $P_i = x_i / y_i$.

Нет внешнего рынка. Alpha торгуется только on-chain через AMM — единственный price discovery.
Инъекция ликвидности. Каждый блок (~12 с) протокол вносит TAO:

\[ e_{\mathrm{TAO},i} = E_{\mathrm{block}} \cdot \frac{\max(S_i - L, 0)}{\sum_j \max(S_j - L, 0)}, \tag{6} \]

где $E_{\mathrm{block}}$ — эмиссия TAO за блок (0.5 после halving декабря 2025), $S_i$ — EWMA чистых TAO-потоков в подсеть $i$, $L$ — порог. Одновременно alpha: $\Delta \alpha_i = \Delta \tau_i / P_i$, сохраняя spot price и углубляя ликвидность — инвариант $k_i = x_i y_i$ растёт, dampening vol.

Alpha participant emissions. ~1 alpha/блок участникам (41% miners, 41% validators/stakers, 18% owner), не в пул — selling pressure при swap обратно в TAO.

Пример 2. $x_i = 1000$ TAO, $y_i = 40{,}000$ ALPHA, $P_i = 0.025$. За блок: $\Delta \tau_i = 0.01$ TAO, $\Delta \alpha_i = 0.4$ ALPHA — цена не меняется, $k$ растёт. Отдельно 1 ALPHA участникам. За tempo (360 блоков): +3.6 TAO и 144 ALPHA в пул, 360 ALPHA участникам.

4. Модель

4.1. Постановка и обозначения

Пул с резервами $(x(t), y(t))$, инвариант (4). Marginal price $P(t) = \frac{1-w}{w} \cdot \frac{x(t)}{y(t)}$. Чистый поток $F(t)$ — кумулятивный net TAO staked к моменту $t$.

Определение 1 (Stochastic Flow Process). Чистый поток:

\[ dF(t) = \mu_F\, dt + \sigma_F\, dW(t), \tag{7} \]

где $\mu_F \in \mathbb{R}$ — drift, $\sigma_F > 0$ — волатильность потока, $W$ — Brownian motion на $(\Omega, \mathcal{F}, \{\mathcal{F}_t\}, P)$. Диффузия — continuous-time аппроксимация дискретных staking events при «many small traders»; jump-diffusion — раздел 7.

4.2. Динамика резервов

Без эмиссий:

\[ dx(t) = dF(t), \tag{8} \]

и из (4):

\[ y(t) = \left(\frac{K}{x(t)^w}\right)^{1/(1-w)}. \tag{9} \]

По Itô:

\[ dy = -\frac{w}{1-w}\frac{y}{x}\, dx + \frac{w(2w-1)}{2(1-w)^2}\frac{y}{x^2}\,(dx)^2. \tag{10} \]

4.3. Вывод процесса цены

Теорема 1 (AMM Token Price Process). При constant-weighted-product AMM (4) и потоке (7) marginal price $P(t)$ удовлетворяет CEV-SDE

\[ dP = \mu(P)\, dt + \delta P^w\, dW(t), \tag{11} \]

где CEV-показатель $\beta = w$, параметр волатильности

\[ \delta = \frac{1}{1-w}\left(\frac{1-w}{w}\right)^{1-w} K^{-1} \sigma_F, \tag{12} \]

и drift

\[ \mu(P) = \frac{1}{1-w}\left(\frac{1-w}{w}\right)^{1-w} K^{-1} w \mu_F P + \frac{w}{2(1-w)^2}\left(\frac{1-w}{w}\right)^{2(1-w)} K^{-2} \sigma_F^2 P^{2w-1}. \tag{13} \]

Доказательство (набросок). Из (4), $P = \frac{1-w}{w} \cdot x \cdot (K/x^w)^{1/(1-w)}$:

\[ P(x) = \frac{1-w}{w} \cdot K^{-1/(1-w)} \cdot x^{1/(1-w)}. \tag{14} \]

Пусть $\alpha \equiv 1/(1-w)$, $B \equiv \frac{1-w}{w} K^{-\alpha}$, $P = B x^\alpha$. По Itô:

\[ dP = B\alpha x^{\alpha-1}\, dx + \tfrac{1}{2} B\alpha(\alpha-1) x^{\alpha-2}\,(dx)^2 = B\alpha x^{\alpha-1}(\mu_F\, dt + \sigma_F\, dW) + \tfrac{1}{2} B\alpha(\alpha-1) x^{\alpha-2} \sigma_F^2\, dt. \tag{15} \]

Подстановка $x = (P/B)^{1/\alpha}$:

\[ x^{\alpha-1} = B^{-w} P^w, \qquad x^{\alpha-2} = B^{1-2w} P^{2w-1}. \tag{16–17} \]

Diffusion coefficient: $B\alpha B^{-w} \sigma_F P^w = \delta P^w$ с $\delta$ из (12); drift — аналогично. □

Следствие 2 (Constant-Product AMM). При $w = 1/2$, $K = k$:

\[ dP = \left(\frac{2\mu_F}{\sqrt{k}} P + \frac{\sigma_F^2}{k}\right) dt + \frac{2\sigma_F}{\sqrt{k}} \sqrt{P}\, dW(t). \tag{18} \]

$\beta = 1/2$, $\delta = 2\sigma_F / \sqrt{k}$.

Следствие 3 (Black–Scholes Limit). При $K \to \infty$: $\delta \to 0$, цена детерминирована. При большом $K$ около $P_0$:

\[ \frac{dP}{P} \approx \tilde{\mu}\, dt + \sigma_{\mathrm{eff}}\, dW(t), \qquad \sigma_{\mathrm{eff}} = \delta P_0^{w-1}, \tag{19} \]

и применим Black–Scholes с $\sigma = \sigma_{\mathrm{eff}}$.

Remark 1 (Elasticity spectrum). $\beta = w$: $w = 1/2$ — Uniswap/Bittensor; $w \to 1$ — GBM/BS; $w \to 0$ — Bachelier. Дизайнер AMM неявно выбирает volatility structure через веса.

4.4. Свойства CEV-процесса цены

Предложение 4 (Volatility structure). Мгновенная vol доходности:

\[ \sigma_{\mathrm{ret}}(P) = \delta P^{w-1} = \delta P^{\beta-1}. \tag{20} \]

При $\beta = 1/2$: $\sigma_{\mathrm{ret}}(P) = \delta / \sqrt{P}$. При высокой цене TAO-резерв велик — меньший price impact; при низкой — наоборот.

Предложение 5 (Implied volatility skew). CEV с $\beta < 1$ даёт отрицательный IV skew: OTM put имеют более высокую BS-implied vol, чем OTM call. Нормированный skew $\sigma_{\mathrm{IV}}(K)/\sigma_{\mathrm{ATM}}$ зависит только от $\beta$, не от $\delta$ или $k$. Доказательство: homogeneity $C(\lambda P, \lambda K_{\mathrm{str}}, T) = \lambda C(P, K_{\mathrm{str}}, T)$ и параметры non-central chi-squared [Cox and Ross, 1996; Davydov and Linetsky, 2003].

Предложение 6 (Boundary behavior at zero). При $\beta = 1/2$, $P = 0$ — граница:

Под риск-нейтральной мерой $\mathbb{Q}$ (drift $rP$, $r > 0$) — Feller test: zero inaccessible (entrance boundary); формула (22) корректна без boundary correction.
Под физической мерой $\mathbb{P}$, при малом drift относительно $\delta^2$ ($2\mu_F/(\sigma_F^2 k) < 1$) — boundary attainable: outflows могут обнулить TAO-резерв.

Remark 2 (Leverage effect). При $\beta < 1$ — отрицательная корреляция цены и vol. Для AMM это чисто структурно: при падении alpha $x = \sqrt{kP}$ уменьшается, пул мельче, тот же flow даёт больший proportional impact — leverage effect из microstructure, не capital structure.

5. Ценообразование опционов

5.1. Риск-нейтральная динамика

Под $\mathbb{Q}$:

\[ dP = rP\, dt + \delta P^\beta\, dW^{\mathbb{Q}}(t), \tag{21} \]

с Girsanov kernel $\theta(P) = [\mu(P) - rP]/(\delta P^\beta)$. Локализация через $\tau_n = \inf\{t : P(t) < 1/n\}$; zero inaccessible под $\mathbb{Q}$ (Предложение 6). EMM для CEV с $\beta \in (0,1)$ — Davydov and Linetsky [2003]. Репликация несовершенна из-за slippage ($\Delta x/x$); при $| \Delta x | \ll x$ ошибка второго порядка, квантифицируется в 5.5 ($\sim k^{-2}$).

5.2. Формула цены европейского опциона

Европейский call [Cox, 1975; Schroder, 1989]; при $\beta < 1$ zero inaccessible под $\mathbb{Q}$:

Теорема 7 (CEV Call Price).

\[ C(P, K_{\mathrm{str}}, T) = P\left[1 - \chi^2(a;\, b+2,\, c)\right] - K_{\mathrm{str}} e^{-rT} \chi^2(c;\, b,\, a), \tag{22} \]

где $\chi^2(x; n, \lambda)$ — CDF non-central chi-squared с $n$ степенями свободы и non-centrality $\lambda$,

\[ \kappa = \frac{2r}{\delta^2 (1-\beta)(e^{2r(1-\beta)T} - 1)}, \quad c = \kappa P^{2(1-\beta)} e^{2r(1-\beta)T}, \quad a = \kappa K_{\mathrm{str}}^{2(1-\beta)}, \quad b = \frac{1}{1-\beta}. \tag{23–26} \]

Для constant-product ($\beta = 1/2$): $b = 2$,

\[ \kappa = \frac{4r}{\delta^2(e^{rT}-1)}, \quad c = \kappa P e^{rT}, \quad a = \kappa K_{\mathrm{str}}. \tag{27} \]

Put — put-call parity:

\[ \Pi(P, K_{\mathrm{str}}, T) = C(P, K_{\mathrm{str}}, T) - P + K_{\mathrm{str}} e^{-rT}. \tag{28} \]

Remark 3. При $\beta \to 1$ с фиксированным $\delta P_0^{\beta-1} = \sigma$ — сходимость к Black–Scholes (29).

\[ C_{\mathrm{BS}} = P\,\Phi(d_1) - K_{\mathrm{str}} e^{-rT}\,\Phi(d_2), \quad d_{1,2} = \frac{\ln(P/K_{\mathrm{str}}) + (r \pm \sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}. \tag{29} \]

5.3. Ликвидностно-скорректированная формула Black–Scholes

\[ C_{\mathrm{CEV}} = C_{\mathrm{BS}}(\sigma_{\mathrm{eff}}) + \Lambda_C, \tag{30} \]

где $\sigma_{\mathrm{eff}} = \delta P^{w-1}$, $\Lambda_C$ — liquidity correction.

Предложение 8 (Liquidity correction). ATM: $\Lambda_C = O(\delta^2)$ при $\delta \to 0$ ($k \to \infty$). В general moneyness: $\Lambda_C > 0$ для ITM call (OTM put), $< 0$ для OTM call — согласовано с negative skew. Масштаб $\Lambda_C \sim \delta^2 \propto K^{-2}$.

5.4. Ликвидностно-скорректированные греки

Определение 2 (AMM Greeks).

\[ \Delta_{\mathrm{CEV}} = \frac{\partial C}{\partial P} = 1 - \chi^2(a;\, b+2,\, c) + P\frac{\partial}{\partial P}\left[1 - \chi^2(a;\, b+2,\, c)\right] - K_{\mathrm{str}} e^{-rT}\frac{\partial}{\partial P}\chi^2(c;\, b,\, a), \tag{31} \] \[ \Gamma_{\mathrm{CEV}} = \frac{\partial^2 C}{\partial P^2}. \tag{32} \] \[ \Lambda = \frac{\partial C}{\partial k} = \frac{\partial C}{\partial \delta}\cdot\frac{\partial \delta}{\partial k}, \tag{33} \]

При constant-product $\delta = 2\sigma_F / \sqrt{k}$, $\partial \delta / \partial k = -\sigma_F / k^{3/2}$, $\Lambda < 0$. Emission Greek:

\[ E = \frac{\partial C}{\partial e}, \tag{34} \]

через integrated variance (41): $E = (\partial C / \partial \bar{v}^2)(\partial \bar{v}^2 / \partial \dot{k})(\partial \dot{k} / \partial e) < 0$ — эмиссия углубляет пул, снижая vol и цену опциона.

5.5. Ошибка хеджирования от трения AMM

Slippage constant-product AMM для hedge trade $\Delta P$ alpha:

\[ S(\Delta P) \approx \frac{P^2 (\Delta P)^2}{2k}. \tag{35} \]

Кумулятивная expected hedging cost:

\[ \mathbb{E}\left[\int_0^T S(d\Delta)\right] \approx \frac{P^2 \Gamma^2 \sigma_{\mathrm{ret}}^2}{2k} \cdot T, \tag{36} \]

масштаб $k^{-2}$.

Предложение 9 (Replication premium). Premium для call bounded:

\[ R \le \frac{\delta^2 P^{2\beta}}{2k} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[\int_0^T \Gamma_{\mathrm{CEV}}^2(t)\, P(t)^2\, dt\right]. \tag{37} \]

При $k \to \infty$: $R \to 0$. Remark 4: CEV-коррекция максимальна при мелких пулах, но replication premium тоже; для SN58 ($k = 7.4 \times 10^9$) bound (37) $< 10^{-6}\%$ цены — расхождение CEV-BS (1–6% IV) доминирует.

5.6. Расширение: эмиссия токенов

При инъекции TAO и alpha с rates $e_{\mathrm{TAO}}$, $e_\alpha$:

\[ \frac{dk}{dt} = y(t)\, e_{\mathrm{TAO}} + x(t)\, e_\alpha. \tag{38} \]

При коротком горизонте $T \ll k_0 / \dot{k}$:

\[ k(t) \approx k_0 + (y_0 e_{\mathrm{TAO}} + x_0 e_\alpha)\, t \equiv k_0 + \dot{k}\, t. \tag{39} \]

Time-dependent volatility parameter:

\[ \delta(t) = \frac{2\sigma_F}{\sqrt{k(t)}} = \frac{2\sigma_F}{\sqrt{k_0 + \dot{k}\, t}}. \tag{40} \]

Предложение 10: формула (22) с $\delta^2 T$ заменённой integrated variance:

\[ \bar{v}^2 = \int_0^T \delta(t)^2\, dt = 4\sigma_F^2 \int_0^T \frac{dt}{k_0 + \dot{k}\, t} = \frac{4\sigma_F^2}{\dot{k}} \ln\!\left(1 + \frac{\dot{k} T}{k_0}\right). \tag{41} \]

Remark 5: эффект как continuous dividend yield $q_{\mathrm{eff}} = \dot{k}/(2k_0)$. Bittensor (6) создаёт feedback: высокие flows → больше emission share → глубже пул → ниже vol.

6. Численный анализ

6.1. Калибровка параметров

Калибровка к Bittensor (Taostats API, февраль 2026). Три репрезентативные подсети:

**Таблица 1.** Репрезентативные параметры подсетей Bittensor (медианы за период 8 авг. 2025 — 23 февр. 2026). Резервы в native units; $\hat{\sigma}_F$ — annualized std daily изменений TAO-резерва.
Подсеть	$x_0$ (TAO)	$y_0$ (α)	$k$ (×10⁹)	$P_0$ (TAO/α)	$\hat{\sigma}_F$
Shallow (SN58)	4,019	1,835,800	7.4	0.0022	2,293
Medium (SN1)	22,568	2,340,831	52.8	0.0096	3,571
Deep (SN3)	54,445	2,151,385	117.1	0.0253	8,250

$\hat{\sigma}_F = \hat{s}_{\Delta F} \sqrt{365}$. Risk-free rate $r = 5\%$.

Remark 6. Shapiro–Wilk отвергает нормальность daily flow changes для всех 98 подсетей; median excess kurtosis 10.7, skewness $-0.62$ — heavy tails, jump-diffusion extension (раздел 7). Median hedging MAE ~3% spot несмотря на это.

Remark 7. Без traded options CEV testable: variance $\propto P^{2(\beta-1)} = P^{-1}$ для constant-product.

6.2. Monte Carlo валидация

$N = 100{,}000$ paths, Euler–Maruyama, hourly steps: $x_{t+\Delta t} = x_t + \Delta F_t$, $y = k/x$, $P_T = x_T^2/k$. $C_{\mathrm{MC}} = e^{-rT}\mathbb{E}[\max(P_T - K_{\mathrm{str}}, 0)]$.

CEV vs GBM: траектории и терминальное распределение — Рис. 1. Слева: симулированные траектории CEV (сплошная) и GBM (пунктир) с одинаковыми Brownian increments; CEV даёт более широкие колебания при низких ценах (leverage effect). Справа: терминальное распределение за 90 дней (50 000 paths) — более тяжёлый левый хвост у CEV. Параметры: $P_0 = 0.025$, $k = 5 \times 10^5$, $\sigma_F = 48.7$.

Monte Carlo vs замкнутая CEV-формула — Рис. 2. Валидация CEV-формулы Monte Carlo для shallow ($k = 10^6$, слева) и deep ($k = 10^9$, справа) пулов ($T = 30$ дней). Верх: closed-form vs MC с 95% CI. Низ: ошибка MC−CEV (% spot). Shallow pool: систематический positive bias 1–3%; deep: ошибки < 0.5%. $P_0 = 0.025$, $\sigma_F = 48.7$, 100 000 paths.

6.3. Сравнительная статика

Цена опциона и расхождение CEV-BS vs глубина пула — Рис. 3. Слева: ATM call (% spot) vs $k$; CEV и BS совпадают. Справа: $|C_{\mathrm{CEV}} - C_{\mathrm{BS}}|$ (log-log) для пяти moneyness; OTM расхождения на порядки больше ATM; все кривые $\sim O(k^{-1})$. $P_0 = 0.025$, $\sigma_F = 48.7$, $T = 90$ дней, $r = 5\%$.

Implied volatility: абсолютная и нормированная — Рис. 4. Слева: абсолютная BS-implied vol из CEV-цен; мелкие пулы — выше vol. Справа: IV/IV_ATM — три нормированные кривые почти совпадают: skew зависит только от $\beta = 1/2$, не от глубины. $P_0 = 0.025$, $\sigma_F = 48.7$, $T = 90$ дней.

Сравнение delta и gamma CEV vs Black-Scholes — Рис. 5. CEV ($\beta = 1/2$) vs Black–Scholes греки ATM call ($K = 0.025$) на shallow pool. Слева: delta — CEV круче при низких ценах. Справа: gamma — оба peak ниже strike; CEV gamma острее и смещён ниже. $k = 5 \times 10^5$, $\sigma_F = 48.7$, $T = 90$ дней.

6.4. Эффект эмиссии

Влияние эмиссии на цену ATM call — Рис. 6. ATM call (% spot) vs maturity при разных emission rates (кратности $k_0$/год). Высокая эмиссия углубляет пул, сжимает vol, снижает цены на длинных сроках. $P_0 = K = 0.025$, $k_0 = 5 \times 10^5$, $\sigma_F = 48.7$.

Liquidity Greek vs глубина пула — Рис. 7. Liquidity Greek $\Lambda = \partial C / \partial k$ для ATM call vs $k$ (log scale). Отрицательные значения: глубже пул — ниже цена опциона. Чувствительность сосредоточена в shallow pools; при $k > 10^9$ пренебрежима. $P_0 = K = 0.025$, $\sigma_F = 48.7$, $T = 30$ дней.

6.5. Эмпирический бэктест

Cross-sectional backtest на 98 подсетях (82 после фильтра MAE > 50%): daily Taostats, авг. 2025 — февр. 2026. Для каждой подсети и rolling start $t$: (1) $\hat{\sigma}_F$ за 14 дней; (2) $k_t = x_t y_t$; (3) продажа 14-day ATM call по CEV и BS; (4) daily delta-hedge; (5) hedged P&L.

OLS CEV/BS error ratio vs $\log_{10}(k)$: slope $-0.002$, $R^2 = 0.003$, $p = 0.60$ — не значим. ATM hedging errors почти идентичны — согласно универсальному smile (Предложение 5). Median MAE ~3% spot. Только 21% подсетей: lower error под CEV.

Cross-sectional delta-hedged backtest CEV vs BS — Рис. 8. Delta-hedged backtest 14-day ATM calls, 82 подсети Bittensor. Слева: CEV MAE vs BS MAE (% spot), цвет — $\log_{10}(k)$; точки у 45°-линии. Справа: CEV/BS ratio vs $\log_{10}(k)$; OLS slope = −0.002, $p = 0.60$. Taostats API, daily snapshots.

6.6. Тест эластичности дисперсии

CEV: $\sigma_{\mathrm{ret}}^2(P) = \delta^2 P^{2(\beta-1)}$. При $\delta = 2\sigma_F / \sqrt{k}$:

\[ \sigma_{\mathrm{ret}}^2(P) = \frac{4\sigma_F^2}{k} \cdot P^{2(\beta-1)}. \tag{42} \]

Log-регрессия с контролем $k$ и $\hat{\sigma}_F^2$:

\[ \log\left(\widehat{RV} \cdot k / \hat{\sigma}_F^2\right) = \mathrm{const} + 2(\beta - 1) \log P. \tag{43} \]

90 подсетей после data-quality screens. Median slope $-0.86$ (IQR $[-0.98, -0.71]$), 94% отрицательных. $t$-test vs GBM (slope = 0): $t = -11.3$, $p < 10^{-4}$; vs CEV (slope = −1): $t = 3.7$, $p < 0.001$. $\hat{\beta} \approx 0.57$ — modestly above 1/2.

Распределение slopes эластичности дисперсии — Рис. 9. Тест CEV variance elasticity. Слева: распределение within-subnet slopes $\log(\widehat{RV} \cdot k / \hat{\sigma}_F^2)$ на $\log P$ для 90 подсетей; median −0.86 vs CEV −1 (красная) и GBM 0 (серая). Справа: scatter для SN52. Taostats, авг. 2025 — февр. 2026.

7. Обсуждение

7.1. Ограничения

Комиссии. Swap fee $\phi$ модифицирует effective invariant; qualitative CEV сохраняется; $\sigma_F$ масштабируется на $(1-\phi)$. dTAO pools — zero fee.

Diffusion vs jumps. ~7.7% trading days — jump days (> 3σ); median 47% total flow variance. Merton jump-diffusion extension для whale trades.

Репликация. Slippage; utility-based framework Davis et al. [1993] для transaction costs.

Stochastic $\sigma_F$. Time-of-day, momentum — Heston overlay на flow.

TAO/USD. Для USD-деривативов — joint model TAO/USD и flows.

Манипуляции. Cost сдвига цены на $\epsilon$: ~$\epsilon \cdot x$; TWAP settlement, oracle feeds.

7.2. Расширения

Concentrated liquidity (Uniswap V3): локально constant-product с $k_{\mathrm{eff}}$ [Cartea et al., 2024]. Cross-subnet options: correlated Brownian motions. American/perpetual: free-boundary CEV [Detemple and Tian, 2002]; perpetual [Dave, 2023].

7.3. Практические следствия

Black–Scholes систематически недооценивает downside protection на AMM-токенах при любой глубине пула. Leverage effect (Remark 2) повышает IV OTM put; normalized skew зависит от $\beta$, не от $k$ — структурная, не small-pool артефакт. BS переоценивает OTM call.

90-day 20%-OTM put (Таблица 1): CEV vs BS — 12.1% vs 11.1% spot (shallow), 0.52% vs 0.41% (medium), 0.43% vs 0.34% (deep). Treasury 100 000 TAO alpha: 95–1070 TAO premium under CEV vs BS. Market maker, продающий put по BS, систематически недооценивает риск.

8. Заключение

Цена токена на constant-weighted-product AMM следует CEV с показателем $\beta = w$. Из diffusion staking flows bonding curve полностью определяет динамику; $\beta$ pinned design'ом, не оценкой. Black–Scholes — предел бесконечной ликвидности. Фреймворк даёт closed-form европейские цены (non-central chi-squared), liquidity/emission Greeks, декомпозицию расхождения с BS. Leverage effect — структурное предсказание bonding curve.

Variance elasticity test на 90 подсетях: $P^{-0.86}$, reject GBM ($p < 10^{-4}$), broadly consistent с $P^{-1}$. Delta-hedged backtest 82 подсетей: идентичные ATM errors ($p = 0.60$); расхождения в wings. AMM-native токены proliferate — CEV framework — foundation для pricing, hedging и risk management.

Disclosure. Автор не имеет финансового интереса в Bittensor, TAO или обсуждаемых DeFi-протоколах. Данные — публичные on-chain источники (Taostats API). Конфликт интересов отсутствует.

Приложение A. Доказательства

A.1. Доказательство Предложения 8

CEV call (22) как $C(\beta)$ при фиксированном $\sigma_{\mathrm{eff}} = \delta P^{\beta-1}$. Тогда $C(1) = C_{\mathrm{BS}}(\sigma_{\mathrm{eff}})$. При $\beta \to 1$: $C(\beta) - C(1) = O(1-\beta) = O(\delta^2)$. ATM: conditional variance CEV exceeds GBM (Jensen на $P^{2(\beta-1)}$ при $\beta < 1$) → $C_{\mathrm{CEV}} \ge C_{\mathrm{BS}}$. OTM call: sign reverses из-за skew.

A.2. Доказательство Предложения 9

Ошибка хеджа за $[t, t+\Delta t]$: $\epsilon_t \approx S(\Gamma_{\mathrm{CEV}} \Delta P)^2/(2P) \approx P^2 \Gamma_{\mathrm{CEV}}^2 \delta^2 P^{2\beta} \Delta t / (2k)$. Интегрирование и expectation дают (37).

A.3. Доказательство Предложения 10

Transition density CEV зависит от integrated variance $\bar{v}^2 = \int_0^T \delta(t)^2 dt$. Подстановка $\delta(t) = 2\sigma_F / \sqrt{k_0 + \dot{k}\, t}$ даёт (41).

Приложение B. Робастность фильтра MAE

Backtest (6.5) исключает 16 подсетей с MAE > 50% spot — degenerate paths (near-zero reserves, dislocations). Excluded: median $\log_{10}(k) = 9.20$ vs 9.93 included. Без фильтра (98 подсетей):

\[ \frac{\mathrm{MAE}_{\mathrm{CEV}}}{\mathrm{MAE}_{\mathrm{BS}}} = 1.048 - 0.003 \cdot \log_{10}(k), \quad R^2 = 0.016, \quad p = 0.21. \]

Вывод robust: near-identical ATM hedging не артефакт фильтра.

**Таблица 2.** 16 подсетей, исключённых фильтром MAE > 50%. Median $\log_{10}(k) = 9.20$ vs 9.93 у 82 included.
Subnet	$\log_{10}(k)$	CEV MAE (%)	BS MAE (%)	CEV/BS
86	8.89	3,757	3,684	1.020
126	8.98	7,456	7,145	1.044
109	8.99	2,336	2,299	1.016
108	9.01	1,019	993	1.026
94	9.06	2,214	2,174	1.018
49	9.07	3,957	3,796	1.042
113	9.09	1,779	1,713	1.038
99	9.19	2,342	2,321	1.009
87	9.21	20,072	19,490	1.030
114	9.23	2,081	2,050	1.015
107	9.31	2,647	2,602	1.017
80	9.37	5,620	5,439	1.033
47	9.72	4,213	4,111	1.025
38	9.75	4,363	4,299	1.015
76	9.76	433,198	433,194	1.000
15	9.82	4,228	4,193	1.008

Литература

Adams, H., Zinsmeister, N., Salem, M., Keefer, R., Robinson, D.: Uniswap v3 core. Uniswap Labs Technical Report, 2021.
Angeris, G., Kao, H.-T., Chiang, R., Noyes, C., Chitra, T.: An analysis of Uniswap markets. Cryptoeconomic Systems, 1(1), 2021.
Angeris, G., Agrawal, A., Evans, A., Chitra, T., Boyd, S.: Optimal routing for constant function market makers. ACM CCS Workshop DeFi, 2022.
Beckers, S.: The constant elasticity of variance model and its implications for option pricing. Journal of Finance, 35(3):661–673, 1980.
Bichuch, M., Feinstein, Z.: A derivative pricing perspective on liquidity tokens in constant product market makers. arXiv:2409.11339, 2024.
Bittensor Foundation: Dynamic TAO whitepaper, 2025. bittensor.com/dtao-whitepaper
Black, F., Scholes, M.: The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy, 81(3):637–654, 1973.
Block Scholes and Panoptic: Perpetual options — a research report, 2025.
Buterin, V.: On path independence. Blog post, 2017.
Cartea, Á., Drissi, F., Monga, M.: Decentralised finance and automated market making. SIAM J. Financial Mathematics, 15(3):931–961, 2024.
Clark, J.: Replicating market makers. arXiv:2103.14769, 2021.
Cox, J.C.: Notes on option pricing I: Constant elasticity of variance diffusions. Stanford Working Paper, 1975.
Cox, J.C., Ross, S.A.: The constant elasticity of variance option pricing model. Journal of Portfolio Management, 22:15–17, 1996.
Dave, S.: Perpetual options in decentralized finance. Panoptic Research Report, 2023.
Davis, M.H.A., Panas, V., Zariphopoulou, T.: European option pricing with transaction costs. SIAM J. Control and Optimization, 31(2):470–493, 1993.
Davydov, D., Linetsky, V.: Pricing options on scalar diffusions: An eigenfunction expansion approach. Operations Research, 51(2):185–209, 2003.
Detemple, J., Tian, W.: The valuation of American options for a class of diffusion processes. Management Science, 48(7):917–937, 2002.
Emanuel, D.C., MacBeth, J.D.: Further results on the constant elasticity of variance call option pricing model. J. Financial and Quantitative Analysis, 17(4):533–554, 1982.
Fukasawa, M., Maire, B., Wunsch, M.: Weighted variance swaps hedge against impermanent loss. Quantitative Finance, 23(6):901–911, 2023.
Guillaume, F., Schroers, D.: A unified approach for hedging impermanent loss. arXiv:2407.05146, 2024.
Hasbrouck, J., Rivera, T.J., Saleh, F.: An economic model of a decentralized exchange with concentrated liquidity. Management Science, 2024.
Heston, S.L.: A closed-form solution for options with stochastic volatility. Review of Financial Studies, 6(2):327–343, 1993.
Hitier, S.: The dynamics of constant product market makers: A geometric Brownian motion approach. SSRN 5404433, 2025.
Larguinho, M., Dias, J.C., Braumann, C.A.: A note on the computation of the CEV option pricing formula. Quantitative Finance, 13(6):877–886, 2013.
Loesch, S., Hindman, N., Richardson, M.B., Welber, N.: Impermanent loss in Uniswap v3. arXiv:2111.09192, 2021.
Martinelli, F., Mushegian, N.: A non-custodial portfolio manager, liquidity provider, and price sensor. Balancer Labs Technical Report, 2019.
Merton, R.C.: Option pricing when underlying stock returns are discontinuous. Journal of Financial Economics, 3(1–2):125–144, 1976.
Milionis, J., Moallemi, C.C., Roughgarden, T., Zhang, A.L.: Automated market making and loss-versus-rebalancing. arXiv:2208.06046, 2022.
Park, A.: The conceptual flaws of decentralized automated market making. Management Science, 69(11):6731–6751, 2023.
Roughgarden, T.: Transaction fee mechanism design in a post-MEV world. ACM SIGecom Exchanges, 21(1):2–18, 2024.
Schroder, M.: Computing the constant elasticity of variance option pricing formula. Journal of Finance, 44(1):211–219, 1989.
Singh, F.: Option contracts in the DeFi ecosystem. International Journal of Network Management, 35(2):e70005, 2025.
The AMM Book: Using Black–Scholes to estimate the size of divergence loss for AMMs, 2022. theammbook.org

Оригинал статьи: Maymin, «Option Pricing on Automated Market Maker Tokens», arXiv:2603.29763