Байесовская теория рыночного импакта

8/10

Аннотация

Доступная в каждый момент времени ликвидность на финансовых рынках существенно меньше типичного размера заявок, которые хотят исполнить институциональные инвесторы. Чтобы уменьшить влияние исполнения крупных заявок на цены, трейдеры разбивают крупные заявки на последовательности более мелких, исполняемых одна за другой. Получающаяся последовательность сделок называется мета-ордером. Эмпирические исследования выявили нетривиальный набор статистических законов того, как мета-ордера влияют на цены: i) поведение ожидаемого изменения цены как квадратного корня от суммарного проторгованного объёма, ii) его кроссовер к линейному режиму для малых объёмов и iii) возврат средней цены к начальному значению после окончания последовательности сделок. Мы воспроизводим эту феноменологию в минимальной теоретической модели, где рынок формирует цены, учитывая всю информацию о направлении и скорости торговли мета-ордера байесовским образом. Простота этого вывода даёт дополнительную поддержку робастности и универсальности законов рыночного импакта. В частности, она указывает на то, что закон импакта квадратного корня возникает из переоценки рынком потока заявок, порождаемого мета-ордерами.

Введение

Доступность данных позволяет исследовать законы, по которым финансовые рынки обрабатывают информацию, с беспрецедентной точностью [1]. Законы рыночного импакта — вероятно, самое надёжно установленное эмпирическое наблюдение на высокочастотных финансовых рынках [1, 2]. Они описывают, как мета-ордер — последовательность заявок только на покупку или только на продажу, исполняемых одним и тем же трейдером, — в среднем влияет на цены. Благодаря своей статистической природе эти законы обладают замечательным уровнем универсальности, то есть независимости от деталей и контекста. Цель настоящей работы — представить минимальную, свободную от параметров теорию, которая объясняет основные черты наблюдаемой феноменологии и даёт фальсифицируемые предсказания, указывающие пути к прояснению теоретических основ микроструктуры рынка.

Внутри феноменологии рыночного импакта закон импакта квадратного корня (square-root impact law, SRIL), вероятно, входит в число самых надёжно установленных эмпирических наблюдений на высокочастотных рынках [1, 2]. SRIL утверждает, что мета-ордер суммарного объёма $Q$ и длительности $T$ в среднем изменяет цену торгуемого актива на величину [2]

где $\Delta p_T = p_T - p_0$ — изменение цены с начала мета-ордера, $\sigma_\tau$ и $V_\tau$ — волатильность и объём сделок, измеренные на одном и том же масштабе времени $\tau$ (например, день), $C$ — константа порядка единицы, а верхний (нижний) знак соответствует последовательности заявок на покупку (продажу).

SRIL обладает замечательной универсальностью: он выполняется независимо от деталей — типа торгуемого актива, рыночного механизма и способа исполнения последовательности сделок (см., например, [2, 3, 4, 5]). Предложено несколько объяснений SRIL в рамках механистических моделей [2, 6, 7, 8, 9, 10]. Некоторые выводят SRIL из других эмпирических законов [6, 8], которые, однако, обладают меньшей степенью универсальности. Тот и соавторы [2] связывают поведение квадратного корня со структурой «латентного стакана», кодирующего склонности трейдеров торговать по ценам, близким к рыночной. Эта теория [2, 9] предсказывает, что SRIL выполняется при условии, что плотность «латентных» заявок ведёт себя линейно вблизи рыночной цены.

Буччи и соавторы [11] недавно обнаружили, что SRIL переходит в линейный режим для очень малых $Q$. Они связывают кроссовер с различными торговыми масштабами времени в модели латентного стакана. Работа [10] возводит происхождение SRIL и кроссовера к линейному режиму к корреляции между различными мета-ордерами.

На больших временах, когда последовательность заявок закончена, цена возвращается к своему исходному значению. Из-за скудости данных для больших масштабов времени нет окончательных свидетельств о том, оставляют ли мета-ордера постоянный импакт. Характер затухания импакта, по-видимому, обладает меньшей степенью универсальности [8, 12, 13, 14].

Настоящая работа ставит целью вывести эту сложную феноменологию в простой теоретической модели, основанной на модели Глостена–Милгрома [15] (Glosten–Milgrom model, GMM). GMM вместе с моделью Кайла [16] и их вариантами [17] — краеугольный камень литературы по микроструктуре рынка. Эта литература изучает, как рыночная динамика возникает из рыночных правил и стратегического поведения трейдеров разных типов.

GMM описывает рынок одного актива с популяцией трейдеров, один из которых информирован о стоимости актива, так что она либо всегда продаёт, если актив переоценён, либо покупает, если он недооценён. В GMM цену устанавливает маркетмейкер, исходя из своего ожидания стоимости актива при данной прошлой последовательности сделок. Маркетмейкер воплощает коллективное поведение поставщиков ликвидности на реальных рынках, которые реагируют на потоки заявок, устраняя статистические арбитражи. Фактически информированный трейдер ведёт себя детерминированно — он торгует в точности как участник рынка, исполняющий мета-ордер. В этой интерпретации маркетмейкер в GMM [15] даёт стилизованное описание того, как рынки реагируют на статистически персистентный поток заявок, порождаемый мета-ордерами.

Ключевой параметр GMM — частота $\nu$, с которой информированный трейдер подаёт заявки; она переводится в частоту исполнения дочерних заявок мета-ордера. На высокочастотных рынках происходит $\sim 10^4$ транзакций в день для достаточно ликвидной акции, и лишь немногие из них можно приписать конкретному мета-ордеру. Это означает, что законы рыночного импакта связаны с пределом $\nu \to 0$ в GMM.

В этом пределе мы показываем, что описанная выше феноменология рыночного импакта воспроизводится в полностью байесовском подходе, где $\nu$ неизвестна и выводится из последовательности сделок. Эта теория возводит происхождение кроссовера к линейному поведению при малых $Q$ [11] к обрезанию (cutoff) в приоре на $\nu$ и воспроизводит затухание импакта. Эта феноменология восстанавливается при аккуратном соответствии между GMM и эмпирическим анализом, который к ней приводит.

Основные шаги вывода мы обсуждаем в следующих разделах, а технические детали вынесены в приложения.

1. Модель

Рассмотрим финансовый рынок со множеством трейдеров и одним активом, стоимость которого

состоит из двух слагаемых: $F_t$ — процесс с независимыми приращениями $F_t - F_{t-1}$ с конечной волатильностью $\mathbb{V}\left[F_t - F_{t-1}\right]$. Слагаемое $\theta G$ — предсказуемая часть уравнения (2), где $G$ принимает значения $\pm 1$ с равной вероятностью, а $\theta > 0$ — параметр. Мы называем её предсказуемой, потому что один из трейдеров — информированный трейдер — знает значение $G$. В каждый момент $t = 1, 2, \ldots$ случайно выбирается один трейдер, который подаёт заявку на покупку ($x_t = 1$) или продажу ($x_t = -1$) одной единицы актива. С вероятностью $\nu$ заявка исходит от информированного трейдера, то есть $\nu$ — частота, с которой информированный трейдер подаёт заявки. Если актив недооценён относительно своей стоимости, что происходит при $G = +1$, информированный трейдер будет покупать, а если переоценён — то есть при $G = -1$ — продавать. С вероятностью $1 - \nu$ заявку подают неинформированные трейдеры, которые ведут себя как шумовые трейдеры: покупают ($x_t = 1$) с вероятностью $1/2$ и продают ($x_t = -1$) иначе. Следовательно, временной ряд сделок $x_{\le t} = (x_1, \ldots, x_t)$ — случайный вектор, распределение которого зависит от значений $G$ и $\nu$:

где $n_t$ — число заявок на покупку до момента $t$.

Маркетмейкер не знает $G$, но наблюдает прошлые значения $F_{<t} = (F_0, \ldots, F_{t-1})$ процесса $F_t$. В момент $t$ он устанавливает цену продажи (ask) $a_t$ и цену покупки (bid) $b_t$ на конкурентной основе¹, исходя из своего ожидания стоимости $W_t$ актива при данных $F_{<t}$ и наблюдённой последовательности заявок $x_{<t} = (x_1, \ldots, x_{t-1})$. Он объявит цену ask $a_t = \mathbb{E}\left[W_t | F_{<t}, x_{<t}, x_t = 1\right]$ и цену bid $b_t = \mathbb{E}\left[W_t | F_{<t}, x_{<t}, x_t = -1\right]$ для заявок на покупку ($x_t = 1$) и продажу ($x_t = -1$) соответственно. Реализованная цена в момент $t$ есть

где мы использовали мартингальное свойство $\mathbb{E}\left[F_t | F_{<t}\right] = F_{t-1}$.

В отсутствие слагаемого $F_t$ оптимальной стратегией информированного трейдера было бы торговать как можно медленнее, потому что ожидаемый выигрыш растёт как $1/\nu$ при $\nu \to 0$ [18]. Но при наличии $F_t$ цена приобретает диффузионное приращение $\delta F_t = F_t - F_0 \sim \sqrt{t}$. Чем дольше информированный трейдер ждёт между сделками, тем сильнее обесценивается его информация из-за неопределённости будущего значения $F_t$. Оптимальный диапазон значений $\nu$ таков, что вариация $\delta F_t$ на интервалах времени $t \sim 1/\nu$ между двумя сделками имеет тот же порядок величины, что и $\theta G$. Поэтому мы будем предполагать, что

где $\alpha > 0$ — константа порядка единицы². Заметим, что эта постановка предполагает, что маркетмейкер знает и $\nu$, и $\theta$.

1.1. GMM как модель рыночного импакта

Информированный трейдер будет наблюдать расхождение $\mathbb{E}\left[W_t\right] - p_t = \theta(G - \mathbb{E}\left[G|x_{\le t}, \nu\right])$ между своим ожиданием стоимости актива и рыночной ценой. Как сказано выше, он будет покупать, если актив недооценён ($\mathbb{E}\left[W_t\right] > p_t$), что происходит при $G = +1$, и продавать, если он переоценён ($G = -1$).

Во всех практических отношениях информированный трейдер в GMM идентичен трейдеру, который механически исполняет мета-ордер на покупку ($G = +1$) или продажу ($G = -1$), то есть последовательность дочерних заявок на покупку (или продажу)³. Маркетмейкер должен устанавливать цены согласно уравнению (4) независимо от того, исходит ли поток заявок от информированных трейдеров или от исполнения мета-ордера. Мета-ордер определяется направлением $G = \pm 1$ (покупка или продажа), объёмом $Q$ и горизонтом времени $T$ его исполнения, который равен проторгованному объёму $V_T = T$ за время $T$. Параметр $\nu = Q/V_T$ — это частота подачи дочерних заявок; в литературе по микроструктуре рынка её называют долей участия (participation rate) (см., например, [13, 14]). При том же размере мета-ордера $\nu$ обратно пропорциональна $V_T$, поэтому $\nu$ — это ещё и (обратная) мера ликвидности. Параметр $\theta$, который в исходной GMM был смещением стоимости актива, воспринимаемой информированным трейдером, настраивает силу реакции рынка на персистентный поток заявок (см. уравнение 4), когда GMM интерпретируется как модель рыночного импакта.

1.2. Предел непрерывного времени

Поскольку торговля на современных финансовых рынках происходит на масштабе миллисекунд, мы изучаем скейлинговый предел $\nu \to 0$, $t \to \infty$ при конечном $q = \nu t$. Перемасштабированное время измеряет время в терминах исполнения мета-ордера и соответствует эмпирическим средним при условии заданного размера мета-ордера, как в уравнении (1) при $q = Q$. Предел $\nu \to 0$ соответствует и предельно медленной скорости исполнения мета-ордера, и пределу идеально ликвидных акций, когда между двумя дочерними заявками происходит бесконечное число транзакций. Результаты мы будем выражать в непрерывном времени $q$, а выводы проводить в терминах микроскопического времени $t$.

Объём $V_\tau$ в уравнении (1) на конечных интервалах времени $q$ обратно пропорционален $\nu$, тогда как волатильность, с учётом уравнения (5), равна

Причина, по которой слагаемое $\theta\,\mathbb{E}\left[G|x_{\le t}, \nu\right]$ в уравнении (4) не даёт вклада в волатильность, состоит в том, что $\sigma_\tau$ вычисляется безусловным усреднением, в котором эффект мета-ордеров усредняется до нуля. Напротив, ожидаемое значение в уравнении (1) обусловлено началом мета-ордера.

Уравнение (6) при $q = 1$ означает, что $\alpha\theta = \sigma_{\tau = 1/\nu}$ — волатильность на интервалах времени между двумя дочерними заявками. Поэтому $\theta$ зависит от протокола исполнения мета-ордера⁴. Универсальность законов рыночного импакта, таких как уравнение (1), в рамках идеализированной постановки модели требует, чтобы результаты выражались в терминах эмпирически наблюдаемых величин и не зависели от $\theta$ (и $\nu$).

Наконец, в высокочастотном режиме ($\nu \to 0$) имеет смысл специализироваться на случае, когда шумовые трейдеры покупают и продают с одинаковой вероятностью, как и постулировано, и предполагать, что мета-ордера равновероятно направлены в любую сторону, то есть $P\{G = \pm 1\} = 1/2$.

1.3. Рыночный импакт в GMM

Рыночный импакт — ключевая интересующая нас величина — это абсолютное ожидаемое изменение цены с начала мета-ордера⁵

где $\Delta p_t = p_t - p_0$, а $p_0 = F_0$ — цена в начале мета-ордера. Важно подчеркнуть, что рыночный импакт не зависит от $F_t$. Ожидаемое значение в уравнении (7) соответствует статистическому среднему, вычисляемому в эмпирическом анализе рыночного импакта. Это среднее обусловлено началом мета-ордера в момент $t = 0$. Такая процедура усредняет по множеству различных рыночных условий, тем самым ослабляя дальнодействующую автокорреляцию потока заявок [1]. Это, в принципе, оправдывает некоррелированный поток заявок шумовых трейдеров, предполагаемый в модели. Соответственно, наш анализ сосредоточен на статистике одиночного мета-ордера и не рассматривает эффекты корреляций между разными мета-ордерами, которые, как предполагалось, вносят вклад в рыночный импакт [10].

Заметим, что по уравнению (3) дисбаланс между заявками на покупку и продажу растёт линейно во времени, то есть $\mathbb{E}\left[2n_t - t\right] = \nu t G$, пока мета-ордер активен ($t \le T$). Для малых $\nu$ находим (см. приложение A)

где $\xi$ — гауссовская случайная величина с нулевым средним и единичной дисперсией. Это показывает, что истинное значение $G$ раскрылось бы на временах порядка $t \sim \nu^{-2}$, которые много больше времени исполнения мета-ордера при $Q \ll \nu^{-1}$. Для малых $\nu$ и $t \ll \nu^{-2}$ рыночный импакт $\Im(q) \simeq \theta\nu q$ растёт линейно во времени при $q \le Q$ и может быть записан в виде

где мы использовали уравнение (6). При $q \ll \nu^{-1}$ импакт $\Im(q)$ пренебрежимо мал по сравнению с флуктуациями $F_t$, которые имеют порядок $\sqrt{q}$. Следовательно, интересующий нас скейлинговый режим $q \ll \nu^{-1}$ лежит в области, где вклад мета-ордера статистически необнаружим.

После остановки мета-ордера статистика $n_t$ меняется, потому что дисбаланс покупок и продаж исчезает и $\mathbb{E}\left[2n_t - t\right] = GQ$ остаётся постоянным. Это приводит к кажущемуся постоянному импакту на временах $q \ll \nu^{-1}$, который переходит в медленное затухание импакта $\Im(q) \simeq \sqrt{\frac{2}{\pi}}\,\frac{Q}{\alpha}\,\frac{\sigma_\tau}{\sqrt{V_\tau q}}$ на временах $q \gg \nu^{-1}$ (см. приложение A). И линейный импакт при $q \le Q$, и медленное затухание при $q > Q$ противоречат эмпирическим данным. Более того, рыночный импакт не является независимым от исполнения мета-ордера, как в уравнении (1), из-за зависимости от $\theta$ в уравнении (9).

2. Байесовский маркетмейкер

До сих пор мы предполагали, что частота торговли $\nu$ мета-ордера известна маркетмейкеру. Если маркетмейкер не знает истинного значения $\nu$, можно предположить, что он будет обновлять свои представления о $\nu$ по правилу Байеса и потоку наблюдённых транзакций $x_{\le t}$:

где $\phi(v)$ — приор. Здесь и далее $v$ обозначает выводимое значение частоты торговли мета-ордера (случайную величину), тогда как $\nu$ — истинное значение. С учётом этого маркетмейкер оценивает последнее слагаемое в уравнении (4) как

где $\mathbb{E}\left[G|x_{\le t}, v\right]$ — то же, что в уравнении (4) с $\nu$, заменённой на $v$. Отметим, что ожидание в уравнении (11), как и вероятность $P(v|x_{\le t})$, относятся к субъективному состоянию знаний маркетмейкера, а не к объективным распределениям вероятностей.

2.1. Закон импакта квадратного корня

Уравнение (11) удобнее выразить через случайную величину $\xi = (2n_t - t)/\sqrt{t}$, которая асимптотически подчиняется нормальному закону в скейлинговом режиме $1 \ll t \ll \nu^{-2}$ со средним $\mathbb{E}\left[\xi\right] = G\nu\sqrt{t}$ и дисперсией $\mathbb{V}\left[\xi\right] = 1 - \nu^2$. Как показано в приложении B, в главном порядке

Заметим, что в пределе $t \to \infty$ цена асимптотически сходится к истинной стоимости, то есть $p_t \to F_{t-1} + \theta G$, потому что $G\xi \to \infty$ в этом пределе. Беря ожидание по $\xi$, находим

В непрерывном времени, с учётом уравнения (6), рыночный импакт можно выразить как

что есть уравнение (1) с $C = 1/(\sqrt{\pi}\alpha)$ при $q = Q$.

Истинное значение $\nu$ становится статистически обнаружимым при $q \sim \nu^{-1}$ — это же время, когда раскрывается истинное значение $G$ (см. уравнение 13).

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

Стоит упомянуть, что волатильность $\sigma_\tau^2$ отличается от дисперсии

разности цен $\Delta p_\tau = p_\tau - p_0$, потому что обусловливание началом мета-ордера вводит постоянное слагаемое, обязанное рыночному импакту (см. приложение B). Это предсказание, которое можно проверить в эмпирическом анализе.

Изложенный выше вывод закона квадратного корня справедлив при существенно более общих условиях, чем предполагалось до сих пор. Рис. 1 показывает, что главное поведение в уравнении (13) выполняется вообще для любого приора $\phi(v) \sim v^{k-1}$ с $k > 0$, как показано в приложении C⁶. Закон квадратного корня выполняется до тех пор, пока объёмы отдельных заявок берутся из распределения с конечным вторым моментом и/или при наличии короткодействующих автокорреляций в заявках шумовых трейдеров (см. приложение D).

2.2. Кроссовер к линейному импакту на коротких временах

Уравнение (13) предполагает приор $\phi(\nu)$, простирающийся до конечных значений $\nu$. Разумно предположить, что рынок ожидает малости вклада мета-ордеров в поток заявок, то есть что $\nu$ не превышает $\bar\nu$. Чтобы учесть это наблюдение, возьмём $\phi(v) = 1/\bar\nu$ при $v \in [0, \bar\nu]$ и $\phi(v) = 0$ иначе. При этом предположении находим (см. приложение E)

где $\xi = (2n_t - t)/\sqrt{t}$ определена так же, как выше. При $\bar\nu\sqrt{t} \gg 1$ (то есть $t \gg \bar\nu^{-2}$) мы восстанавливаем уравнение (12), тогда как при $t \ll \bar\nu^{-2}$ разложение этого выражения при $\bar\nu\sqrt{t} \ll 1$ даёт $\mathbb{E}\left[G|x_{\le t}\right] \simeq \frac{1}{2}\xi\bar\nu\sqrt{t} + O(\bar\nu^2 t)$. Беря ожидание по $\xi$, мы восстанавливаем линейный режим, найденный в работе [11]:

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

Иными словами, для малых заявок ($q \ll \nu/\bar\nu^2$) мы находим линейный импакт. Для заявок длительностью $\nu/\bar\nu^2 \ll q \ll \nu^{-1}$ устанавливается SRIL, а для заявок много длиннее $\nu^{-1}$ импакт насыщается на конечном значении. Заметим, что значение кроссовера $q^* = \frac{\pi}{4}\nu/\bar\nu^2$, полученное приравниванием уравнений (14) и (17), зависит от исполнения мета-ордера.

При $q = Q$ уравнение (17) воспроизводит кроссовер $\Im(Q)$ к линейному поведению, похожий на наблюдавшийся Буччи и соавторами [11], но не идентичный ему: наша теория предсказывает кроссовер в терминах длительности мета-ордера (со временем кроссовера $T^* = \bar\nu^{-2}$), тогда как результаты Буччи и соавторов указывают, что переменная кроссовера — $\nu\sqrt{T}$ (см. рис. 2 в [11]). Картина, вырисовывающаяся из эмпирических исследований, безусловно сложнее упрощённой картины кроссовера в нашей модели. Например, наш подход пренебрегает эффектом корреляций между мета-ордерами, который, как предполагалось, важен для кроссовера [10].

2.3. Затухание импакта

Рассмотрим теперь поведение рыночного импакта на временах $t > T$ после полного исполнения мета-ордера. Снова можно использовать уравнение (12), но статистика $\xi = (2n_t - t)/\sqrt{t}$ должна учитывать, что $\mathbb{E}\left[x_\tau\right] = 0$ при $\tau > T$. Поэтому

Дисперсия $\mathbb{V}\left[n_t\right] = \frac{t}{4} - \frac{\nu Q}{4}$ вычисляется аналогично. Следовательно, $\xi$ — гауссовская величина со средним $\mathbb{E}\left[\xi\right] = G\frac{Q}{\sqrt{t}}$ и дисперсией $\mathbb{V}\left[\xi\right] = 1 - \nu Q/t \simeq 1$. Подставляя это в уравнение (12), получаем $\mathbb{E}\left[\Delta p_t\right] \simeq \theta G\,\mathrm{erf}\!\left(\frac{Q}{2\sqrt{t}}\right)$, что даёт затухание импакта как

Отметим, что $\Im(q)/\Im(Q) \simeq \sqrt{Q/q}$ при $q \ge Q$ — то же поведение, что выведено в модели латентного стакана [9]; оно совместимо с медленным степенным затуханием, предсказываемым моделью пропагатора [19, 14], и с эмпирически наблюдаемым степенным затуханием импакта на внутридневных масштабах времени [13].

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

Наша теория предсказывает затухание импакта до нуля и отсутствие постоянного импакта (см. рис. 3). Это согласуется с тем, что в исходной формулировке GMM сигнал, доступный информированному трейдеру, тоже не постоянен: после времени $T$ она перестаёт подавать заявки.

Окончательных свидетельств о том, оставляют ли мета-ордера постоянный импакт, нет. Одни исследования [12, 20] указывают, что затухание должно стремиться к исходной цене. Другие [3, 14] поддерживают гипотезу плато. Теория «справедливого ценообразования» [8] предсказывает «универсальный» постоянный импакт, равный $2/3$ пикового, что, по-видимому, опровергается более свежими эмпирическими исследованиями на больших наборах данных [13]. Постоянный импакт связывался с эффектом информированных трейдеров [13] и должен исчезать на идеально эффективных рынках, в согласии с предсказанием на основе Minority Game [7]. В нашей теории затухание импакта возникает из взаимодействия постоянного смещения в потоке заявок $n_t$, дающего $\mathbb{E}\left[\xi\right] = GQ/\sqrt{t}$, и линейно растущей дисперсии $n_t$, дающей $\mathbb{V}\left[\xi\right] \simeq 1$. Постоянный импакт может возникнуть при антикоррелированном потоке заявок, при котором дисперсия $n_t$ насыщается, а смещение потока заявок сохраняется. Легко видеть, что это породило бы постоянный импакт, пропорциональный $Q$. В модели латентного стакана [21] постоянный импакт возникает при конечной памяти рынка. В нашем случае конечная память тоже может привести к постоянной дисперсии $n_t$ и, следовательно, к $\mathbb{V}\left[\xi\right] \sim 1/t$, но одновременно она вымывает смещение в потоке заявок. В результате в нашей модели с конечной памятью постоянный импакт не возникает. Эти наблюдения полностью подтвердились численными симуляциями.

Для малых $t - T$ наша теория предсказывает, что импакт сразу после окончания мета-ордера затухает как

Это менее круто, чем затухание $\mathbb{E}\left[\Delta p_{t>T}\right] / \mathbb{E}\left[\Delta p_T\right] \simeq 1 - \sqrt{(t - T)/T}$, предсказываемое моделью латентных стаканов [9].

Наша теория также предсказывает, что при развороте направления мета-ордера после времени $T = Q/\nu$ цена должна вернуться к исходной за время $T$ (см. приложение F). Это контрастирует с теорией латентных стаканов, предсказывающей более быстрый возврат к исходной цене — за время $T/4$ [9]. Численные симуляции подтвердили, что асимметричное поведение с более быстрым возвратом к исходной цене возникает в нашей модели при введении конечной памяти.

2.4. Интуитивный аргумент

Понимание происхождения выведенного выше поведения можно получить из простого аргумента, предполагающего, что маркетмейкер опирается на байесовскую оценку⁷ $\hat\nu_{\mathrm{Bayes}} = \mathbb{E}\left[\nu|x_{\le t}\right]$ частоты $\nu$. Это приводит к (см. приложение G)

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

Словами: на коротких временах ($t \ll \bar\nu^{-2}$) в приоре доминирует обрезание $\bar\nu$, тогда как на больших масштабах времени его ширина сужается как $1/\sqrt{t}$. Подстановка главного поведения $\hat\nu_{\mathrm{Bayes}}$ в результат для линейного импакта (уравнение 9), то есть $\Im(q) \simeq \theta\hat\nu_{\mathrm{Bayes}} q$, позволяет восстановить и SRIL (уравнение 13, с точностью до множителя $\sqrt{2}$), и кроссовер к линейному режиму (уравнение 17).

Заметим, что время исполнения мета-ордера $Q/\nu$ обычно много меньше времени, когда обнаруживается истинное значение $\hat\nu_{\mathrm{Bayes}} \simeq \nu$. Поэтому вся феноменология рыночного импакта скрыта стохастическими флуктуациями. Действительно, в эмпирических исследованиях она проявляется только при аккуратном усреднении по множеству мета-ордеров при условии их начала.

3. Заключение

Итак, настоящая работа показывает, что закон квадратного корня рыночного импакта может быть выведен как точный результат в соответствующем скейлинговом пределе простой модели рынка, в которой цена формируется путём полностью байесовского рассуждения. Этот подход заимствует механизм формирования цены из модели GMM, объединяя его с экзогенным слагаемым, восстанавливающим диффузионность цены (как, например, в [22]). В такой постановке мы наблюдаем, что персистентный поток заявок, порождаемый мета-ордером, имеет тот же эффект, что и активность информированного трейдера в GMM.

Предельная простота модели и отсутствие каких-либо специальных допущений даёт дополнительную теоретическую поддержку эмпирически наблюдаемой универсальности закона квадратного корня рыночного импакта. Независимость этого закона от протокола исполнения — следствие того, что интересующий скейлинговый режим $t \ll \nu^{-2}$ лежит в области, где вклад мета-ордера в поток заявок статистически необнаружим.

Эта модель также позволяет воспроизвести кроссовер к линейному импакту для малых заявок, наблюдавшийся в [11], и затухание импакта на временах $q \gg Q$. Подход предсказывает, что цена в среднем возвращается к исходному значению после окончания мета-ордера. Вся эта феноменология выражается через время исполнения мета-ордера $q$ и эмпирически измеримые величины в нетривиальном пределе высокочастотной торговли ($\nu \to 0$).

Помимо простой и прозрачной картины феноменологии рыночного импакта, эта теория предсказывает, что волатильность должна приобретать постоянное слагаемое, когда статистические средние обусловлены началом мета-ордера (уравнение 15). Ещё одно предсказание нашей теории (см. приложение H): средний бид-аск спред при условии начала мета-ордера должен убывать как $1/\sqrt{t}$. Оба предсказания можно проверить в дальнейших эмпирических исследованиях.

Важно оговорить пределы нашей теории — неизбежное следствие её простоты, — чтобы поставить результаты в правильную перспективу. По сравнению со сложностью реальных рынков наша модель делает ряд драконовских допущений. Во-первых, модель предполагает некоррелированный поток заявок единичного объёма от шумовых трейдеров. В приложении D.2 мы показываем, как меняются результаты при распределении объёмов заявок шумовых трейдеров с тяжёлыми хвостами: SRIL сохраняется, если распределение объёмов имеет конечный второй момент, что согласуется с эмпирическим анализом. SRIL также выполняется, как показано в приложении D.3, для короткодействующе коррелированных потоков заявок, но модифицируется, если потоки заявок проявляют дальнодействующие автокорреляции. Такие дальние корреляции могут также объясняться коррелированными мета-ордерами. Наша теория описывает реакцию рынка на одиночный мета-ордер, поэтому она пренебрегает эффектами коррелированных мета-ордеров, которые, как предполагалось, важны для феноменологии рыночного импакта [10].

Ключевое допущение нашего подхода — уравнение (6). Оно связывает волатильность цены с силой инсайдерской информации. Как следствие, мы утверждаем, что и $\nu$, и $\theta$ зависят от протокола исполнения мета-ордера. Однако если в байесовском подходе $\nu$ выводится рынком, то знание $\theta$ маркетмейкером мы предполагаем неявно. В полноценной теоретико-игровой трактовке взаимодействия маркетмейкера и информированного трейдера это было бы явным ограничением.

Наш подход заимствует механизм формирования цены из GMM как минимальной модели того, как рынки реагируют на персистентный поток заявок, порождаемый мета-ордерами. При этом мы абстрагируемся от стратегических соображений на том основании, что исполнение мета-ордера скрыто стохастическими флуктуациями в интересующем нас режиме. С этой точки зрения $\theta$ рассматривается как параметр, настраивающий силу реакции рынка и зависящий от истинного значения $\nu$, а не от его выводимого значения в момент $t$. Независимость наших ключевых результатов (уравнения 14 и 19) от $\theta$ подтверждает разумность такого подхода.

Несмотря на ограничения, мы полагаем, что представленная здесь теория даёт связную стилизованную модель феноменологии рыночного импакта, которая может быть полезна в дальнейших исследованиях.

Благодарности

Мы благодарны Леонардо Барджильи, Жан-Филиппу Бушо, Фабрицио Лилло, Якопо Мастроматтео и Микеле Водре за многочисленные обсуждения и стимулирующие комментарии.

Литература

1. Jean-Philippe Bouchaud, Julius Bonart, Jonathan Donier, and Martin Gould. Trades, quotes and prices: financial markets under the microscope. Cambridge University Press, 2018. ↑
2. Bence Tóth, Yves Lemperiere, Cyril Deremble, Joachim De Lataillade, Julien Kockelkoren, and J-P Bouchaud. Anomalous price impact and the critical nature of liquidity in financial markets. Physical Review X, 1(2):021006, 2011. ↑
3. Esteban Moro, Javier Vicente, Luis G Moyano, Austin Gerig, J Doyne Farmer, Gabriella Vaglica, Fabrizio Lillo, and Rosario N Mantegna. Market impact and trading profile of hidden orders in stock markets. Physical Review E, 80(6):066102, 2009. ↑
4. Jonathan Donier and Julius Bonart. A million metaorder analysis of market impact on the bitcoin. Market Microstructure and Liquidity, 1(02):1550008, 2015. ↑
5. Bence Tóth, Zoltán Eisler, and J-P Bouchaud. The square-root impact law also holds for option markets. Wilmott, 2016(85):70–73, 2016. ↑
6. Xavier Gabaix, Parameswaran Gopikrishnan, Vasiliki Plerou, and H Eugene Stanley. A theory of power-law distributions in financial market fluctuations. Nature, 423(6937):267–270, 2003. ↑
7. Andre Cardoso Barato, Iacopo Mastromatteo, Marco Bardoscia, and Matteo Marsili. Impact of meta-order in the minority game. Quantitative Finance, 13(9):1343–1352, 2013. ↑
8. J Doyne Farmer, Austin Gerig, Fabrizio Lillo, and Henri Waelbroeck. How efficiency shapes market impact. Quantitative Finance, 13(11):1743–1758, 2013. ↑
9. Jonathan Donier, Julius Bonart, Iacopo Mastromatteo, and J-P Bouchaud. A fully consistent, minimal model for non-linear market impact. Quantitative Finance, 15(7):1109–1121, 2015. ↑
10. Frédéric Bucci, Iacopo Mastromatteo, Zoltán Eisler, Fabrizio Lillo, J-P Bouchaud, and C-A Lehalle. Co-impact: Crowding effects in institutional trading activity. Quantitative Finance, 20(2):193–205, 2020. ↑
11. Frédéric Bucci, Michael Benzaquen, Fabrizio Lillo, and Jean-Philippe Bouchaud. Crossover from linear to square-root market impact. Physical Review Letters, 122(10):108302, 2019. ↑
12. Xavier Brokmann, Emmanuel Serie, Julien Kockelkoren, and J-P Bouchaud. Slow decay of impact in equity markets. Market Microstructure and Liquidity, 1(02):1550007, 2015. ↑
13. Frédéric Bucci, Michael Benzaquen, Fabrizio Lillo, and Jean-Philippe Bouchaud. Slow decay of impact in equity markets: insights from the ancerno database. Market Microstructure and Liquidity, 4(03n04):1950006, 2018. ↑
14. Elia Zarinelli, Michele Treccani, J Doyne Farmer, and Fabrizio Lillo. Beyond the square root: Evidence for logarithmic dependence of market impact on size and participation rate. Market Microstructure and Liquidity, 1(02):1550004, 2015. ↑
15. Lawrence R Glosten and Paul R Milgrom. Bid, ask and transaction prices in a specialist market with heterogeneously informed traders. Journal of Financial Economics, 14(1):71–100, 1985. ↑
16. Albert S Kyle. Continuous auctions and insider trading. Econometrica: Journal of the Econometric Society, pages 1315–1335, 1985. ↑
17. Kerry Back and Shmuel Baruch. Information in securities markets: Kyle meets Glosten and Milgrom. Econometrica, 72(2):433–465, 2004. ↑
18. Léo Touzo, Matteo Marsili, and Don Zagier. Information thermodynamics of financial markets: the Glosten–Milgrom model. Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment, 2021(3):033407, 2021. ↑
19. Jean-Philippe Bouchaud, Yuval Gefen, Marc Potters, and Matthieu Wyart. Fluctuations and response in financial markets: the subtle nature of 'random' price changes. Quantitative Finance, 4(2):176, 2003. ↑
20. Carla Gomes and Henri Waelbroeck. Is market impact a measure of the information value of trades? Market response to liquidity vs. informed metaorders. Quantitative Finance, 15(5):773–793, 2015. ↑
21. Michael Benzaquen and J-P Bouchaud. Market impact with multi-timescale liquidity. Quantitative Finance, 18(11):1781–1790, 2018. ↑
22. Charles-Albert Lehalle and Eyal Neuman. Incorporating signals into optimal trading. Finance and Stochastics, 23:275–311, 2019. ↑
23. Fabrizio Lillo, Szabolcs Mike, and J Doyne Farmer. Theory for long memory in supply and demand. Physical Review E, 71(6):066122, 2005.
24. Parameswaran Gopikrishnan, Vasiliki Plerou, Xavier Gabaix, and H Eugene Stanley. Statistical properties of share volume traded in financial markets. Physical Review E, 62(4):R4493, 2000.
25. J Doyne Farmer and Fabrizio Lillo. On the origin of power-law tails in price fluctuations. Quantitative Finance, 4(1):C7, 2004.
26. Hernán A Makse, Shlomo Havlin, Moshe Schwartz, and H Eugene Stanley. Method for generating long-range correlations for large systems. Physical Review E, 53(5):5445, 1996.

Приложение A. Линейный импакт при известной $\nu$

Напомним, что временной ряд сделок $x_{\le t} = (x_1, \ldots, x_t)$ ($x_t = 1$ для покупки и $x_t = -1$ для продажи) — случайная величина, распределение которой $P\{x_{\le t}|G, \nu\}$ дано уравнением (3).

По правилу Байеса находим

и $P\{G = \pm 1|\nu\} = 1/2$. Это позволяет вычислить вклад в цену, возникающий из потока заявок, который можно записать как

Поэтому, когда маркетмейкер знает $\nu$, цена принимает следующее явное выражение:

Используя то, что $n_t$ — биномиальная случайная величина со средним $\mathbb{E}\left[n_t\right] = \frac{1+\nu G}{2}t$ и дисперсией $\mathbb{V}\left[n_t\right] = \frac{1-\nu^2}{4}t$, находим уравнение (8) в главном порядке. Главный вклад информированных трейдеров в ожидаемое значение $p_t$ пропорционален $\theta\nu^2 t G$ при $\nu^2 t \ll 1$, а его флуктуация имеет порядок $\theta\nu\sqrt{t}$.

Когда мета-ордер закончен ($t > T$), статистика $n_t$ меняется, как описано в основном тексте. В аргументе уравнения (8) доминирует случайная часть, и

где $\xi$ — гауссовская случайная величина с нулевым средним и единичной дисперсией. При взятии ожидания по $\xi$ первое слагаемое исчезает. Вскоре после окончания мета-ордера, то есть при $T < t \ll \nu^{-2}$, второе слагаемое постоянно, потому что $1/\cosh^2(\nu\sqrt{t}\,\xi) \simeq 1 - \nu^2 t\,\xi^2 + \ldots$. Это приводит к кажущемуся постоянному импакту, пока $t \ll \nu^{-2}$. Однако на временах $t \gg \nu^{-2}$ рыночный импакт затухает, потому что ожидаемое значение второго слагаемого в правой части уравнения (23) даёт

Приложение B. Вывод SRIL

Когда $\nu$ неизвестна, вклад в цену от потока заявок, как показано в основном тексте, равен

где апостериорное распределение $\nu$ дано формулой

а $\phi(v)$ — приор. Объединяя это с $\mathbb{E}\left[G|x_{\le t}, v\right]$ из уравнения (21), уравнение (24) принимает вид

где $z = (2n_t - t)/t$ и

— дивергенция Кульбака–Лейблера.

Заметим, что случайная величина $z$ обычно очень мала при $t \gg 1$. Действительно, её можно записать как $z = \xi/\sqrt{t}$, где $\xi$ хорошо приближается гауссовской случайной величиной со средним $\mathbb{E}\left[\xi\right] = G\nu\sqrt{t}$ и дисперсией $\mathbb{V}\left[\xi\right] = 1 - \nu^2$. Заметим также, что $\mathbb{E}\left[\xi\right]$ очень мало́ в интересующем нас скейлинговом режиме $1 \ll t \ll \nu^{-2}$.

При $t \to \infty$ интегралы по $v$ в уравнении (26) доминируются значениями $v$, для которых $D(z\|v) \sim t^{-1}$. Поскольку $D(z\|v) \sim (z - v)^2$, интегралы доминируются значениями $v$ с $(v - z) \sim 1/\sqrt{t}$. Отсюда существенный диапазон в интегралах — $v \sim 1/\sqrt{t}$, потому что $z \sim 1/\sqrt{t}$. Соответственно, интегралы зондируют поведение приора $\phi(v)$ в пределе $v \to 0$. Мы будем предполагать, что $\phi(v)$ имеет конечный предел при $v \to 0$. Различные сингулярные поведения приора при $v \to 0$ обсуждаются в следующем приложении.

Итого, в главном порядке находим $D(z\|v) \simeq \frac{(\gamma - \xi)^2}{2t} + O(1/t^2)$, что приводит к

что есть уравнение (12) основного текста. Беря ожидание по $\xi$, находим⁸ уравнение (13) основного текста. Заметим, что в рамках этого приближения $\mathbb{E}\left[G|x_{\le t}\right] \to G$ при $t \to \infty$.

Из уравнения (28) можно также вычислить дисперсию этого вклада в цену:

Приложение C. Закон квадратного корня для приоров $\phi(\nu) \sim \nu^{k-1}$ при $\nu \to 0$

Здесь мы обобщаем вывод предыдущего приложения на приоры, ведущие себя как $\phi(\nu) \sim A\nu^{k-1}$ при $\nu \to 0$, с $k > 0$ и нормировочной константой $A$, обеспечивающей $\int_0^1 dv\,\phi(v) = 1$. Вводя снова $\xi = (2n_t - t)/\sqrt{t}$ и полагая $v = \gamma/\sqrt{t}$ в уравнении (26), имеем

где ${}_1F_1(a, b, x)$ — вырожденная гипергеометрическая функция с параметрами $a$ и $b$. Разложение уравнения (29) по степеням $\xi$ содержит только нечётные степени. Главные члены:

Учитывая главное поведение $\mathbb{E}\left[\xi^{2n+1}\right] \simeq \frac{2^{n+1}}{\sqrt{\pi}}\Gamma(n + 3/2)\,\nu\sqrt{t} + O(\nu\sqrt{t})^3$ ожидаемых значений нечётных степеней $\xi$, заключаем, что SRIL выполняется и в этом случае, с коэффициентом, зависящим от $k$. Для малых значений $k$ уравнение (29) читается как

где $\mathrm{erfi}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{z^2}dz$ — мнимая функция ошибок. В пределе малых $k$ рыночный импакт меняется линейно по $k$ и исчезает при $k \to 0$. В самом деле, при $k = 0$ приор ведёт себя как дельта-функция в $\nu = 0$, что соответствует маркетмейкеру, который убеждён, что информированного трейдера (или мета-ордера) нет. Однако на временах $t \gg \nu^{-2}$ истинное значение $\nu$ раскрывается независимо от приора. Поэтому поведение $\mathbb{E}\left[\Delta p_t\right] \propto \theta k \nu\sqrt{t}$ при $t \ll \nu^{-2}$ должно смениться более быстрым ростом рыночного импакта, как показано на рис. 1 основного текста, в режиме $t \sim \nu^{-2}$.

Приложение D. Закон квадратного корня для общих процессов потока заявок

В основном тексте мы считали, что все агенты торгуют единичным объёмом на каждом шаге игры, а заявки шумовых трейдеров некоррелированы. Модель можно обобщить, позволив и информированному трейдеру, и шумовым трейдерам торговать неединичными объёмами одновременно и допустив коррелированные потоки заявок. Для общности мы также будем предполагать, что $G$ равно $1$ с вероятностью $p$ и $-1$ с вероятностью $1 - p$.

На каждом шаге игры $t$ информированный трейдер покупает количество $\chi > 0$ актива при $G = 1$ и продаёт объём $-\chi < 0$ при $G = -1$ (так что $\chi$ всегда положительна).

Шумовые трейдеры торгуют случайно. На каждом шаге $t$ они торгуют объёмом $v_t$, который подчиняется нормальному закону $\mathcal{N}(r, \sigma_v^2)$, где $r$ количественно выражает смещение шумовых трейдеров, а $\sigma_v$ — типичный объём неинформированных сделок. Для упрощения анализа мы изучаем случай несмещённых шумовых трейдеров, то есть $r = 0$.

Маркетмейкер — тот, кто предоставляет ликвидность рынку. На каждом шаге он устанавливает цену, по которой продаёт или покупает актив, так чтобы в среднем иметь нулевую прибыль. Следовательно, цена равна $p_t = F_{t-1} + \theta\,\mathbb{E}\left[G|x_{\le t}\right]$. Единственная информация, которой он располагает, — дисбаланс объёма $\Delta V$ в момент $t$ и вероятность $p$ того, что $G$ равно $1$. Начнём анализ с предположения, что маркетмейкер знает скорость торговли информированного трейдера $\chi$.

Введём $V_t = \sum_{\tau=1}^{t} v_\tau$ — кумулятивный объём, проторгованный шумовыми трейдерами до момента $t$. Тогда $V_t$ подчиняется гауссовскому распределению $\mathcal{N}(0, \sigma_v^2 t)$. Дисбаланс объёма в момент $t$ равен $\Delta V = V_t + G\chi t$ — тоже гауссовская величина с распределением $P(\Delta V|G, \chi) \propto \exp\!\left(-\frac{1}{2}\frac{(\Delta V - G\chi t)^2}{\sigma_v^2 t}\right)$. Следовательно,

Рассмотрим теперь случай, когда скорость торговли $\chi$ неизвестна. Тогда

При известном $\Delta V$ распределение вероятностей $\chi$ есть

где $\phi(\chi)$ — приорное распределение скорости торговли $\chi$. Подставляя уравнения (31) и (33) в (32), получаем

Если взять равномерный приор, имеем

а для частного случая $p = \frac{1}{2}$ это уравнение превращается в

что очень похоже на результат модели с единичными объёмами (уравнение 28). Здесь аналог $\xi$ — это $\Delta V/(\sigma_v\sqrt{t}) \sim \mathcal{N}\!\left(G\frac{\chi}{\sigma_v}\sqrt{t}, 1\right)$. Легко видеть также, что величиной, аналогичной $\nu$, служит $\chi/\sigma_v$. Беря ожидание по сделкам шумовых трейдеров, получаем ценовой импакт

который снова демонстрирует поведение квадратного корня. Из уравнения (36) можно также вычислить стандартное отклонение вклада дисбаланса заявок:

D.1. Реакция рынка на дисбаланс потока заявок

Благодаря уравнениям (35) и (36) мы можем вычислить цену как функцию дисбаланса потока заявок $\Delta V$ в момент $t$. Так, агрегированный импакт $\mathbb{E}\left[\Delta p_t|\Delta V\right]$ рынка можно вычислить из этих выражений, поскольку мартингальный вклад вымывается при взятии ожидания.

Интересный параметр, извлекаемый из агрегированного импакта, — лямбда Кайла $\Lambda$. Это наклон агрегированного импакта в $\Delta V = 0$; она количественно выражает реакцию рынка на малый дисбаланс потока заявок. Дифференцируя уравнение (35) в $\Delta V = 0$ и подставляя в $p_t = F_{t-1} + \theta\,\mathbb{E}\left[G|\Delta V\right]$, получаем

так что лямбда Кайла в нашей модели убывает со временем, как и наблюдается эмпирически [1]. Это контрастирует с предсказанием модели Кайла, где $\Lambda$ постоянна [16]. Заметим также, что реакция рынка растёт с $\mathbb{V}\left[G\right] = 4p(1-p)$, то есть с неопределённостью значения $G$.

Замечая, что байесовская оценка скорости торговли информированного трейдера имеет вид $\chi^{\mathrm{Bayes}} = \int_0^\infty d\chi\,\chi P(\chi|\Delta V) = \sqrt{\frac{2}{\pi t}}\,\sigma_v + O(\Delta V)$, лямбду Кайла можно переписать как

что подчёркивает: реакция маркетмейкера на дисбаланс объёма пропорциональна его оценке скорости торговли информированного трейдера. Это не удивительно, потому что разложение уравнения (31), описывающего реакцию маркетмейкера при известном $\chi$, даёт

Уравнение (40) согласуется с этим уравнением, где значение $\chi$ заменено его байесовской оценкой.

D.2. Распределение объёмов шумовой торговли с тяжёлыми хвостами

Вывод предыдущего раздела можно обобщить на случай, когда шумовые трейдеры подают заявки с распределением объёма с тяжёлыми хвостами. Предположим, что объём $v_t$, торгуемый шумовыми трейдерами в момент $t$, подчиняется чётному распределению с $P(v) \sim \frac{C}{|v|^{1+\alpha}}$ при $v \to \infty$, где $C$ — константа, а $\alpha$ — показатель распределения. При $\alpha \ge 2$ дисперсия $\sigma_v$ величины $v_t$ конечна. Поэтому применима центральная предельная теорема (ЦПТ), и кумулятивный объём $V_t$ шумовых трейдеров подчиняется нормальному закону $\mathcal{N}(0, \sigma_v^2 t)$. Итого, поведение $\Delta V$ асимптотически такое же, как для гауссовских заявок шумовых трейдеров при $t \to \infty$. Таким образом, мы восстанавливаем закон квадратного корня для всех $\alpha \ge 2$.

При $\alpha < 2$ ЦПТ неприменима, потому что дисперсия $v_t$ бесконечна. Здесь мы будем предполагать, что $v_t$ подчиняются устойчивому распределению Леви $L_{\alpha,\sigma_v}$ с параметром устойчивости $\alpha$, параметром масштаба $\sigma_v$ и нулевыми параметрами сдвига и скошенности, чтобы распределение было чётным. Это распределение можно рассматривать как обобщение гауссовского, которое восстанавливается при $\alpha = 2$. Оно имеет асимптотику $L_{\alpha,\sigma_v}(x) \sim \frac{C(\alpha)}{|x|^{1+\alpha}}$ и приятное свойство: если $v_\tau$ — независимые случайные величины с распределением $L_{\alpha,\sigma_v}$ для всех $\tau$, то $V_t = \sum_{\tau=1}^{t} v_\tau$ подчиняется распределению Леви $L_{\alpha,\sigma_v t^{1/\alpha}}$.

Благодаря этим свойствам, подставляя $V_t$ в уравнения (31)–(33) (напомним, $\Delta V = V_t + G\chi t$), при $p = 1/2$ получаем

Вводя $\mathcal{L}_{a,c}(x) = \int_0^x L_{a,c}(y)\,dy$, так что $\lim_{x\to-\infty} \mathcal{L}_{a,c}(x) = -\frac{1}{2}$, последнее выражение можно переписать как

Приведём примеры альфа-устойчивых распределений Леви. При $\alpha = 2$ восстанавливается гауссовское распределение и $\mathcal{L}_{2,1}(x) = \frac{1}{2}\mathrm{erf}(x)$. При $\alpha = 1$ имеем распределение Коши и $\mathcal{L}_{1,1}(x) = \frac{1}{\pi}\arctan(x)$.

Вычислим теперь ценовой импакт. Если считать $\chi t \ll \sigma_v t^{1/\alpha}$, будем иметь

Тогда ожидаемая цена равна

где $K(\alpha) = \int_{\mathbb{R}} du\, L_{\alpha,1}(u)^2$. При $\alpha = 2$ имеем $K(2) = 1/(2\sqrt{\pi})$, так что восстанавливается уравнение (37).

На финансовых рынках показатель тяжёлого хвоста обычно сообщается как $\alpha \approx 5/2 > 2$ [1], но он может варьироваться от исследования к исследованию [23, 24, 25].

D.3. Закон квадратного корня для коррелированного потока заявок

Чтобы добавить корреляции между заявками, предположим, что последовательность $(v_1, \ldots, v_t)$ подчиняется многомерному нормальному распределению $\mathcal{N}(\mathbf{0}, \mathbf{C})$. Здесь $\mathbf{0}$ — нулевой вектор, означающий, что среднее каждого $v_t$ равно нулю. $\mathbf{C}$ — корреляционная матрица, определённая как $(\mathbf{C})_{t,t'} = \mathbb{E}\left[v_t v_{t'}\right] = f(|t - t'|)$, где $f(0) = \sigma_v^2$ — дисперсия $v_t$, а $f$ — убывающая функция. Тогда кумулятивный шумовой объём $V_t$ подчиняется нормальному распределению $\mathcal{N}(0, \Sigma_t^2)$, где $\Sigma_t^2 = \sum_{t'=1}^{t}\sum_{t''=1}^{t} f(|t'' - t'|)$.

Теперь аналог уравнения (36) —

что приводит к

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

Рассмотрим случай быстрого затухания корреляций заявок. Например, можно взять $(\mathbf{C})_{t,t'} = \sigma_v^2\exp\!\left(-\frac{|t-t'|}{\tau_c}\right)$, где $\tau_c$ — корреляционное время. Теперь можно вычислить дисперсию $V_t$:

При $\tau_c \to 0$ имеем $\Sigma_t^2 = \sigma_v^2 t$, то есть восстанавливается случай независимых одинаково распределённых $v_t$. Можно также заметить, что коррелированный случай не сильно отличается от независимого: у обоих линейная зависимость от времени. Следовательно, закон импакта квадратного корня должен сохраняться при короткодействующих автокорреляциях в заявках шумовых трейдеров.

Рассмотрим теперь случай дальнодействующих корреляций между рыночными заявками, выбрав⁹

При $\eta = 1$ можно показать, что $\Sigma_t \sim \sigma_v\sqrt{2t\log t}$, а при $0 < \eta < 1$ — что $\Sigma_t \sim \sqrt{\frac{2}{(1-\eta)(2-\eta)}}\,\sigma_v\,t^{1-\frac{\eta}{2}}$. Таким образом, при $0 < \eta < 1$ получаем закон ценового импакта

с показателем, отличным от SRIL. Ценовой импакт для нескольких значений $\eta$ показан на рис. 5.

Приложение E. Кроссовер к линейному поведению

Разумно предположить, что рынок ожидает малости вклада мета-ордеров в поток заявок, то есть $\nu \ll \bar\nu \ll 1$. Один из способов учесть это наблюдение — взять $\phi(y) = 1/\bar\nu$ при $y \in [0, \bar\nu]$ и $\phi(y) = 0$ иначе. При этом предположении уравнение (26) становится

Полагая $v = \gamma/\sqrt{t}$ и вводя, как и раньше, $\xi = z\sqrt{t} = (2n_t - t)/\sqrt{t}$, получаем

При $\bar\nu\sqrt{t} \gg 1$ (то есть $t \gg \bar\nu^{-2}$) восстанавливаем $\mathbb{E}\left[G|x_{\le t}\right] \simeq \mathrm{erf}\!\left(\xi/\sqrt{2}\right)$, тогда как при $t \ll \bar\nu^{-2}$ разложение этого выражения при $\bar\nu\sqrt{t} \ll 1$ приводит к $\mathbb{E}\left[G|x_{\le t}\right] \simeq \frac{1}{2}\xi\bar\nu\sqrt{t} + O(\bar\nu^2 t)$. Беря ожидание по $\xi$, находим линейный режим — уравнение (17) основного текста.

Приложение F. Затухание импакта при развороте направления мета-ордера

В этом разделе нас интересует случай, когда мета-ордер исполняется до момента $T = Q/\nu$ и сразу за ним следует другой мета-ордер в противоположном направлении. Статистика $\xi$ легко вычисляется с учётом того, что

потому что $\mathbb{E}\left[x_\tau\right] = G\nu$ в первой сумме и $\mathbb{E}\left[x_\tau\right] = -G\nu$ во второй. Аналогично вычисляем дисперсию $\mathbb{V}\left[n_t\right] = \frac{1-\nu^2}{4}t$. Следовательно, $\xi$ асимптотически гауссовская величина со средним $\mathbb{E}\left[\xi\right] = G\,\frac{2Q - \nu t}{\sqrt{t}}$ и дисперсией $\mathbb{V}\left[\xi\right] = 1 - \nu^2$. Подставляя это в уравнение (28), получаем

Из этого уравнения видно, что время, необходимое для возврата к исходной цене после окончания первого мета-ордера, равно $t - T = T$. Заметим, что для больших значений $t$ восстанавливается закон импакта квадратного корня, но в противоположном направлении. Для малых $t - T$ импакт сразу после окончания первого мета-ордера затухает как $\mathbb{E}\left[p_{t>T}\right]/\mathbb{E}\left[p_T\right] \simeq 1 - \frac{3}{2}\frac{t-T}{T}$. Это затухание круче, чем в случае, когда после первого мета-ордера ничего не исполняется: тогда $\mathbb{E}\left[p_{t>T}\right]/\mathbb{E}\left[p_T\right] \simeq 1 - \frac{1}{2}\frac{t-T}{T}$.

Приложение G. Оценка $\nu$

Этот раздел детализирует вывод байесовской оценки и оценки максимального правдоподобия (MLE) для $\nu$, обсуждаемых в основном тексте. Их поведение показано на рис. 6.

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

G.1. Байесовская оценка

Байесовская оценка есть

Подставляя уравнение (25) в (56), получаем

Снова асимптотическое поведение при $t \to \infty$ выводится заменой переменных $\xi = z\sqrt{t}$ и $v = \gamma/\sqrt{t}$. Предполагая, что $\phi(v)$ конечен при $v \to 0$, получаем в первом порядке в скейлинговом режиме $1 \ll t \ll \nu^{-2}$

с предельными поведениями $\hat\nu_{\mathrm{Bayes}} \simeq \frac{2 + \xi^2}{\sqrt{2\pi t}}$ при $|\xi| \ll 1$ и $\hat\nu_{\mathrm{Bayes}} \simeq \frac{|\xi|}{\sqrt{t}}$ при $|\xi| \gg 1$.

Ожидаемое значение $\hat\nu_{\mathrm{Bayes}}$ по распределению $\xi$ равно

Его предельное поведение: $\mathbb{E}\left[\hat\nu_{\mathrm{Bayes}}\right] \simeq \frac{2}{\sqrt{\pi t}}$ при $t \ll 1/\nu^2$ и $\mathbb{E}\left[\hat\nu_{\mathrm{Bayes}}\right] \propto \nu$ при $t \sim 1/\nu^2$.

Для приора вида $\phi(v) \sim A v^{k-1}$ применимо то же рассуждение, и можно показать, что

При $k = 1$ восстанавливается уравнение (58). Поведение $\hat\nu_{\mathrm{Bayes}}$ для нескольких значений $k$ показано на рис. 7.

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

В случае приора с обрезанием, то есть $\phi(y) = 1/\bar\nu$ при $y \in [0, \bar\nu]$ и $\phi(y) = 0$ иначе, уравнение (57) становится

Заметим, что в пределе $\bar\nu\sqrt{t} \gg 1$ восстанавливается уравнение (58). Однако при $\bar\nu\sqrt{t} \ll 1$ разложение выражения приводит к $\hat\nu_{\mathrm{Bayes}} \simeq \bar\nu/2 + \frac{1}{\sqrt{t}}\,O(\bar\nu\sqrt{t})^2$.

G.2. Оценка максимального правдоподобия (MLE)

Оценка максимального правдоподобия есть

При $P(G = \pm 1) = \frac{1}{2}$ имеем

Отсюда условие максимума правдоподобия читается как

Поэтому MLE удовлетворяет самосогласованному уравнению

При $\xi < 1$ это уравнение имеет только нулевое решение. При $\xi > 1$ нулевое решение становится неустойчивым, и $\hat\nu_{\mathrm{MLE}} \simeq \frac{|\xi|}{\sqrt{t}}$ при $|\xi| \gg \sqrt{t}$.

Приложение H. Бид-аск спред

Цены ask и bid в момент $t + 1$ равны

что можно переписать по правилу Байеса как

где $z = (2n_t - t)/t$, а $D(z\|x)$ — дивергенция Кульбака–Лейблера. Снова $z$ обычно порядка $1/\sqrt{t}$, поэтому мы сосредотачиваемся на переменной $\xi = z\sqrt{t}$ и делаем замену переменной $\gamma = v\sqrt{t}$. Предполагая также, что $\phi(\nu)$ конечен при $\nu \to 0$, получаем в первом порядке в скейлинговом режиме $1 \ll t \ll \nu^{-2}$

Теперь можно вычислить бид-аск спред:

Его ожидаемое значение равно

Сноски

1. Трейдеров привлекут другие маркетмейкеры, если ожидаемый выигрыш маркетмейкера положителен, а если он отрицателен — маркетмейкер будет вытеснен с рынка. ↩
2. Уравнение (5) подсказывает, что чем сильнее сигнал $\theta$, получаемый информированным трейдером, тем медленнее ему следует торговать. Это кажется парадоксальным, но полностью согласуется с тем, что прибыль информированных трейдеров растёт, чем медленнее они торгуют, как отмечено выше. Кроме того, обратная связь между $\nu$ и $\theta$ согласуется с тем, что $\theta$ количественно выражает силу реакции рынка на персистентные потоки заявок (см. уравнение 4): информированному трейдеру следует торговать тем медленнее, чем сильнее реакция рынка. ↩
3. Здесь неявно предполагается, что исполнитель мета-ордера не ведёт себя стратегически. ↩
4. Заметим, что $\sigma_\tau/\sqrt{V_\tau} = \alpha\theta\sqrt{\nu}$ — эмпирически наблюдаемая величина, не зависящая от исполнения мета-ордера, а $\alpha$ — константа. Поэтому произведение $\theta\sqrt{\nu}$ не зависит от протокола исполнения. ↩
5. Литература (см., например, [14]) различает немедленный рыночный импакт $\Im(q)$ (при $q < Q$), временный (при $q > Q$) и пиковый рыночный импакт $\Im(Q)$ при $q = Q$. ↩
6. Заринелли и соавторы [14] оценивают, что распределение доли участия $\nu$ имеет степенной вид с показателем $\kappa \simeq 0.864$. ↩
7. В приложении G мы показываем, что подход максимального правдоподобия привёл бы к качественно иному результату. ↩
8. Следуя тем же шагам, можно показать, что $\mathbb{E}\left[G|x_{\le t}\right] \propto \nu\sqrt{t}$ при $t \ll \nu^{-2}$ и при $P\{G = +1\} \ne 1/2$. Действительно, $p_t(\xi)$ можно выразить как ряд по нечётным степеням $\xi$. Учитывая главное поведение $\mathbb{E}\left[\xi^{2n+1}\right] \simeq \frac{2^{n+1}}{\sqrt{\pi}}\Gamma(n + 3/2)\,\nu\sqrt{t} + O(\nu\sqrt{t})^3$ ожидаемых значений нечётных степеней $\xi$, заключаем, что SRIL выполняется и в этом случае. ↩
9. Мы используем эту конкретную корреляционную матрицу, потому что её преобразование Фурье выражается аналитически, что позволяет генерировать качественные выборки для численных симуляций (см. [26]). ↩

Перевод выполнен с сохранением структуры, формул и данных оригинала. Оригинал: arXiv:2303.08867 · Saddier, Marsili · CC BY-NC-ND 4.0.