Стилизованные факты и микроструктура: фьючерсы на немецкие облигации

4/10

Ключевые слова: стилизованные факты; фьючерсы на облигации; лимитный стакан; микроструктура; эмпирика.

Аннотация

Глубокий разбор стилизованных фактов фьючерсов на немецкие облигации: Schatz, Bobl, Bund и Buxl, tick-by-tick стаканы. Распределения размеров заявок, паттерны потока, межсобытийные времена. Общее и своё у каждого контракта. Авторы предлагают метрики реализма для бенчмарка рыночных симуляторов. Класс активов в литературе по стилизованным фактам был относительно беден; работа даёт ориентиры для более точных симуляторов.

1. Введение

Стилизованные факты — устойчивые статистические свойства рынков: тяжёлые хвосты доходностей, кластеризация волатильности, корреляции (Guillaume et al., 1997; Cont, 2001; Bouchaud et al., 2002; Mantegna and Stanley, 1999; Chakraborti et al., 2011). На них строят реалистичные модели и оценку риска.

Метрики реализма (Vyetrenko et al., 2020) нужны, чтобы (1) сверять модель с живыми данными (Lux and Marchesi, 1998; Harmon et al., 2011; Abergel et al., 2016) и (2) сравнивать модели между собой (LeBaron, 2006; Brandouy et al., 2012). Большая часть литературы — FX (Guillaume et al., 1997; Engle and Russell, 1997; Ballocchi et al., 1999; Aloud et al., 2013) и акции (Bouchaud et al., 2002; Potters and Bouchaud, 2005; Chakraborti et al., 2011; Bouchaud et al., 2018).

Фьючерсы на немецкие bunds — высоколиквидный бенчмарк европейского фиксд-инкама, чувствительный к ставкам. Расширение фактов на этот рынок нужно и симуляторам, и риск-моделям.

1.1. Фьючерсы на казначейские облигации

Облигация — долг с фиксированной датой погашения и купоном (Labuszewski et al., 2013). Фьючерс — стандартизированный контракт купить/продать базовый актив в будущем по заранее заданной цене (Hull, 1993): хедж и спекуляция. Bond futures торгуются на CME и Eurex, зеркалят ставки и кредитный риск базовых бумаг, без владения самой облигацией.

Хедж: длинный портфель облигаций + шорт фьючерсов при ожидании роста ставок (цены облигаций падают, шорт фьючерса растёт). Обратно: будущая покупка облигаций + лонг фьючерса при страхе падения ставок.

Форвард — OTC, кастом, риск контрагента. Фьючерс — биржа, клиринг, маржа и маржин-коллы. Табл. 1: топ-10 Eurex за июль 2023; три немецких bond futures (FGBL, FGBM, FGBS) сразу после EURO STOXX 50.

Таблица 1 (фрагмент). Самые активные продукты Eurex, июль 2023. Дальше — FOAT, FESB, FBTP, OESB, OGBL.

Open interest — число открытых контрактов; volume — оборот за период. Высокие оба — ликвидный рынок, узкий спред. Поставка: физическая (CTD — cheapest-to-deliver среди deliverable basket) или кэш-сеттлмент. Немецкий bund future — физическая поставка с conversion factor под условный купон 6% (у Buxl — 4%); Германия давно не выпускает 6% бумаги, поэтому контракт пересчитывают через фактор.

1.2. Инструменты

Четыре фьючерса ФРГ на Eurex, номинал $100{,}000$ EUR:

• Schatz (FGBS) — остаток 1,75–2,25 года, купон 6%;
• Bobl (FGBM) — 4,5–5,5 года, 6%;
• Bund (FGBL) — 8,5–10,5 года, 6%;
• Buxl (FGBX) — 24–35 лет, купон 4%.

Рис. 1: OI и объёмы 2020–2023 относительно стабильны, всплески в марте, июне, сентябре, декабре — окна поставки. Bund самый активный, Buxl самый тихий.

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

2. Данные

Активные дни 2021, сессия Eurex 9:00–18:00 CET. Только on-book сделки (off-book/OTC выкинуты).

Таблица 2. Спецификации и средние по 2021. Bund — самый событийный; Schatz — самые крупные лоты; Buxl — широкий средний спред и крошечный размер события.

2.1. Сборка потока

Вход: апдейты стакана до 5-го уровня + дневная лента сделок. Вручную размечают каждое обновление: предоставление ликвидности (лимитка) vs потребление (отмена или маркет). Рис. 2 в оригинале — схема: relative updates (разности количества/цены по уровням) плюс матч со сделками. Пять сценариев: новая лимитка, отмена, маркет, сдвиг лучшей цены, изменение объёма на том же уровне.

2.2. Часы

Calendar time; event time (каждое событие книги); trade time (только сделки). Если не сказано иначе — календарь.

2.3. Обозначения

$\sigma_{\tau,\Delta t}$ — ст. откл. доходностей на окне $\tau$; $V_b$, $V_a$ — объёмы на лучших; $V_{\tau}$ — накопленный оборот на $\tau$; $p(\cdot)$ — плотность.

3. Стилизованные факты доходностей

3.1. Отсутствие автокорреляции

Tick-by-tick (рис. 3): почти ноль на всех лагах, кроме первого — заметный минус (bid-ask bounce), как у Abergel et al. (2016) на акциях. На сэмплированных $\Delta t$ (рис. 4) коэффициенты у нуля на всех лагах — эффективность. Для симулятора: если оставить ложную ACF, RL выучит артефакт.

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

3.2. Положительная связь объём–волатильность

Окна $\tau=100\cdot\Delta t$; внутри окна корреляция $\sigma_{\tau,\Delta}$ и $V_{\tau}$. Гистограммы (рис. 5, окна 10 мин) скошены в плюс на шкалах 5/10/30/120 с; у FGBL и FGBX связь сильнее. Боксплоты по дням (рис. 6) подтверждают положительные mean и median.

3.3. Длинная память

ACF модуля доходностей (рис. 7) затухает медленно на 1/10/60/120 с. Оценки $\alpha$ (боксплот, рис. 9, $\Delta t=1$ с) в зоне длинной памяти. Симулятор без этого не даст кластеризацию волатильности.

4. Объёмы и поток заявок

4.1. Объёмы в книге

Лучший ask (и симметрично bid) — гамма:

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

Боксплот $\gamma$ (рис. 11) стабильно выше 1. Размеры заявок падают с дюрацией: Schatz лоты крупные ($88{,}9$), Buxl крошечные ($1{,}38$) — длинный контракт рискованнее, участники не хотят крупный инвентарь.

4.3. Число заявок в окне

Число событий в 5-минутных окнах (рис. 14): логнормаль бьёт гамму на всех четырёх. Суммарный объём в окне (рис. 15) — хотя бы одна из двух семейств садится хорошо (Abergel et al., 2016; Vyetrenko et al., 2020).

4.4. Межсобытийные времена

Интервалы между маркетами — Weibull (рис. 18, event time). Schatz: больше параметры, события реже. FGBL/FGBM/FGBX почти совпадают по диапазону.

4.5. Возбуждение событий

Условные вероятности $\mathbb{P}(E_{t+}\mid E_{t-})$ на лучших уровнях: тип (лимит / отмена / маркет) × сторона (bid/ask). Матрица по дням стабильна и похожа между активами (рис. 20). Отношение $\mathbb{P}(E_{t+}\mid E_{t-})/\mathbb{P}(E_{t+})$: $\gt 1$ — возбуждение, $\lt 1$ — ингибиция (рис. 21). Диагональ высокая: автовозбуждение, иногда $\gt 2$ (событие минимум вдвое чаще после себе подобного). Автовозбуждение маркетов авторы опускают: в ленте сплитованные маркеты. Значимая доля маркетов эндогенна — отклик на прошлые события, не экзогенный поток.

4.6. Внутридневная сезонность

Классическая U-форма (Biais et al., 1995; Bouchaud et al., 2018; Vyetrenko et al., 2020): активность на открытии и закрытии, провал около полудня. Abergel et al. (2016) сажали квадратичную. Рис. 22: нормированные объём и число заявок в 15-минутных окнах. Дополнительный всплеск около settlement: (i) самосбывающаяся ликвидность — все торгуют в одно окно; (ii) свести учёт с MTM, исполнившись по официальному settlement.

5. Микроструктура цены

5.1. Signature plot

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

Нормировка на максимум (рис. 24): четыре кривые почти совпадают — одно и то же убывание микроструктурного шума с $h$.

5.2. Распределение спреда

У large-tick активов спред почти всегда 1 тик; экспоненциальный хвост литературы (Abergel et al., 2016; Bouchaud et al., 2018) здесь обрезан.

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

5.3. Длительность спреда

Большие спреды живут в 10–100 раз короче однотикового (рис. 27, календарь и event time): HFT быстро ставит и снимает, пока спред шире 1 тика.

5.4. Форма книги

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

6. Заключение

Четыре немецких bond futures делят классические факты (нулевая ACF доходностей с bounce на лаге 1, объём–волатильность, длинная память модуля, гамма-очереди с $\gamma\gt 1$, логнормаль числа событий, Weibull межсобытийных, автовозбуждение, U-сезонность, signature plot) и расходятся по тику, дюрации и размеру лота. Симулятор должен не только «сдать» факты, но и попасть в диапазон параметров конкретного инструмента — иначе реализм фальшивый.

Благодарности. Научный руководитель Оливье Геан; коллеги BNP Paribas, в частности Гийом Биош.

Литература

• Abergel, F., Anane, M., Chakraborti, A., Jedidi, A. and Muni Toke, I., Limit order books. Cambridge University Press, 2016.
• Aloud, M. et al., Modeling the FX market traders’ behavior: an agent-based approach. 2013.
• Biais, B., Hillion, P. and Spatt, C., An empirical analysis of the limit order book and the order flow in the Paris Bourse. Journal of Finance, 50:1655–1689, 1995.
• Bouchaud, J.-P., Mézard, M. and Potters, M., Statistical properties of stock order books. Quantitative Finance, 2:251, 2002.
• Bouchaud, J.-P., Bonart, J., Donier, J. and Gould, M., Trades, Quotes and Prices. Cambridge University Press, 2018.
• Brandouy, O. et al., A re-examination of the “zero is enough” hypothesis. JEIC, 7:223–248, 2012.
• Chakraborti, A. et al., Econophysics review: I. Empirical facts. Quantitative Finance, 11:991–1012, 2011.
• Cont, R., Empirical properties of asset returns: stylized facts and statistical issues. Quantitative Finance, 1:223–236, 2001.
• Engle, R.F. and Russell, J.R., Autoregressive conditional duration. Journal of Empirical Finance, 4:187–212, 1997.
• Guillaume, D.M. et al., From the bird’s eye to the microscope. Finance and Stochastics, 1:95–129, 1997.
• Hull, J., Options, Futures, and Other Derivatives. 1993.
• LeBaron, B., Agent-based computational finance. Handbook of Computational Economics, 2:1187–1233, 2006.
• Lux, T. and Marchesi, M., Scaling and criticality in a stochastic multi-agent model. Nature, 397:498–500, 1998.
• Mantegna, R.N. and Stanley, H.E., Introduction to Econophysics. Cambridge, 1999.
• Potters, M. and Bouchaud, J.-P., More statistical properties of order books and price impact. 2005.
• Vyetrenko, S. et al., Get real: realism metrics for robust LOB market simulations, 2020.

Оригинал статьи: Bodor and Carlier, «Stylized Facts and Market Microstructure: An In-Depth Exploration of German Bond Futures Market», arXiv:2401.10722 · лицензия CC0 1.0