Оптимизация оценки эффективности брокеров через внутридневное моделирование стоимости исполнения

7.5/10

Аннотация

Минимизация издержек исполнения крупных заявок — фундаментальная задача в финансах. Фирмы часто полагаются на брокеров в управлении своими сделками из-за ограниченных внутренних ресурсов для оптимизации торговых стратегий. Эта работа представляет методологию оценки эффективности брокерских алгоритмов исполнения по торговым данным. Мы сосредотачиваемся на двух основных компонентах издержек: линейных издержках, количественно характеризующих краткосрочное качество исполнения, и квадратичных издержках, связанных с ценовым воздействием сделок. Используя модель с транзиентным ценовым воздействием, мы выводим аналитические формулы для оценки этих издержек. Кроме того, мы повышаем точность оценивания, вводя новые методы, такие как взвешивание изменений цены по их ожидаемому содержанию импакта. Наши результаты демонстрируют существенные улучшения в оценке как линейных, так и импакт-издержек, обеспечивая надёжный и эффективный каркас для выбора наиболее экономичных брокеров.

Ключевые слова: рыночное воздействие; оптимальное исполнение; оценка торговых издержек; выбор брокера.

1. Введение

Минимизация торговых издержек при исполнении крупных заявок — центральная проблема финансовой теории и практики. Начиная с основополагающих работ Bertsimas and Lo (1998); Almgren and Chriss (2001); Obizhaeva and Wang (2013), она породила обширную и активную литературу, выводящую оптимальные траектории исполнения для множества различных моделей ценового воздействия (см., например, учебники Cartea, Jaimungal, and Penalva (2015); Guéant (2016); Webster (2023) и ссылки в них).

Однако многие фирмы не оптимизируют свои торговые решения самостоятельно, предпочитая отдавать алгоритмы исполнения на аутсорсинг специализированным брокерам. Эти брокеры затем предоставляют своим клиентам ценовые и торговые данные постфактум. Ключевой задачей клиентов, вместо тонкой настройки отправки заявок, становится выбор правильного брокера. Автоматизированные алгоритмы выбора брокеров часто называют «algo wheels». Они распределяют поток заявок между разными брокерами с двойной целью: сразу минимизировать торговые издержки и собирать дополнительные данные о качестве каждого брокера для облегчения выбора в дальнейшем. Это задача типа «исследование–использование» (exploration–exploitation), обстоятельно изученная в литературе по многоруким бандитам. Всё больше провайдеров предлагают algo wheels на этих принципах, и их использование клиентами растёт (Virtu Financial, 2019; Greenwich Associates, 2019; Bacidore, 2020).

Этот процесс выбора критически зависит от точной оценки качества исполнения каждого брокера. Стандартный подход — регрессия реализованного слippage (торговых издержек на единицу количества) на размер заявки (или некоторую его степень) плюс свободный член, что даёт оценки ценового воздействия и линейных издержек соответственно. Этот «статический» подход прост и по существу не зависит от модели, но соответствующее отношение сигнал/шум обычно мало. Поэтому для получения надёжной статистической модели требуются большие наборы данных из тысяч заявок.

Чтобы решить эту проблему, наше исследование показывает, как использовать транзиентную природу ценового воздействия для значительного улучшения отношений сигнал/шум.¹ Для оценки линейных издержек этого можно достичь, заменив slippage относительно «цены прихода» (arrival price) на slippage относительно средних цен (mid), непрерывно сэмплируемых в ходе исполнения. Мы показываем, что таким образом отфильтровывается большая часть импакт-издержек и рыночного шума при сохранении линейного слагаемого издержек.² Для импакт-издержек аналогичные улучшения даёт подходящее перевзвешивание изменений mid-цены с бóльшим акцентом на ранние, а не поздние сделки.³ Интуиция здесь в том, что ценовое воздействие гораздо сильнее влияет на цены в начале исполнения, а затем постепенно насыщается (Durin, Rosenbaum, and Szymanski, 2023).

Мы иллюстрируем лежащие в основе механизмы и количественно оцениваем масштаб достижимых таким образом улучшений для стандартной модели ценового воздействия Obizhaeva and Wang (2013) и брокерских сделок с простой линейной динамикой, колеблющейся вокруг TWAP-базы. Эти флуктуации — редуцированное представление различных факторов, например микромасштабных альф, не сообщаемых клиенту даже постфактум. Для параметров модели, типичных для торговли фьючерсами E-mini S&P, мы находим, что наши простые альтернативные оценки увеличивают отношение сигнал/шум в 6–7 раз. Такое улучшение может существенно ускорить сходимость процедур выбора брокера, повсеместных в отрасли. Хотя эти конкретные улучшения выведены в определённой модели, лежащие в их основе механизмы просты и робастны. Поэтому мы ожидаем, что общие выводы останутся справедливыми для широкого спектра других моделей торгового процесса и импакта.

Остальная часть статьи организована следующим образом. Раздел 2 вводит наш общий каркас моделирования TWAP-подобной торговли и результирующей ценовой динамики. Раздел 3 задаёт базовую линию, вычисляя среднее и дисперсию издержек исполнения. Раздел 4 затем предлагает улучшенную оценку линейных издержек в нашей модели и показывает, что дисперсия сильно снижается по сравнению с наивным подходом. Раздел 5 определяет ещё одну оценку, достигающую аналогичного увеличения отношения сигнал/шум для импакт-издержек. Наконец, раздел 6 содержит заключительные замечания и перспективы. Подробные выводы формул, приводимых в этой статье, собраны в онлайн-приложении (Eisler and Muhle-Karbe, 2024).

¹ Дополняющий подход к повышению качества оценок издержек — «каузальная регуляризация», предложенная Webster and Westray (2023), которая уменьшает смещения, возникающие, когда импакт и альфа конфундируют друг друга.
² Это близко по духу к использованию контрольных переменных (control variates) в симуляциях Монте-Карло.
³ Это подтверждает недавние выводы Li, Ihnatiuk, Kinnear, Schneider, and Nevmyvaka (2022), показавших, что асимптотическую эффективность оценок ценового воздействия можно улучшить, используя информацию более ранних сделок.

2. Постановка

Мы рассматриваем клиента, который постоянно размещает заявки по определённому активу через брокера.⁴ В этом разделе мы вводим простую модель этих сделок, их воздействия на рыночные цены и метод, которым клиенты стремятся количественно оценить связь между ними.

⁴ Наш подход применим и в различных аналогичных постановках, например для портфеля хедж-фонда и его внутренних алгоритмов исполнения.

2.1. Торговля брокера

Мы предполагаем, что брокер исполняет заявки в течение некоторого фиксированного периода времени $t \in [0, T]$ с торговой скоростью $q_t$, представляющей корректировки брокером позиции $Q_t = \int_0^t q_s\, ds$. Этот процесс клиент может наблюдать постфактум по торговым отчётам.

Типичные практические примеры — TWAP-алгоритмы (у которых торговая скорость постоянна) и VWAP-алгоритмы (где TWAP-скорость корректируется реализованным объёмом торгов). Для простоты изложения мы сосредотачиваемся в этой статье на более простом TWAP-бенчмарке, но позволяем торговой скорости флуктуировать с динамикой Орнштейна–Уленбека (OU):

Здесь $Q$ — суммарный размер заявки, а $T > 0$ — временной горизонт, за который она исполнялась бы с TWAP-скоростью $Q/T$. Параметры $\sigma_q > 0$ и $\tau_q > 0$ описывают величину флуктуаций вокруг TWAP-базы и временной масштаб их затухания.

Эта модель проще, но близка по духу к модели из (Cartea et al., 2015, глава 9.2). А именно, случайные флуктуации описывают в редуцированной форме то, что брокер может отклоняться от целевого расписания, например чтобы воспользоваться краткосрочными альфа-сигналами или локальными изменениями ликвидности. Для дальнейшего упрощения анализа мы сосредотачиваемся на стационарной версии OU-процесса (2.1), для которой $q_t$ следует нормальному распределению с постоянным средним $\mathbb{E}[q_t] = Q/T$ и дисперсией $\mathrm{Var}[q_t] = Q^2 \sigma_q^2 \tau_q / 2T^2$. Ожидаемое суммарное количество, исполненное брокером, в свою очередь равно $\mathbb{E}[Q_T] = Q$, в соответствии с TWAP-бенчмарком. Последний в точности восстанавливается в пределе $\tau_q \to 0$, при котором флуктуации вокруг TWAP-скорости $Q/T$ исчезают.

Точное исполнение целевого количества $Q$ можно обеспечить, обусловив $Q_T = Q$. Несколько смоделированных траекторий $Q_t$ на реалистичном наборе параметров (см. таблицу 1) показаны и для условного, и для безусловного процесса на рис. 1. С учётом СДУ-представлений, выведенных Çetin and Danilova (2016), такое обусловливание приводит к модифицированному линейному процессу, чья динамика по-прежнему гауссова. Как следствие, большую часть нашего анализа можно было бы распространить на эту постановку. Чтобы не утопить основные положения в сложной алгебре, мы тем не менее сосредотачиваемся на более простой безусловной модели (2.1). Далее мы проверяем численной симуляцией, что для её условного аналога получаются похожие результаты.

2.2. Ценовое воздействие

Ценовое воздействие — причинная связь между сделками брокера и mid-ценой $M_t$. Мы описываем её стандартной моделью ценового воздействия Obizhaeva and Wang (2013):⁵

Это означает, что незатронутая цена следует броуновскому движению $W^M_t$ с волатильностью $\sigma_M > 0$. Мы предполагаем его независимым от броуновского движения $W^q_t$, движущего флуктуации торговой скорости брокера. Сделки брокера, в свою очередь, оказывают линейное ценовое воздействие, пропорциональное $\lambda > 0$, часто называемое «лямбдой Кайла» (Kyle, 1985). Импакт затем затухает со скоростью $1/\tau_M > 0$, т.е. период полураспада импакта пропорционален $\tau_M$.

Цена исполнения $P_t$, достигаемая брокером, дополнительно включает долю $a$ бид-аск спреда $s > 0$:

Для упрощения анализа мы предполагаем, что и временной масштаб затухания импакта $\tau_M$, и спред $s$ — известные константы. Качество брокера, в свою очередь, определяется двумя оставшимися эффективными параметрами:

• Константа $\lambda$ количественно характеризует величину ценового воздействия, вызываемого сделками брокера. Высокое значение сделает более крупные заявки чрезмерно дорогими, поскольку повторяющаяся торговля создаёт последовательные неблагоприятные движения цены.
• Параметр $a$ отражает краткосрочное качество исполнения — захват бид-аск спреда, краткосрочную альфу и неблагоприятный отбор, среди прочих факторов. В худшем сценарии, если брокер всегда агрессивно пересекает спред, забирая ликвидность, и не обладает навыком тайминга заявок перед благоприятными движениями цены, ожидается $a = 1/2$. На практике в большинстве других случаев значение $a$ ниже.

⁵ Отметим, что предполагаемая нами TWAP-база отражает (риск-нейтральную) оптимальную траекторию исполнения в модели Obizhaeva and Wang (2013) во внутренности $(0, T)$ торгового интервала. Мы пренебрегаем начальной и конечной блочными сделками, оптимальными в этой модели, чтобы сохранить модель максимально простой, но всё ещё достаточно верной реальному поведению брокеров.

2.3. Задача вывода для клиента

Задача оптимального исполнения состоит в поиске наиболее экономичного торгового расписания $q_t$ при данном размере заявки $Q$. Значения параметров издержек $a$ и $\lambda$ либо заданы, либо тоже должны оцениваться по данным. Это хорошо исследованная область финансов (см., например, Cartea et al. (2015); Guéant (2016); Webster (2023) и ссылки в них). В настоящем исследовании мы сосредотачиваемся на другом сценарии, известном как оценка брокера (broker evaluation, Webster (2023)). Здесь клиент не знает $\lambda$ и $a$ и стремится оценить эти параметры по торговым данным. Хотя клиент решает, каков размер заявки $Q$, конкретное торговое расписание $q_t$ не выбирается, а лишь наблюдается. Этот последний пункт — ключевое отличие нашего подхода от постановки оптимального исполнения. Для более широкого контекста отсылаем читателя к работам Almgren et al. (2005); Bershova and Rakhlin (2013); Tóth et al. (2011).

Как только суммарное количество $Q$ выбрано, брокер имеет свободу действий в торговом процессе. Для оценки параметров $a$ и $\lambda$ институциональные исполняющие брокеры охотно предоставляют такие данные, как реализованное торговое расписание $q_t$, полученные цены исполнения $P_t$ и эволюцию mid-цены $M_t$ во времени. Уравнения (2.2) и (2.3) связывают наблюдаемые цены с этими неизвестными параметрами и торговым расписанием.

Трудность вывода возникает потому, что, хотя $q_t$ наблюдается напрямую, $P_t$ и $M_t$ сильно затронуты рыночным шумом, что осложняет оценку $\lambda$ и $a$. Наша цель — минимизировать результирующую статистическую ошибку, эффективно используя доступные данные. Это важно, поскольку более точные оценки параметров разных брокеров позволяют клиенту лучше предсказывать наиболее экономичного брокера для заданного размера сделки.

2.4. Значения параметров

В наших численных примерах мы выбираем разумные значения параметров для торговли фьючерсами E-mini S&P, см. таблицу 1. А именно, целевой размер сделки $Q$ берётся примерно равным 0.2% реального объёма торгов, который имеет порядок $10^6$ контрактов. Типичное ценовое воздействие торговли таким объёмом — несколько процентов дневной волатильности. Для затухания импакта $\tau_M$ мы выбираем довольно короткий временной масштаб, отражая очень высокую оборачиваемость E-mini.

Параметры поведения брокера ($\sigma_q$ и $\tau_q$) невозможно точно вывести из публичных данных, и они могут несколько варьироваться между участниками рынка. Однако типичный порядок величины — позволять $Q_t$ отклоняться от TWAP-значения $tQ/T$ на несколько процентов $Q$ в любой момент. Это подкрепляется нашим собственным опытом, а также дополнительными анекдотическими свидетельствами в Bacidore (2020). Cartea et al. (2015, раздел 9.2) калибруют модель оптимального исполнения по рыночным данным и приходят к похожим выводам.

Таблица 1. Параметры модели для численных симуляций. Они представляют разумные значения для торговли фьючерсами E-mini S&P. Бид-аск спред соответствует 2 б.п. цены. Волатильность нормирована так, что за время исполнения заявки mid-цена типично меняется на 1.0%.

3. Наивная оценка стоимости исполнения

В качестве отправной точки сначала рассмотрим стандартный подход оценки торговых издержек через «slippage» относительно «цены прихода» $M_0$:

В модели Обижаевой–Ванга это можно разложить как

Всюду в этой статье мы будем предполагать, что периоды полураспада импакта и флуктуаций торговой скорости коротки относительно длины $T$ торгового интервала:

3.1. Линейные издержки

Для ожидаемых линейных издержек в (3.1) флуктуации торговой скорости вокруг TWAP-базы в ведущем порядке усредняются:

Для реалистичных параметров — таких как в таблице 1 — поправочное слагаемое пренебрежимо мало. В результате линейные издержки обычно неотличимы от издержек TWAP-торговли, см. таблицу 2.

3.2. Импакт-издержки

Ожидаемые импакт-издержки в уравнении (3.1) можно вычислить как (Eisler and Muhle-Karbe, 2024)

И снова первое слагаемое (порядка $O(\tau)$) — импакт-издержки TWAP-заявки. Следующие два слагаемых (порядка $O(\tau^2)$) представляют поправки ведущего порядка к импакт-издержкам из-за флуктуаций вокруг TWAP-бенчмарка. Эти поправки происходят из двух связанных эффектов. Во-первых, в безусловной модели флуктуации торговой скорости складываются в суммарное исполненное количество $Q_T$, которое для каждой заявки в общем случае отличается от целевого количества $Q$. Импакт-издержки идеальной TWAP-заявки квадратичны по количеству. Из-за этой выпуклой зависимости вариативность $Q_T$ порождает эту положительную поправку. Во-вторых, флуктуации вокруг базовой торговой скорости мгновенно пере- или недоконцентрируют торговлю, что также меняет импакт-издержки. Эта флуктуация внутридневного профиля добавляет ещё одну положительную поправку в реалистичном режиме $T > 2(\tau_q + \tau_M)$.

3.3. Оценка параметров издержек

Слагаемое рыночного шума имеет нулевое матожидание, поскольку броуновские движения, движущие незатронутые цены и сделки брокера, независимы. Суммарные ожидаемые издержки, в свою очередь, равны

Как клиенты обычно оценивают параметры издержек $a$ и $\lambda$? Отправив заявки разных размеров $Q$, они анализируют зависимость измеренных издержек (на единицу проторгованного) от размера сделки. Задачу вывода клиента, в свою очередь, можно переформулировать как линейную регрессию

После подстановки значений $\varphi_1$ и $\varphi_2$ из уравнения (3.3) параметры торговых издержек $a$ и $\lambda$ определяются по свободному члену и наклону регрессии slippage $C_T/Q$ на размер сделки $Q$.

Соответствующий уровень шума $\epsilon$, в свою очередь, определяется дисперсией издержек исполнения. Для TWAP-торговли и линейные, и импакт-издержки детерминированы и потому не вносят вклад в дисперсию. Последняя просто задаётся дисперсией, порождаемой изменениями незатронутой цены:⁶

⁶ Здесь на последнем шаге мы использовали то, что интеграл по времени $\int_0^T W_t\, dt$ броуновского движения — гауссова величина с нулевым средним и дисперсией $T^3/3$.

В общем случае, когда торговая скорость тоже случайна, и линейные, и квадратичные торговые издержки также становятся случайными и потому дополнительно увеличивают общую дисперсию. Однако если ценовое воздействие и флуктуации вокруг TWAP-скорости затухают быстро, это приводит лишь к малым поправочным слагаемым (Eisler and Muhle-Karbe, 2024):

В таблице 2 мы сравниваем эти аналитические формулы для среднего и дисперсии с численными симуляциями. Мы находим, что наша аппроксимация весьма точна и что средние значительно ниже соответствующих стандартных отклонений. Это означает, что при оценке линейных и импакт-издержек через регрессию (3.4) нам нужна очень большая выборка заявок для получения точных результатов. Например, для реалистичной выборки из $N = 1000$ заявок t-статистика слагаемого линейных издержек составляет лишь $\sqrt{N} \times \mathbb{E}[C^{linear}_T] / \sqrt{\mathrm{Var}[C_T]} \approx 0.54$. Для импакт-издержек t-статистика равна $\sqrt{N} \times \mathbb{E}[C^{impact}_T] / \sqrt{\mathrm{Var}[C_T]} \approx 1.58$. Численные симуляции, приведённые в таблице 2, подтверждают, что очень похожие результаты получаются для условной версии модели (где принудительно обеспечивается точное исполнение целевого количества).

Таблица 2. Численное сравнение аналитических и симуляционных результатов для различных величин. Издержки выражены в долларах США, импакты — в ценовых пунктах. При вычислении издержек учтено, что 1 пункт изменения цены соответствует \$50 прибыли/убытка на один контракт.

4. Улучшенная оценка линейных издержек

Теперь мы покажем, как значительно увеличить отношение сигнал/шум, используя более эффективные статистики, чем slippage относительно цены прихода. Сначала сосредоточимся на оценке параметра линейных издержек $a$. Для этого сравним стоимость каждой торговой траектории со взвешенным по времени средним соответствующих mid-цен:

Ключевой момент: при вычислении взвешенного по времени среднего в эталонной стратегии мы используем фактически реализованные mid-цены, которые сами были затронуты и ценовым воздействием реальной торговли, и рыночным шумом. Тем самым мы устраняем бóльшую часть этих двух компонент и остаёмся — в гораздо большей степени, чем прежде, — с линейными издержками.

Переиспользуя результаты для ожидаемых издержек из предыдущего раздела, находим

Соответствующую дисперсию тоже можно получить (Eisler and Muhle-Karbe, 2024):

В каком смысле регрессия $\Delta C_T / Q$ на $Q$ со свободным членом $a$ — лучшая оценка, чем её наивный аналог (3.4) из раздела 3.3? Сравнивая матожидание в уравнении (4.1) с матожиданием наивных издержек в уравнении (3.3), мы видим, что, как мы и надеялись, слагаемое линейных издержек по-прежнему присутствует и не изменилось. Однако бóльшая часть квадратичных импакт-слагаемых устранена, за исключением поправки старшего порядка.

Что принципиально, соответствующая дисперсия тоже намного меньше. Действительно, сравнивая уравнения (3.5) и (4.2), мы видим, что остаются лишь два слагаемых. Рыночный шум меняется с $\sigma_M^2 \mathbb{E}[Q_T]^2 T / 3$ на $\sigma_M^2 \mathrm{Var}[q_t]\tau_q T$ — сокращение в 6.5 раза на наших примерных параметрах. Второй — малый — вклад обусловлен вариативностью реализованного размера сделки $Q_T$ в безусловной версии модели. Для 1000 заявок t-статистика линейных издержек, в свою очередь, возрастает со значения 0.54 наивного подхода до $\sqrt{N} \times \mathbb{E}[C^{linear}_T] / \sqrt{\mathrm{Var}[\Delta C_T]} \approx 3.57$ в безусловной версии модели и даже до 7.42 в условной версии модели с $Q_T = Q$.

Чтобы дополнительно проиллюстрировать робастность этого эффекта, на рис. 2 мы варьируем временные масштабы $\tau_M$ и $\tau_q$ одновременно. Больший $\tau_q$ допускает большие отклонения от TWAP, что делает подавление шума менее эффективным, но улучшение остаётся значительным для реалистичных значений параметров.

5. Улучшенная оценка импакт-издержек

В предыдущем разделе мы построили улучшенную оценку линейных издержек. Наша следующая цель — получить также хорошую оценку величины $\lambda$ ценового воздействия.

5.1. Устранение линейных издержек

Для этого сначала рассмотрим простую метрику — суммарное ценовое воздействие заявки:

В модели Обижаевой–Ванга оно задаётся как

Как следствие, ожидаемый суммарный импакт равен

Поскольку импакт измеряется по mid-ценам, а не по ценам исполнения, слагаемое линейных издержек исчезает. Представление (5.1) поэтому кажется удобным для оценки $\lambda$ по данным.

Однако дисперсия этой величины эмпирически всё ещё довольно велика, потому что рыночное воздействие торговли заявками реалистичного размера составляет лишь несколько процентов дневной волатильности (Tóth et al., 2011). Финальная mid-цена, напротив, затронута всем рыночным шумом, накопленным за время заявки (Eisler and Muhle-Karbe, 2024):

5.2. Оптимальное взвешивание изменений mid-цены для TWAP

Чтобы дополнительно улучшить оценку, перепишем её в виде

С этой точки зрения оценка $\lambda$ по суммарному импакту означает, что мы смотрим на равновзвешенную сумму изменений цены. Это субоптимально: как показывает уравнение (5.1), из-за затухания импакта воздействие TWAP-подобной заявки экспоненциально сходится к постоянному уровню. Поэтому бóльшая часть движений цены, вызванных импактом, сконцентрирована в ранней части заявки. Позже траектория импакта выполаживается, поэтому, включая эти доходности с теми же весами, мы продолжаем накапливать тот же объём рыночного шума при всё меньшем сигнале. Этот эффект проиллюстрирован на рис. 3.

Поэтому мы ищем лучший набор весов $\pi_t$, оптимизирующий баланс сигнала и шума. Для этого определим

Пока сосредоточимся на TWAP-торговле. Без флуктуаций торговой скорости веса $\pi_t$ можно без потери общности выбрать также детерминированными.

Для TWAP-расписания единственное стохастическое слагаемое в ценовом процессе происходит от изменений незатронутой цены, движимых $W^M_t$. Как следствие,

В частности, для равных весов имеем $\mathrm{Var}[I] = \sigma_M^2 T$. Если мы хотим выбрать веса $\pi_t$ так, чтобы дисперсия $I_\pi$ совпадала с этим значением, уравнение (5.2) превращается в ограничение

Среди всех весов, дающих тот же уровень дисперсии, мы теперь можем попытаться максимизировать матожидание взвешенных изменений цены $I_\pi$. Точнее, максимизация соответствующего отношения сигнал/шум приводит к лагранжиану

Получающееся условие оптимальности —

Чтобы зафиксировать множитель Лагранжа $\mu$, используем ограничение (5.3), получая итоговое решение

Эти веса затухают со временем — в отличие от равновесового подхода вычисления суммарного импакта. Чем выше вклад импакта в локальное изменение mid в момент $t$, тем больший вес мы должны придавать ему в нашей метрике издержек. Это помогает максимизировать относительный вклад импакта по отношению к рыночному шуму, чья волатильность $\sigma_M$ предполагалась постоянной во времени.

Из приведённых уравнений можно выразить ожидаемый сигнал с оптимизированными весами:

Сравнивая это с аналогом (5.1) для равных весов доходностей, можно заключить, что для TWAP-расписаний $\mathbb{E}[I]$ имеет порядок $O(\tau_M/T)$, тогда как $\mathbb{E}[I_\pi]$ — порядок $O(\sqrt{\tau_M/T})$. Последнее может быть намного больше при быстром затухании импакта. С другой стороны, дисперсии двух величин равны. Как следствие, отношение сигнал/шум оценки можно значительно улучшить, используя веса с фронтальной загрузкой вместо равных.

5.3. Оптимальное взвешивание изменений mid-цены в общем случае

Теперь мы предлагаем обобщение подхода из предыдущего раздела на не-TWAP-расписания. Для этого вспомним, что для детерминированных TWAP-скоростей оптимальные веса удовлетворяют

Для общих стохастических торговых скоростей ожидаемую mid-цену в модели Обижаевой–Ванга всё ещё можно вычислить условно на торговую траекторию:

По аналогии с (5.7) мы можем тогда использовать веса

где $\nu$ — постоянный нормировочный множитель. Удачный выбор последнего —

потому что тогда $\mathrm{Var}[I] \approx \mathrm{Var}[I_\pi]$ (Eisler and Muhle-Karbe, 2024). С этим выбором получаем

В качестве проверки: для TWAP-расписаний ($\sigma_q^2 = 0$) эта формула упрощается до

что в точности совпадает со слагаемым ведущего порядка прямого вычисления (5.6).

Таблица 2 показывает, что, аналогично линейным издержкам, наш подход позволяет достичь 7-кратного улучшения отношения сигнал/шум относительно наивной оценки. При измерении импакта по $I_\pi$ вместо $I$ для выборки из $N = 1000$ заявок из безусловной симуляции t-статистика импакта возрастает с $\sqrt{N}\, \mathbb{E}[I] / \sqrt{\mathrm{Var}[I]} \approx 0.95$ до $\sqrt{N}\, \mathbb{E}[I_\pi] / \sqrt{\mathrm{Var}[I_\pi]} \approx 7.32$. Таблица также показывает, что условная и безусловная модели дают очень близкие численные результаты, оба в согласии с аналитическими аппроксимациями.

На рис. 4 мы видим, что при более медленном затухании (большем $\tau_M$) общий уровень импакта растёт. Это одинаково влияет на оба подхода, и улучшение отношения сигнал/шум остаётся сопоставимым.

6. Заключение

Эта статья показывает, как использовать внутридневные ценовые и торговые данные для улучшения оценок торговых издержек. Результаты, приведённые здесь для модели Obizhaeva and Wang (2013), можно обобщить на более общие модели с транзиентным ценовым воздействием, такие как propagator-модели Bouchaud et al. (2006). Мы ожидаем, что наши выводы будут справедливы на практике в широком спектре таких сценариев.

Наша цель — не отстаивать какую-то конкретную модель, а предложить общий принцип снижения шума в измерениях торговых издержек. Фактически обе предлагаемые нами метрики можно реализовать даже вовсе без опоры на какую-либо модель. Линейные издержки мы оцениваем через slippage к TWAP, который сам определяется только по наблюдаемым, модельно-независимым величинам. Что касается импакт-издержек, наша улучшенная схема взвешивания действительно опирается на знание профиля импакта в ходе исполнения заявки. Однако у него эмпирически хорошо задокументированная и на удивление универсальная форма (Durin et al., 2023). Её можно использовать как есть, опять же без навязывания явной модели импакта. Тем самым наши формулы используют только информацию, легко доступную большинству участников рынка, и их просто реализовать или адаптировать к конкретным требованиям своей стратегии.

Дальнейшие исследования должны изучить различные направления обобщения этой работы. Хотя оценка линейных издержек не очень чувствительна к специфике ценового воздействия и его модели, её можно расширить за пределы TWAP, скорректировав референсную цену с учётом среднего временнóго профиля произвольного торгового алгоритма. Кроме того, будущие работы могли бы оценить качество различных моделей импакта, помимо Обижаевой–Ванга, на реальных данных для взвешенной оценки ценового воздействия. Это могло бы привести к дополнительным улучшениям отношения сигнал/шум на практике.

Благодарности

С благодарностью отмечаем плодотворные обсуждения с Умутом Четином и исследовательскую помощь Чжэннань «Кристин» Дун на ранних стадиях проекта. Мы также благодарны за щедрые отзывы Фэнпэю Ли, Рулу Оомену, Кевину Уэбстеру и Николасу Уэстрею.

Литература

1. R. Almgren and N. Chriss. Optimal execution of portfolio transactions. Journal of Risk, 3:5–40, 2001.
2. R. Almgren, C. Thum, E. Hauptmann, and H. Li. Direct estimation of equity market impact. Risk, 18(7):58–62, 2005.
3. J. M. Bacidore. Algorithmic Trading: A Practitioner’s Guide. TBG Press, New York, 2020.
4. N. Bershova and D. Rakhlin. The non-linear market impact of large trades: Evidence from buy-side order flow. Quantitative Finance, 13(11):1759–1778, 2013.
5. D. Bertsimas and A. W. Lo. Optimal control of execution costs. Journal of Financial Markets, 1(1):1–50, 1998.
6. J.-P. Bouchaud, J. Kockelkoren, and M. Potters. Random walks, liquidity molasses and critical response in financial markets. Quantitative Finance, 6(2):115–123, 2006.
7. Á. Cartea, S. Jaimungal, and J. Penalva. Algorithmic and High-Frequency Trading. Cambridge University Press, Cambridge, UK, 2015.
8. U. Çetin and A. Danilova. Markov bridges: SDE representation. Stochastic Processes and their Applications, 126(3):651–679, 2016.
9. B. Durin, M. Rosenbaum, and G. Szymanski. The two square root laws of market impact and the role of sophisticated market participants. Preprint, arxiv.org, 2023.
10. Z. Eisler and J. Muhle-Karbe. Online appendix to “Optimizing Broker Performance Evaluation through Intraday Modeling of Execution Cost”. 2024.
11. Greenwich Associates. Trends in global equity electronic execution. www.greenwich.com, 2019.
12. O. Guéant. The Financial Mathematics of Market Liquidity: From Optimal Execution to Market Making. CRC Press, Boca Raton, FL, 2016.
13. A. S. Kyle. Continuous auctions and insider trading. Econometrica, 53(6):1315–1335, 1985.
14. F. Li, V. Ihnatiuk, R. Kinnear, A. Schneider, and Y. Nevmyvaka. Do price trajectory data increase the efficiency of market impact estimation? Preprint, arxiv.org, 2022.
15. A. A. Obizhaeva and J. Wang. Optimal trading strategy and supply/demand dynamics. Journal of Financial Markets, 16(1):1–32, 2013.
16. B. Tóth, Y. Lempérière, C. Deremble, J. De Lataillade, J. Kockelkoren, and J.-P. Bouchaud. Anomalous price impact and the critical nature of liquidity in financial markets. Physical Review X, 1(2):021006, 2011.
17. Virtu Financial. Algo wheel: A systematic, quantifiable approach to best ex. virtu.com, 2019.
18. K. T. Webster. Handbook of Price Impact Modeling. CRC Press, Boca Raton, FL, 2023.
19. K. T. Webster and N. Westray. Getting more for less: Better A/B testing via causal regularization. Risk, September, 2023.

Перевод выполнен с сохранением структуры, формул и данных оригинала. Оригинал: arXiv:2405.18936 · Eisler, Muhle-Karbe · CC BY 4.0.