Динамика лимитного стакана и моделирование размера заявки с помощью составного процесса Хоукса

7/10

Ключевые слова: лимитный стакан, микроструктура, финансовые симуляции, процесс Хоукса.

Аннотация

Процесс Хоукса применялся для моделирования динамики лимитного стакана (LOB) в литературе несколькими способами, однако внимание ограничивалось воспроизведением межсобытийных интервалов, тогда как размер заявки обычно полагался постоянным. Мы предлагаем новую методологию использования составного процесса Хоукса (Compound Hawkes Process, CHP) для стакана, где каждое событие имеет размер заявки, сэмплируемый из откалиброванного распределения. Процесс сформулирован новым образом — так, что спред процесса всегда остаётся положительным. Далее мы обусловливаем параметры модели временем суток, чтобы поддержать эмпирические наблюдения. Мы используем улучшенный непараметрический метод калибровки ядер Хоукса и допускаем ингибирующие ядра кросс-возбуждения. Мы показываем результаты и качество подгонки для стакана акции на бирже NASDAQ и сравниваем их с несколькими базовыми моделями. Наконец, мы проводим исследование рыночного воздействия симулятора и показываем, что эмпирически наблюдаемая вогнутая функция рыночного воздействия действительно воспроизводится.

1. Введение

Процесс Хоукса, известный своей высокой адаптивностью, предлагает более полную методологию точечных процессов для моделирования приходов заявок в стакан, чем пуассоновский процесс и его варианты, — и при этом не требует явно моделировать поведение отдельных трейдеров. Его способность воспроизводить микроструктурные детали, такие как кластеризация волатильности и коррелированный поток заявок, делает его подходящим кандидатом для моделей лимитного стакана. Важно подчеркнуть, что эти модели на точечных процессах математически описательны, полностью прозрачны по своей природе и потому пригодны для приложений, где решения типа «чёрный ящик» нежелательны. В своём обзоре-руководстве Bacry и соавторы (2015) излагают основные идеи процесса Хоукса, его математическую теорию, ключевые свойства и приложения, включая детальный разбор моделей стакана. В последнее время большую популярность приобрели процессы Хоукса с зависимостью от состояния (Morariu-Patrichi and Pakkanen, 2022; Kirchner and Vetter, 2022; Mucciante and Sancetta, 2023; Wu и соавторы, 2019). Однако, как отмечено в работах Rambaldi и соавторов (2017) и Lu and Abergel (2018a), размер отдельной заявки — важный аспект стакана, который сам по себе процесс Хоукса уловить не способен.

1.1. Эмпирические распределения размеров заявок

На рисунке 1 мы приводим данные двух торговых недель (10 дат) по Apple и строим эмпирические гистограммы в двойном логарифмическом масштабе. Мы рассматриваем только снятия и лимитные заявки на вершине стакана. Как показывают рисунки 1a и 1b, размеры рыночных и лимитных заявок имеют несколько пиков на круглых числах, что указывает на предпочтения трейдеров. Например, более 40% рыночных заявок и 60% лимитных заявок имеют размер 100. Естественно, размеры заявок на снятие ограничены сверху размером отдельной заявки. Более того, мы наблюдаем, что полные снятия (когда снимается весь объём заявки) составляют 99,3% всех снятий.

Рисунок 1 — смотреть в оригинале (PDF)

1.2. Свойства динамики стакана

Было предложено несколько вариаций модели Хоукса, учитывающих определённые свойства биржевого стакана.

Свойство 1: спред между bid и ask всегда неотрицателен. Спред не может быть меньше одного тика. Это свойство важно учитывать при моделировании стакана. Эту задачу решали через интенсивности приходов заявок, зависящие от спреда в тиках (Lee and Seo, 2022). Ранее Zheng и соавторы (2014) использовали ограниченный процесс Хоукса для контроля положительности спреда.

Свойство 2: интенсивности заявок зависят от времени суток. Хорошо известно, что торговые объёмы подчиняются внутридневной сезонности, устойчивой на протяжении многих дней. Естественно, интенсивности заявок тоже демонстрируют эту внутридневную сезонность (подробнее в разделе 2). Модели Хоукса адаптировались под это в работах Mucciante and Sancetta (2023), Prenzel и соавторов (2022), Kirchner and Vetter (2022).

Свойство 3: кросс-возбуждения могут быть ингибирующими. Как отмечено в Lu and Abergel (2018b), взаимное возбуждение событий не обязательно всегда катализирующее. Например, мы наблюдаем, что лимитные заявки внутри спреда и снятия на вершине противоположных сторон стакана оказывают друг на друга подавляющее действие. Моделирование этого в общем виде может приводить к отрицательным интенсивностям точечного процесса. Чтобы избежать таких осложнений, Lu and Abergel (2018b) предлагают обрезать суммарную интенсивность любого элемента процесса Хоукса снизу нулём.

В этой работе мы показываем определённое отсутствие подтверждений гипотезы о том, что интенсивности приходов заявок зависят от прошлых размеров заявок. Отсюда мы заключаем, что составной процесс Хоукса — подходящий кандидат для модели. Затем мы строим стационарное распределение размеров заявок для каждого типа заявок, близко воспроизводящее эмпирическое распределение. Это распределение используется для сэмплирования размеров заявок в CHP. Мы предлагаем новую формулировку интенсивностей Хоукса, удовлетворяющую свойствам 1, 2 и 3. В разделе 4 мы приводим результаты калибровки для акции Apple Inc. по данным Level 2 биржи NASDAQ, а также анализ качества подгонки и исследование рыночного воздействия в симуляторе.

2. Связанные работы

За исчерпывающим обзором различных техник симуляции лимитного стакана мы отсылаем к Jain и соавторам (2024). Gould и соавторы (2013) также обозревали лимитные стаканы, фокусируясь на их свойствах и представляя различные модели симуляции. В другом обзоре Cont (2011) продемонстрировал полезность нескольких моделей «нулевого интеллекта» в моделировании стакана и привёл эмпирические наблюдения для проверки выходов моделей. За более детальным обзором микроструктурной статистики стакана и методов её моделирования отсылаем к книге Abergel и соавторов (2016). Область симуляции стаканов развивается вместе с техниками моделирования. С подъёмом глубокого обучения было разработано множество архитектур, имитирующих стакан и его свойства. Обзор Jain и соавторов (2024) классифицирует модели симуляторов стакана по их базовым методологиям:

1. Модели на точечных процессах. Рассматривают стакан как систему массового обслуживания с несколькими компонентами, которые можно моделировать либо независимо (модели нулевого интеллекта), либо с взаимодействующими членами (процесс Хоукса). Фокусируются на агрегированной динамике, игнорируя мотивы отдельных заявок.
2. Агентные модели. Симулируют поведение различных типов агентов, взаимодействующих с центральным стаканом.
3. Модели глубокого обучения. Избегают априорных предположений о данных, используя генеративные сети для оценки распределений вероятностей. Мощные, но сталкиваются с трудностями обучения и недостатком объяснимости.
4. Модели на стохастических дифференциальных уравнениях в частных производных. Опираясь на наблюдаемые факты или экспертное суждение, описывают динамику стакана уравнениями в частных производных.

Процесс Хоукса выделился как перспективная модель для преодоления проблем, связанных с пуассоновскими процессами при моделировании очередей стакана. В своём обзоре Bacry и соавторы (2015) излагают ключевые концепции процесса Хоукса, его математические основания, существенные свойства и приложения, включая углублённое исследование моделей стакана. Примечательно, что процессы Хоукса демонстрируют улучшения по сравнению с пуассоновскими методами в воспроизведении кластеризации волатильности и в разрешении эффекта Эппса, при котором ковариация между активами стремится к нулю по мере уменьшения временного масштаба. Внутренне присущие черты — эндогенно возбуждаемый поток заявок и неявное рыночное воздействие — делают процессы Хоукса особенно уместными.

Недавняя работа Hawkes (2018) углубляется в финансовые приложения процессов Хоукса, подчёркивая их полезность в моделировании различных рыночных явлений. Дискуссии в литературе сосредоточены на выборе подходящих ядерных функций: исследования показывают, что степенные ядра подходят эмпирическим данным лучше экспоненциальных (Nyström and Zhang, 2022). Da Fonseca and Zaatour (2014) выступают против экспоненциально затухающих ядер на основании сравнения Q-Q графиков, отмечая потенциальную недостаточность их представления эмпирических данных.

Расширение до n-мерных процессов Хоукса приобрело популярность в моделях стакана, причём в разных формулировках. Toke (2010) представляет двухагентную модель с одномерными процессами Хоукса для рыночных и лимитных заявок. Bacry и соавторы (2016) делят события стакана на категории, используя 8-мерный процесс Хоукса для раздельного моделирования сторон bid и ask. Kirchner (2017) предлагает непараметрический метод оценивания процессов Хоукса с оптимизацией гиперпараметров по статистике AIC. Da Fonseca and Zaatour (2014) предлагают альтернативную стратегию подгонки, используя обобщённый метод моментов для более быстрого оценивания параметров по сравнению с традиционным методом максимального правдоподобия; они валидируют подход на ключевых стилизованных фактах и сравнивают результаты с MLE-базлайнами.

В области ограниченных процессов Хоукса Zheng и соавторы (2014) и Lee and Seo (2022) представляют 4-мерные модели с ограничениями на процесс спреда. Toke and Yoshida (2017, 2020) также представляют зависящую от спреда точечную модель стакана для европейских акций с крупным тиком. Lee and Seo (2022) вводят стохастические ядра затухания и дают эмпирическую валидацию и экономические интерпретации. Предложены и другие варианты процессов Хоукса: Kaj and Caglar (2017) вводят «буферный» процесс Хоукса, а Morariu-Patrichi and Pakkanen (2022) развивают зависящий от состояния процесс Хоукса на основе спреда и дисбаланса потока заявок. Kirchner and Vetter (2022) формулируют маркированный зависящий от состояния процесс Хоукса, оптимизируя экономность модели.

Размеры отдельных заявок стакана были предметом интереса ряда других работ. Gopikrishnan и соавторы (2000) наблюдают степенное убывание в распределении вероятностей торгуемого объёма для нескольких акций — это размер рыночной заявки в нашей модели. Что касается моделирования размера заявки внутри модели стакана, отметим, что Abergel и соавторы (2016) используют параметрические распределения размеров в модели на процессе Хоукса. Тот факт, что распределения размеров заявок негладкие и имеют всплески вероятности на круглых числах — вероятно, из-за предпочтения трейдерами круглых размеров дочерних заявок, — отмечался в Challet and Stinchcombe (2001). Недавно Lu and Abergel (2018a) разработали геометрические распределения со всплесками на круглых числах для размеров заявок в своей пуассоновской модели стакана. В альтернативном направлении непараметрический метод сэмплирования размеров заявок использовался в Hultin и соавторах (2023), где каждый размер заявки — результат работы глубокой рекуррентной нейронной сети.

Рисунок 2 — смотреть в оригинале (PDF)

Предельные переходы для процессов Хоукса исследовались Abergel and Jedidi (2015) и Horst and Xu (2019), показавшими сходимость к стохастическим и обыкновенным дифференциальным уравнениям для агрегированных характеристик. Нелинейные процессы Хоукса, предложенные Lu and Abergel (2018a) и Mounjid и соавторами (2019), вводят ингибирующие ядра для отрицательного возбуждения и новые конструкции вроде суммы экспоненциальных функций; эти модели показывают лучшую производительность по сравнению с линейными аналогами. Внимание привлекает применение нейронных процессов Хоукса: Kumar (2021) вводит глубокий нейронный процесс Хоукса для маркетмейкинга, а Shi and Cartlidge (2022) разрабатывают нейронный процесс Хоукса с LSTM-блоками непрерывного времени, улавливающий сложную динамику петель рыночной обратной связи.

Процессы Хоукса предлагают полноценную методологию точечных процессов для моделирования приходов в стакан, демонстрируя адаптивность и способность улавливать микроструктурные детали. Несмотря на сильные стороны, сохраняются трудности калибровки модели — прежде всего из-за сложной функции правдоподобия и влияния выбора ядра на предсказательную силу. Экономность модели также остаётся актуальным соображением в многомерных постановках.

3. Методология

3.1. Математическая формулировка

Мы рассматриваем задачу моделирования текущих лучших bid и ask стакана (то есть стакана уровня 1). Отметим, что поскольку размещение заявок внутри спреда — обычная практика в акциях (причина в том, что в спреде обычно есть пустые ценовые уровни; число пустых уровней в спреде варьируется для каждой акции, и особенно примечателен результат Bouchaud и соавторов (2018), где показана сильная связь между ценой американских акций и спредом в тиках), формулировка Хоукса должна включать моделирование интенсивности и ближайших пустых уровней. Поэтому мы формулируем стакан как систему массового обслуживания с шестью очередями:

$$\{ask_{+1},\; ask_0,\; ask_{-1},\; bid_{+1},\; bid_0,\; bid_{-1}\}$$

Здесь $ask_0$ и $bid_0$ — соответственно лучшие цены ask и bid, а нижние индексы обозначают расстояние ценового уровня в тиках от лучшего ask/bid. Например, $ask_{+1}$ — ценовой уровень на 1 тик выше $ask_0$. Вектор размерности $2\times 6$ вида $((q_k^{(\zeta)}, \zeta_k)_{\zeta \in \{ask, bid\}, k \in \{-1, 0, +1\}})$, где $q_k^{(\zeta)}$ обозначает размер очереди, мы определяем как состояние стакана.

Мотивация моделировать именно эти шесть уровней, а не весь стакан, двояка. Во-первых, при моделировании большего числа уровней встаёт вопрос экономности модели. Во-вторых, мы наблюдаем, что изменения состояния стакана — это, как правило, события, сдвигающие цены на 1 тик. Действительно, в нашем датасете 97,4% всех заявок внутри спреда происходят в 1 тике от соответствующей лучшей котировки (среднее $1{,}035 \pm 0{,}285$ тика на 2 млн наблюдений), и 97,5% всех изменений цены имеют следующий непустой ценовой уровень тоже на расстоянии 1 тика (среднее $1{,}033 \pm 0{,}283$).

Механические ограничения. Естественно, поскольку $ask_0$ и $bid_0$ — лучшие цены ask и bid, размер очереди на $ask_{-1}/bid_{+1}$ равен нулю. Поэтому любая входящая лимитная заявка на $ask_{-1}/bid_{+1}$ (то есть заявка внутри спреда, in-spread, IS) создаёт новый лучший ask/bid, и состояние стакана преобразуется из

$$S := \{ (q_{+1}^{(ask)}, ask_{+1}), (q_0^{(ask)}, ask_0), (0, ask_{-1}), (0, bid_{+1}), (q_0^{(bid)}, bid_0), (q_{-1}^{(bid)}, bid_{-1}) \}$$

в

$$\begin{split} S_{IS} = \{ (q_0^{(\text{ask})}, \text{ask}_0), (q_{-1}^{(\text{ask})}, \text{ask}_{-1}), (0, \text{ask}_{-2}), \\ (0, \text{bid}_{+1}), (q_0^{(\text{bid})}, \text{bid}_0), (q_{-1}^{(\text{bid})}, \text{bid}_{-1}) \} \end{split}$$

для лимитной заявки внутри спреда со стороны ask.

Отметим, что возможен случай спреда шириной ровно 2 тика, что означало бы совпадение $\mathrm{ask}_{-1}$ и $\mathrm{bid}_{+1}$. Возможен и спред в 1 тик, при котором $\mathrm{ask}_{-1}$ и $\mathrm{bid}_{+1}$ не существуют. Далее в этом разделе мы наложим на интенсивности процесса Хоукса для этих уровней ограничения, учитывающие такие возможности. С другой стороны, если происходит событие исчерпания очереди (queue depletion, QD) на лучшем bid/ask (например, достаточно крупная рыночная заявка размера $\kappa^{MO_{\mathrm{ask}}} \geq q_0^{(\mathrm{ask})}$), спред расширяется, и состояние переходит из $S$ в

$$S_{QD} = \{ (q_{+2}^{(\text{ask})} - (q_0^{(\text{ask})} - \kappa^{MO_{\text{ask}}}), \text{ask}_{+2}), (q_{+1}^{(\text{ask})}, \text{ask}_{+1}), (0, \text{ask}_0), (0, \text{bid}_{+1}), (q_0^{(\text{bid})}, \text{bid}_0), (q_{-1}^{(\text{bid})}, \text{bid}_{-1}) \}$$

для исчерпывающей очередь рыночной заявки или снятия со стороны ask. Здесь мы сталкиваемся с неизвестной величиной $q_{+2}^{(\rm ask)}$. Её мы сэмплируем из стационарного распределения, откалиброванного по эмпирическим данным. Остаток размера рыночной заявки (если он есть) вычитается из этой величины для получения финального состояния $S_{QD}$. Подчеркнём, что размеры рыночных заявок относительно выставленной ликвидности могут быть достаточно велики, чтобы вызвать многоуровневое исчерпание, и тогда спред расширяется сразу на несколько тиков, а состояние меняется соответственно. Наконец, отметим, что рыночные заявки могут происходить только на $ask_0/bid_0$, а на $ask_{-1}/bid_{+1}$ не может быть снятий, поскольку по определению объём там нулевой.

Составной процесс Хоукса. Составной точечный процесс (compound point process, CPP) $Z(t)$ определяется как

$$Z(t) = \sum_{i=1}^{N(t)} Y_i \tag{1}$$

где $\{N(t): t \geq 0\}$ — считающий процесс с интенсивностью $\lambda(t)$, а $Y_i$ — независимые одинаково распределённые случайные величины, обозначающие размер скачка, с соответствующим распределением $P_{\Theta}(Y_i)$, параметризованным $\Theta$. Составной процесс Хоукса (CHP) — частный случай CPP, где $N(t)$ — считающий процесс, ассоциированный с процессом Хоукса. Для $d$-мерного процесса Хоукса интенсивность $\lambda^{(i)}(t)$ и ассоциированный считающий процесс $N^{(i)}(t)$ для $i=1,\ldots,d$ определяются как:

$$\lambda^{(i)}(t) = \mu^{(i)}(t) + \sum_{j=1}^{d} \sum_{t_j \in T_j} \phi^{(j \to i)}(t - t_j) \tag{2}$$

где $T_j := \{t_j : t_j \le t\}$ обозначает множество прошлых моментов событий в $j$-м измерении процесса Хоукса. Здесь $\mu^{(i)}(t)$ — экзогенная интенсивность $i$-го измерения, а $\phi^{(j \to i)}(t - t_j)$ — член возбуждения из $j$-го измерения в $i$-е. Члены возбуждения суть функции времени, прошедшего с события (обычно убывающие функции — экспоненциальное или степенное затухание). Альтернативная, но аналогичная формулировка:

$$\lambda^{(i)}(t) = \mu^{(i)}(t) + \sum_{j=1}^{d} \int_{0}^{t} \phi^{(j \to i)}(t - u)\, dN^{(j)}(u) \tag{3}$$

Стакан как составной процесс Хоукса. Мы определяем 12-мерный составной процесс Хоукса (в соответствии с механическими ограничениями) для 6 очередей состояния стакана, где каждое измерение отвечает следующим типам событий:

$$\mathcal{E} := \{LO_{ask_{+1}}, CO_{ask_{+1}}, LO_{ask_{0}}, CO_{ask_{0}}, MO_{ask_{0}}, LO_{ask_{-1}}, \\ LO_{bid_{+1}}, LO_{bid_{0}}, CO_{bid_{0}}, MO_{bid_{0}}, LO_{bid_{-1}}, CO_{bid_{-1}}\}$$

где LO — лимитная заявка, CO — снятие, MO — рыночная заявка. Мы определяем взаимно однозначное соответствие между нумерацией $i = 1, \ldots, 12$ и упорядоченным множеством $\mathcal{E}$, обозначаемое $i(e) : \mathcal{E} \to \{1, \ldots, 12\}$. Размер заявки каждого из 12 типов событий ($\kappa^{(e)} \in \mathbb{N}$ для события $e \in \mathcal{E}$) сэмплируется из собственного откалиброванного распределения $\Pi^{(e)}(\Theta)$, где $\Theta$ — его откалиброванные параметры. Мы постулируем, что сами интенсивности заявок не зависят от прошлых размеров заявок, а только от прошлых моментов событий, как это обычно предполагается в моделях Хоукса для данных стакана. Некоторые слабые свидетельства в пользу этого утверждения приводятся в приложении A. Отметим, что наша работа по распределению размеров заявок близко следует Lu and Abergel (2018a), однако они используют пуассоновскую модель. Для объёмов снятий, поскольку почти все снятия в эмпирических данных — полные, мы выбираем случайно с равной вероятностью из объёмов доступных лимитных заявок в очереди. Таким образом мы строим CHP для размеров очередей на шести очередях стакана, индексированных $k = 1 \ldots 6$:

$$q_k^{(\zeta)}(t) = \sum_{e \in \mathcal{E}_k^{(\zeta)}} \sum_{j=1}^{N^{(i(e))}(t)} \kappa_j^{(e)} \tag{4}$$

$$\kappa_{j}^{(e)} \sim \Pi^{(e)}(\Theta) \tag{5}$$

$$\forall j \in \mathbb{N},\; \zeta \in \{\text{ask, bid}\},\; e \in \mathcal{E},\; \kappa_{j}^{(e)} \in \mathbb{N}$$

где $j = 1, \ldots, N^{(i(e))}(t)$, а $\mathcal{E}_k^{(\zeta)}$ — множество допустимых событий для стороны $\zeta$ и очереди номер $k$.

Предположение о том, что эти распределения стационарны и не зависят ни от каких условий, довольно сильное. Потенциальное решение этой проблемы — добавление реактивности к очереди (queue-reactiveness). Это направление мы оставляем для будущей работы.

Чтобы контролировать спред процесса (свойство 1), мы формулируем интенсивности $LO_{ask_{-1}}$ и $LO_{bid_{+1}}$ как функцию текущего спреда в тиках $s$. Если $\lambda^{(IS)}(t)$ представляет интенсивность событий внутри спреда $\{i(LO_{ask_{-1}}), i(LO_{bid_{+1}})\}$, то

$$\lambda^{(IS)}(t,s) = \lambda^{(IS)}(t)\,(s-1)^{\beta}; \quad \beta > 0,\; s \in \mathbb{N} \tag{6}$$

В этой формулировке мы обеспечиваем механическое ограничение: при $s=1$ имеем $\lambda^{i(LO_{ask_{-1}})}(t,1)=\lambda^{i(LO_{bid_{+1}})}(t,1)=0$, ценой одного дополнительного параметра $\beta$. Выбор степенной зависимости интенсивности заявок от спреда мотивируется в приложении B.

Мы наблюдаем сильную зависимость интенсивностей $\lambda_t^{(\cdot)}$ от времени торгового дня (свойство 2). Имеется U-образная форма интенсивностей заявок по времени суток: сразу после аукциона открытия и перед аукционом закрытия активность на рынке значительно выше, чем в середине дня. Этот эффект наблюдается для торговых объёмов в акциях; среди вероятных причин наиболее общепринятая — что аукционы вызывают остановку торгов, а эта остановка ведёт к повышенной активности. Ради экономности модели мы разбиваем 6,5-часовой торговый день NASDAQ на тринадцать 30-минутных корзин (индексируемых $Q_t \in \{1, 2, \ldots, 13\}$ для $t$ как времени суток). Мы моделируем интенсивность как сепарабельную функцию времени суток и интенсивностей Хоукса:

$$\lambda^{(i)}(Q_t, t, s) = f^{(i)}(Q_t) \times \lambda^{(i)}(t, s) \tag{7}$$

Наконец, чтобы ингибирующие ядра не порождали отрицательных интенсивностей, мы обрезаем полное возбуждение $\lambda^{(e)}(Q_t, t, s)$ снизу нулём. Таким образом, обобщённые интенсивности для всех 12 измерений, $i = 1 \ldots 12$, записываются так.

Для событий внутри спреда:

$$\lambda^{(i)}(Q_t, t, s) = \max \left(0,\; f^{(i)}(Q_t)(s-1)^{\beta} \times \left(\mu^{(i)} + \sum_{j=1}^{d} \int_{0}^{t} \phi^{(j \to i)}(t-u)\, dN^{(j)}(u)\right)\right) \tag{8}$$

Для остальных событий:

$$\lambda^{(i)}(Q_t, t, s) = \max \left( 0,\; f^{(i)}(Q_t) \times \left( \mu^{(i)} + \sum_{j=1}^d \int_0^t \phi^{(j \to i)}(t - u)\, dN^{(j)}(u)\right)\right) \tag{9}$$

Динамика цены. Динамика средней цены $P(t)$ после события в момент $t$ на стороне $\zeta$ (где $\zeta = +1$ для ask и $-1$ для bid) есть скачкообразный процесс со скачками, определяемыми как

$$\begin{split} P(t^{+}) - P(t) = &-\frac{\eta}{2} \zeta\, dN^{(IS)}(t) \\ &+ \frac{\eta}{2} \zeta\, dN^{(CO)}(t)\, \mathbb{1}_{\{\#q_{0}^{(\zeta)}(t)=1\}}(t) \\ &+ \frac{\eta}{2} \zeta\, dN^{(MO)}(t)\, \mathbb{1}_{\{q_{0}^{(\zeta)}(t) \le \kappa^{(MO_{\zeta_{0}})}(t)\}}(t) \end{split} \tag{10}$$

где $\eta$ — размер тика, $N^{(IS)}(t)$ — считающий процесс для заявок внутри спреда, а $\#q_0^{(\zeta)}(t)$ обозначает число отдельных лимитных заявок в очереди.

3.2. Калибровка

Мы следуем непараметрическому методу калибровки из Kirchner (2017) и, вдохновляясь Bacry и соавторами (2016), строим временную сетку одновременно в линейном и логарифмическом масштабах, чтобы учесть медленность затухания ядер. Преимущество метода в том, что он не требует априорных предположений о форме самих ядер (популярные варианты в литературе — экспоненциальное и степенное затухание), поскольку он непараметрический.

Для события $e$ (не зависящего от спреда), со считающим процессом $N^{(i(e))}(t)$, имеющим интенсивность вида (9), определим наблюдаемые в датасете корзинные счётчики как $X_{\Delta}^{(e,n)}:=N^{(i(e))}(t_n)-N^{(i(e))}(t_{n-1})$, $n\in\mathbb{N}$, где $\Delta:=t_n-t_{n-1}$ — размер корзины (взятый постоянным). Для краткости опускаем обозначение $i(e)$ и индексируем самим событием $e$. Следуя Kirchner (2017), для $\mathcal{H}_{n-1}^{(e)}$, обозначающего множество наблюдённых значений в предыдущих $n-1$ корзинах, имеем:

$$\mathbb{E}\left[X_{\Delta}^{(e,n)}\middle|\mathcal{H}_{n-1}^{(e)}\right] = \int_{(n-1)\Delta}^{n\Delta} \mathbb{E}\left[f(Q_t)\lambda^{(e)}(t)\middle|\mathcal{H}_{n-1}^{(e)}\right] dt \tag{11}$$

$$\frac{\mathbb{E}\left[X_{\Delta}^{(e,n)}\middle|\mathcal{H}_{n-1}^{(e)}\right]}{f(Q_t)} = \int_{(n-1)\Delta}^{n\Delta} \mu_t^{(e)}dt + \sum_{j=1}^d \int_{(n-1)\Delta}^{n\Delta} \int_0^t \phi^{(j\to i)}(t-u)\,N^{(j)}(du)\,dt \tag{12}$$

Здесь мы используем то, что $f(Q_t)$ кусочно-постоянна, и строим корзины так, чтобы сетка $\Delta$ идеально накладывалась на сетку $Q_t$. Теперь определим другую сетку $\delta_k := t_{max}^{(k)} - t_{min}^{(k)}$ с $t_{max}^{(1)} = t$, $t_{min}^{(K)} = t - T$ для $k = 1, \ldots, K$, где $T < \infty$ — точка отсечения интеграла для аппроксимации:

$$\int_{0}^{t} \phi^{(j \to i)}(t - u)\, N^{(j)}(du) \approx \sum_{k=1}^{K} \frac{X_{\delta_{k}}^{(e)}}{\delta_{k}} \int_{t_{min}}^{t_{max}} \phi^{(j \to i)}(u)\, du \tag{13}$$

Здесь $X_{\delta_k}^{(e)}$ — корзинные наблюдённые события типа $e$ в корзине $\delta_k$. Далее, как и в Kirchner (2017), мы делаем ещё одно приближение: сетка $\Delta$ достаточно мелкая, чтобы интенсивность была постоянной на $(t_{n-1}, t_n]$. С этим, подставляя (13) в (12), получаем:

$$\frac{\mathbb{E}\left[X_{\Delta}^{(e,n)}\middle|\mathcal{H}_{n-1}^{(e)}\right]}{f(Q_t)} \approx \Delta\mu^{(i)} + \Delta\sum_{j=1}^{d}\sum_{k=1}^{K}\frac{X_{\delta_k}^{(e)}}{\delta_k}\int_{t_{min}^{(k)}}^{t_{max}^{(k)}}\phi^{(j\to i)}(u)\,du \tag{14}$$

Как отмечено в Bacry и соавторах (2016), линейно расположенной сетки для оценивания кросс-возбуждения недостаточно при медленно затухающих ядрах вроде степенных. Поэтому мы предлагаем использовать ту же линейно-логарифмическую сетку из Bacry и соавторов (2016) в качестве сетки $\delta_k$. Мы полагаем $\delta_1 = \Delta$ и добавляем $\frac{K}{2}$ линейно расположенных $\delta_k$. Наконец, добавляем $\frac{K}{2}$ логарифмически расположенных $\delta_k$, получая итоговую сетку $G = [0, \Delta, \ldots, \frac{K}{2}\Delta, \frac{K}{2}\Delta m, \frac{K}{2}\Delta m^2, \ldots, T]$ с $m = \left(\frac{2T}{K\Delta}\right)^{\frac{2}{K}}$.

Отметим, что для событий внутри спреда интенсивность зависит ещё и от текущего спреда. Однако, подобно $f(Q_t)$, множитель $(s_t-1)^{\beta}$ — ещё одна кусочно-постоянная функция, умножаемая на интенсивность. Поэтому обработка событий внутри спреда совершенно аналогична, с заменой $f(Q_t)$ на $f(Q_t) \times \mathbb{E}[(s_t-1)^{\beta}]$. Для событий внутри спреда, где $\langle (s-1)^{\beta} \rangle_{((n-1)\Delta,\, n\Delta]}$ обозначает среднее $(s-1)^{\beta}$ в корзине, имеем:

$$\mathbb{E}\left[X_{\Delta}^{(e,n)}\middle|\mathcal{H}_{n-1}^{(e)}\right] = \int_{(n-1)\Delta}^{n\Delta} \mathbb{E}\left[(s-1)^{\beta} f^{e}(Q_{t}) \lambda^{(e)}(t)\middle|\mathcal{H}_{n-1}^{(e,N)}\right] dt \tag{15}$$

$$\frac{\mathbb{E}\left[X_{\Delta}^{(e,n)}\middle|\mathcal{H}_{n-1}^{(e)}\right]}{f^{(e)}(Q_{t}) \left\langle (s-1)^{\beta} \right\rangle_{((n-1)\Delta,\, n\Delta]}} = \int_{(n-1)\Delta}^{n\Delta} \mu_{t}^{(e)} dt + \sum_{j=1}^{d} \int_{(n-1)\Delta}^{n\Delta} \int_{0}^{t} \phi^{(j\to i)} (t-u)\, N^{(j)} (du)\, dt \tag{16}$$

Та же процедура применяется и к подгонке модифицированного авторегрессионного процесса для интенсивностей событий внутри спреда.

Эта формулировка решается методом наименьших квадратов. В результате (после перемасштабирования на $\frac{\delta_k}{\Delta}$) мы получаем точечные оценки для $\int_{t_{min}^{(k)}}^{t_{max}^{(k)}} \phi^{(j \to i)}(u)\, du$ для всех $t_{(\cdot)}^{(k)} \in G$; $i, j \in 1, \ldots, d$. Мы формируем кумулятивные суммы этих оценок, получая точечные оценки функции $\Phi(t_{max}^{(k)}) = \int_0^{t_{max}^{(k)}} \phi^{(j \to i)}(u)\, du$.

Мы добавляем к задаче наименьших квадратов два ограничения (из авторегрессионной формулировки). Во-первых, мы обеспечиваем однонаправленную форму ядер Хоукса, требуя однородности знака точечных оценок (то есть либо все больше нуля, либо все меньше). Для этого мы используем граф Хоукса (Achab и соавторы, 2018), который напрямую оценивает матрицу норм ядер $M_{d\times d}$ (её элементы определяются как $M_{ij} = \int_0^\infty \phi^{(j \to i)}(u)\, du$ — норма ядра $\phi^{(j \to i)}(t)$ для $i, j \in \{1, \ldots, d\}$) по условным вероятностям 12-мерного точечного процесса. Отметим, что этот метод используется исключительно для определения того, является ли ядро катализирующим или ингибирующим (то есть положительна или отрицательна его норма).

Во-вторых, мы ограничиваем интеграл ядра Хоукса для обеспечения устойчивости процесса. Стандартный процесс Хоукса устойчив, если максимальное собственное число матрицы норм ядер меньше 1 (Hawkes, 2018); соответствующее ограничение для нашей модели выводится в уравнениях (17)–(21).

$$\lambda^{(i)} = \mathbb{E}\left[\lambda^{(i)}(t)\right] = \mathbb{E}\left[f^{(i)}(Q_t)\left(\mu_t^{(i)} + \sum_{j=1}^d \int_0^t \phi^{(j\to i)}(t-u)\, dN_u^{(j)}\right)\right] \tag{17}$$

$$= f^{(i)}(Q_t)\left(\mu^{(i)} + \sum_{j=1}^d \lambda^{(j)} \int_0^t \phi^{(j\to i)}(t-u)\, du\right) \tag{18}$$

$$\Lambda = \text{diag}\left(f^{(1)}(Q_t), \ldots, f^{(d)}(Q_t)\right) \cdot \left(\mu + \Lambda \cdot \mathbf{M}\right) \tag{19}$$

$$\Lambda = \mu\left(\text{diag}\left(f^{(1)}(Q_t), \ldots, f^{(d)}(Q_t)\right)^{-1} - \mathbf{M}\right)^{-1} \tag{20}$$

$$\implies \int_0^\infty \phi^{(j\to i)}(u)\, du \approx \sum_{k=1}^K \int_{t_{min}}^{t_{max}} \phi^{(j\to i)}(u)\, du \leq \frac{1}{\max_{Q_t} f(Q_t)} \tag{21}$$

Следовательно, для стационарности и устойчивости процесса Хоукса максимальное собственное число матрицы $M$ должно быть меньше $\frac{1}{\max_{Q_t} f(Q_t)}$. Мы постулируем, что формулировка с ограниченными интегралами отдельных ядер (уравнение 19) — адекватная линейная аппроксимация нелинейного ограничения на ограниченность собственных чисел. На практике мы всё же видим, что откалиброванное ядро Хоукса иногда нарушает это нелинейное ограничение. Мы применяем эвристику: умножаем все ядра на регуляризующий множитель, ограничивающий собственное число единицей.

По той же логике, что и в уравнениях (13) и (14), можно получить следующее ограничение для интенсивностей заявок внутри спреда:

$$\sum_{k=1}^{K} \int_{t_{min}^{(k)}}^{t_{max}^{(K)}} \phi^{(j\to i)}(u)\, du \le \frac{1}{\left\langle (s-1)^{\beta} \right\rangle \max_{Q_t} f(Q_t)} \tag{22}$$

Эти ограничения линейны по отношению к квадратичной задаче, поставленной уравнением (12).

Мы подгоняем параметрические функции к каждому из этих ядер по точечным оценкам, используя в качестве кандидатов степенные и экспоненциальные функции. В отличие от Kirchner (2017), однако, мы не калибруем параметры в 30-минутных окнах с последующим усреднением по 13 окнам дня, а используем данные всего дня целиком; и мы не делаем приближения $\int_{t_{min}^{(k)}}^{t_{max}^{(k)}} \phi^{(j \to i)}(u)\, du \approx (t_{max}^{(k)} - t_{min}^{(k)})\, \phi^{(j \to i)}(t_{min}^{(k)})$, поскольку размер сетки не равномерно мал.

Рисунок 3 — смотреть в оригинале (PDF)

Мы калибруем данные за несколько дней по отдельности и проверяем стационарность (по дням) откалиброванных параметров. Поскольку стационарность параметров ядер на протяжении многих дней наблюдается (рисунок 5b), мы используем параметры за несколько дней для итоговой оценки откалиброванных параметров. Отметим, что, как упоминается в Kirchner and Bercher (2018), экзогенная интенсивность сильно переоценивается из-за ошибки отсечения и распределенческих ошибок. Поэтому мы применяем результат из Bacry и соавторов (2016) для оценки экзогенных интенсивностей по средней интенсивности наблюдаемых событий $\hat{\Lambda}$ и подогнанной матрице норм $\hat{M}$. Из уравнения (17), усредняя по всем индексам корзин $Q_t$ и используя $\langle f(Q_t) \rangle = 1$, получаем:

$$\hat{\boldsymbol{\mu}} = (\mathbb{I} - \hat{\boldsymbol{M}})\,\hat{\Lambda} \tag{23}$$

Для калибровки распределения размеров заявок мы используем метод максимального правдоподобия. Ключевое наблюдение — предпочтение трейдерами круглых чисел в объёме заявки. Это важный стилизованный факт динамики стакана, поэтому мы используем дельта-функции Дирака, чтобы добавить в функцию распределения всплески. Наконец, мы применяем алгоритм прореживания (thinning) для симуляции стакана по откалиброванным параметрам и приводим визуализации откалиброванных параметров в следующем разделе вместе с результатами по качеству подгонки.

4. Результаты

В этом разделе мы показываем откалиброванные и симулированные результаты предложенной модели. Далее мы проводим сравнения с другими моделями стакана из литературы. За сравнением непараметрического метода калибровки процесса Хоукса с более употребительным методом максимального правдоподобия отсылаем читателя к работе Kirchner and Bercher (2018).

4.1. Калибровка на симулированных данных

В качестве свидетельства корректности метода подгонки мы конструируем 12-мерный составной процесс Хоукса и симулируем его на протяжении 100 торговых дней. Параметры этого CHP выбраны случайно из списка кандидатов, а матрица норм выбрана диагональной с ненулевыми околодиагональными элементами. Истинная матрица норм показана на рисунке 3a. Затем мы преобразуем симулированные данные стакана в корзинную структуру, необходимую для описанной выше методологии калибровки, выполняем непараметрическое оценивание точечных значений ядер и экзогенных интенсивностей и, наконец, подгоняем степенное ядро по точкам, наблюдённым за 100 торговых дней. Подогнанная матрица норм показана на рисунке 3b.

Мы отмечаем, что подогнанная матрица имеет схожую форму вблизи диагонали с истинной матрицей, однако некоторые внедиагональные элементы получают большие неточные значения. Взвешенная по нормам средняя относительная ошибка оценённых параметров по 144 ядрам составляет 6,0%, 0,9% и 4,4% соответственно для параметров $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ степенного ядра $\phi(t) = \alpha(1+\gamma t)^{-\beta}$. Отсюда мы заключаем, что методология подгонки работает достаточно хорошо при допустимом уровне ошибки оценивания.

4.2. Калибровка на стакане акций

Рисунок 4 — смотреть в оригинале (PDF)

Теперь мы показываем наблюдаемые интенсивности, обусловленные временем суток, для одного из измерений (рыночные заявки на ask) на рисунке 4. Мы наблюдаем общую U-образную форму по всем 12 измерениям. На рисунке 16b мы показываем норму ядер $M$ с удалённым множителем времени суток; ось x — возбуждающее событие, ось y — возбуждаемое. Мы также показываем несколько подогнанных форм ядер на рисунке 5b. Как видно по полупрозрачным синим линиям, формы ядер, подогнанные по многим дням, устойчивы между днями.

Поскольку число ядер возбуждения в 12-мерном процессе Хоукса равно $12^2$, ради экономности модели мы обнуляем эффект малых кросс-возбуждений, таких как Cancel $Bid_0 \rightarrow$ Limit $Ask_0$. Мы задаём порог отбора ядер по их нормам равным 0,01, что устраняет ряд членов кросс-возбуждения и ограничивает число ядер до 65.

Заметим, что эти оценённые ядра получены непараметрически и потому нуждаются в дальнейшей подгонке параметрической функцией. Мы выбираем между степенным ядром $\phi(t)=\alpha(1+\gamma t)^{-\beta}$ и экспоненциальным ядром $\phi(t)=\alpha e^{-\beta t}$, сравнивая информационный критерий Акаике (AIC). Мы видим, что степенное ядро выбирается в 100% случаев на этом датасете. Подогнанная линия показана красным на рисунке 5b. Как видно, степенная линия описывает точечные оценки весьма хорошо: средняя среднеквадратичная ошибка подгонки составляет $\sim 10^{-3}$. Ещё один примечательный аспект результатов подгонки — наличие ингибирующих ядер.

Мы используем данные NASDAQ Level 2 за 2019 год (то есть 12 месяцев данных) по Apple Inc. — акции со средним тиком (средний спред 1,7 тика). В приложении C мы также приводим результаты для других типов акций: крупный тик (Intel), малый тик (Tesla) и очень малый тик (Amazon).

Рисунок 5 — смотреть в оригинале (PDF)

4.3. Калибровка распределений размеров заявок

Следуя Lu and Abergel (2018a), мы используем дельта-функции Дирака на круглых числах, чтобы учесть стилизованные факты, наблюдаемые на рисунках 1a и 1b. В качестве множества круглых чисел, на которых мы хотим разместить всплески плотности, мы выбираем $\{1, 10, 50, 100, 200, 500\}$. Остальная часть плотности моделируется геометрическим распределением. Мы подгоняем это распределение методом максимального правдоподобия. Итоговая откалиброванная плотность (сглаженная для наглядности) показана на рисунке 6.

Рисунок 6 — смотреть в оригинале (PDF)

4.4. Метрики качества подгонки

Метрики качества подгонки представлены на рисунке 7. Мы выполняем проверку реалистичности, сравнивая некоторые стилизованные факты симулированных данных с эмпирическими. В качестве набора стилизованных фактов мы используем распределения межсобытийных длительностей, распределения времени до изменения цены, сигнатурные графики волатильности, распределения спреда и доходностей, автокорреляцию доходностей и примеры ценовых траекторий. Как видно из рисунка 7, процесс Хоукса способен воспроизвести форму сигнатурного графика, наличие длинных автокорреляций абсолютных доходностей, тяжёлый хвост распределения доходностей, а также два пика во временах между приходами заявок — и всё это довольно хорошо. Вдобавок наша конкретная формулировка процесса Хоукса с контролем спреда позволяет хорошо воспроизвести распределение эмпирических спредов. Рисунок 8 демонстрирует эффективность воспроизведения U-образной динамики событий стакана в нашей формулировке.

Рисунок 7 — смотреть в оригинале (PDF)

Рисунок 8 — смотреть в оригинале (PDF)

4.5. Сравнение с аналогичной пуассоновской формулировкой

Мы формулируем 12-мерный составной пуассоновский процесс, в котором интенсивности отдельных считающих процессов пуассоновские, а не хоуксовские. Размеры заявок сэмплируются из того же распределения, что и в нашей CHP-модели. Свойства 1 и 2 обеспечиваются обнулением интенсивности прихода заявок внутри спреда при спреде в 1 тик и умножением интенсивности на тот же множитель времени суток $f(Q_t)$. Мы калибруем пуассоновские интенсивности методом максимального правдоподобия и приводим метрики качества подгонки на рисунке 9. Как отчётливо видно на графиках, пуассоновская модель упускает значительную массу распределения времён между приходами, а также распределения времён до изменения цены. Распределение спреда тоже нереалистично, а сигнатурный график волатильности нехарактерно плоский.

Рисунок 9 — смотреть в оригинале (PDF)

4.6. Эффект неверной спецификации распределения размеров заявок

Теперь мы показываем необходимость моделировать распределение размеров заявок, рассматривая откалиброванные ядра с постоянным размером заявки (равным медианному). Мы сравниваем эмпирические времена событий изменения цены, сигнатурный график волатильности и распределение спреда с симулированными для двух типов моделей. Как отчётливо видно на рисунке 10, наша модель с откалиброванным распределением размеров заявок подходит эмпирическим данным существенно лучше, чем модель с постоянным размером: сигнатурный график и распределение доходностей показывают, что волатильность сильно переоценивается (примерно в $\sim 100$ раз, как видно по сигнатурному графику), изменения цены происходят значительно быстрее (видно по левому хвосту графика времени до изменения цены), и, наконец, спреды в целом гораздо шире.

Наше предположение относительно этого наблюдения таково: изменения цены зависят не только от времён приходов заявок, но и от того, насколько быстро исчерпывается очередь. Поэтому моделирование размеров заявок позволяет получить более реалистичные времена изменения цены, доходности, спреды и волатильность в симуляторе.

Рисунок 10 — смотреть в оригинале (PDF)

4.7. Сравнение с другими моделями на процессе Хоукса

Чтобы сравнить производительность нашей модели с состоянием дел в области, мы выбрали 8-мерную модель Хоукса из Bacry и соавторов (2016) со следующими типами событий: {изменения цены, рыночные заявки (без изменения цены), лимитные заявки (на вершине, без изменения цены), снятия (на вершине, без изменения цены)} $\times$ {bid, ask}. Эта модель использует альтернативный нашему подход к моделированию вершины стакана. Мы используем код, опубликованный их исследовательской группой (Bacry и соавторы, 2017), и реализуем подгонку EM-алгоритмом по событиям на том же датасете, на котором подгоняли нашу модель. Мы вновь обнаруживаем, что степенные ядра подходят данным лучше экспоненциальных. Параметры степенного закона мы выводим из точечных оценок, подогнанных EM-алгоритмом, тем же методом максимального правдоподобия, что и в нашей методологии. Затем мы симулируем процесс Хоукса кодом авторов из библиотеки tick (Bacry и соавторы, 2017). Поскольку их симулятор способен производить только моменты событий, но не размеры очередей, спреды или величину изменения цены, мы используем для сравнения только времена между приходами событий — ценовые траектории, доходности и распределения спреда не симулируются. Результаты показаны на рисунке 11. Как видно из симулированных распределений, их модель довольно хорошо улавливает правый хвост распределения по всем симулируемым событиям, однако недостаточно точна в высокочастотной области (то есть в левом хвосте).

Рисунок 11 — смотреть в оригинале (PDF)

4.8. Исследование рыночного воздействия

Как отмечено в Jain и соавторах (2024), рыночное воздействие (market impact, MI) — одна из наиболее важных характеристик реалистичного симулятора стакана. Мы вводим в CHP-симулятор внешнего агента, который подаёт дочерние заявки объёмом $q(Q_T, T, f)$ для метазаявки объёмом $Q_T$, длительностью $T$ и частотой подачи $f$. Мы вдохновляемся постановкой Cont и соавторов (2023) и применяем TWAP-стратегию (то есть $q(Q_T, T, f) = \frac{Q_T}{T \times f}$) с варьируемыми параметрами $Q_T \in \{3000, 6000, 12000, 24000\}$ акций, $T \in \{15, 30, 60, 120\}$ секунд и $f \in \{1, \frac{1}{3}, \frac{1}{12}, \frac{1}{20}\}$ сек$^{-1}$ при фиксированном времени начала. Выбор $Q_T$ мотивирован тем, что средний размер очереди для этой акции около 600 акций, и потому дочерняя заявка при наиболее типичной конфигурации в исследовании MI ($Q_T = 12000$, $T = 60$, $f = \frac{1}{3}$) имела бы размер, равный среднему размеру очереди, инициируя тем самым исчерпание очередей. Мы также проводим исследование с варьируемым временем начала заявки при трёх остальных параметрах, зафиксированных на $Q_T = 12000$, $T = 60$, $f = \frac{1}{3}$. Так мы проверяем чувствительность функции MI к каждому из 4 тестируемых параметров.

Мы начинаем симуляцию за 100 секунд до времени начала заявки и наблюдаем среднюю цену до 120 секунд после завершения исполнения метазаявки. Симулированные траектории средней цены показаны синим, зелёным и жёлтым соответственно для периодов до, во время и после исполнения метазаявки. Средняя траектория показана оранжевым. Мы используем три типа дочерних заявок: рыночные, лимитные (на вершине) и лимитные (глубоко). Наконец, мы экспериментируем с обеими сторонами стакана — покупкой и продажей. Мы симулируем 100 траекторий на каждый набор параметров и приводим часть результатов на рисунках 12, 13 и 14.

Теперь дадим анализ наблюдаемой статистики MI в симуляторе. На рисунках 12 и 13 мы фокусируемся на MI от рыночных заявок. Мы обнаруживаем (рисунок 12a), что торговля утром оказывает большее воздействие, чем днём; это воздействие вновь возрастает ближе к закрытию. Отсюда следует, что обусловленность параметров модели временем суток распространяется и на MI. Варьируя общий объём метазаявки, мы находим вогнутую связь между наблюдаемым MI и $Q_T$ (рисунок 12c). Это согласуется с эмпирически наблюдаемой вогнутостью MI по общему объёму заявки.

Далее, тестируя скорость торговли, то есть долю от объёма (percent-of-volume, POV), мы варьируем временной горизонт метазаявки $T$ при прочих равных. Интересно, что мы наблюдаем рост абсолютного MI $\Delta P$ с увеличением $T$ (и уменьшением POV). Отметим, однако, быстро убывающую зависимость для скорости изменения $\Delta P$, обозначаемой в этих экспериментах $\alpha$. Это позволяет предположить, что поведение $\Delta P$ может быть вызвано частотой торговли, а не долей от объёма. Действительно, на рисунке 13d мы наблюдаем, что увеличение частоты торговли ведёт к более высокому $\Delta P$. Мы также отмечаем скачки цены и последующую релаксацию в режиме низкочастотной торговли (нижняя правая часть рисунка 13c).

Это указывает на то, что наш симулятор более чувствителен к числу сделок, чем к их объёму, в части ценового воздействия. Это, конечно, следствие сделанного нами предположения, что размеры заявок независимы друг от друга и что будущие заявки возбуждаются только счётчиком заявок. Из этого следует, что в данном симуляторе торговому движку было бы выгоднее торговать крупными блоками на низкой частоте вместо мелких порций, — что контринтуитивно по отношению к реальному феномену неблагоприятного отбора. Это потенциально недостающий элемент нашего симулятора. Тем не менее мы вновь отмечаем вогнутость функции MI как по $\frac{1}{T}$, так и по $f$, что подразумевает вогнутость функции MI по отношению к POV и к числу срезов заявки. Это опять-таки согласуется с эмпирически наблюдаемыми фактами.

На рисунке 14 мы демонстрируем MI лимитных заявок на разной глубине стакана. Мы отмечаем вогнутость MI для лимитных заявок на вершине стакана (рисунок 14b). Мы также наблюдаем, что лимитные заявки оказывают на стакан значительно более слабое и более шумное (но всё же ненулевое) воздействие, чем рыночные. Воздействие ослабевает до неотличимого от шума по мере углубления в стакан — но ценой вероятности исполнения. Это наблюдение также согласуется с наблюдениями на эмпирических данных.

Рисунок 12 — смотреть в оригинале (PDF)

Рисунок 13 — смотреть в оригинале (PDF)

Рисунок 14 — смотреть в оригинале (PDF)

5. Заключение и будущая работа

Мы решаем задачу симуляции реалистичного стакана с помощью составного процесса Хоукса. В частности, мы сосредоточены на построении симулятора, реалистичного в отношении размеров заявок и воспроизводящего механические ограничения реального стакана — такие как неотрицательные спреды и положительные интенсивности. Далее мы обусловливаем интенсивности временем суток, чтобы симулятор не игнорировал рост торговых интенсивностей вблизи аукционов открытия и закрытия. Мы приводим ряд стилизованных фактов для проверки эффективности модели относительно эмпирических наблюдений и сравниваем эмпирические свойства нашей модели с несколькими базовыми.

В этой формулировке процесса Хоукса мы ничего не предполагаем о ценовом процессе актива — он возникает как скачкообразный процесс из скромных предположений о самом потоке заявок. Наши вклады можно перечислить так:

1. Мы предлагаем новую формулировку процесса Хоукса, поддерживающую положительность спреда.
2. Мы дополняем непараметрические методы, предложенные в Kirchner (2017), так, чтобы они работали с медленно затухающими ядрами и были устойчивее.
3. Мы используем откалиброванные распределения для сэмплирования размеров заявок вместо предположения о единичном размере.
4. Мы формулируем приходы заявок внутри спреда как функцию текущего спреда, используя известный факт о возврате спреда к среднему.
5. Мы проводим исследование рыночного воздействия в этом симуляторе, а также тестирование против нескольких базовых моделей и эмпирических данных с помощью ряда популярных стилизованных фактов.

Будущие направления исследований включают тестирование модели на большем числе акций, и особенно решение проблемы акций с малым тиком, у которых на двух верхних уровнях стакана меньше информации, чем предполагает наша модель. Хотя теоретически наша формулировка может работать и с малотиковыми акциями, ограничение моделирования вершиной стакана делает её для них непригодной. В основном малотиковые акции нарушают ряд наших предположений: стакан у них не плотный, улучшение цены происходит не равномерно на 1 тик от лучшей котировки, и существует довольно много уровней глубже верхних двух, влияющих на динамику стакана. Для обобщения модели на такие акции будущие исследования должны сосредоточиться на ослаблении этих предположений; один из возможных путей — моделирование большего числа уровней стакана в процессе Хоукса, хотя и ценой вычислительного времени и точности. Кроме того, размерность этого процесса Хоукса довольно велика — будущие исследования могли бы сосредоточиться на симуляции стакана с меньшим числом измерений.

Приложение A. Прошлые размеры заявок не влияют на будущие интенсивности приходов

Мы вычисляем интенсивность следующей заявки в нашем датасете для заданного прошлого размера заявки, подсчитывая число будущих событий в окне $t=0{,}01$ сек. Совместная диаграмма рассеяния для рыночных заявок на bid показана на рисунке 15a. Качественно распределение выглядит довольно равномерным. Мы применяем тест независимости Хёфдинга для вычисления расстояния между наблюдаемым совместным распределением этих двух случайных величин и распределением при условии их независимости. Значение статистики теста составляет 0,00068, что достаточно мало, чтобы заключить — пусть и со слабым свидетельством — о независимости этих двух величин. Аналогичные диаграммы рассеяния и статистики Хёфдинга наблюдаются и для всех прочих событий.

Приложение B. Интенсивность заявок внутри спреда зависит от текущего спреда

Мы строим график интенсивности заявок против текущего спреда в тиках по эмпирическим данным (3 месяца) на рисунке 15c. Здесь мы приводим диаграмму рассеяния, поскольку интенсивности аппроксимируются числом заявок внутри спреда в следующие 0,01 секунды и потому случайны. Распределение точек данных показано полупрозрачными красными столбцами. Мы подгоняем линейную регрессию по двойному логарифмическому преобразованию этих точек (исключая спреды 0 и 1) и находим наилучший показатель степени 0,7479. Красная линия на графике показывает подогнанную зависимость. Мы наблюдаем $R^2 = 0{,}85$ для этой регрессии. Аналогичные рисунки для других акций приведены на рисунках 15e, 15b, 15d.

Рисунок 15 — смотреть в оригинале (PDF)

Приложение C. Результаты для ряда других акций

Помимо Apple Inc. (средний тик), мы также калибруем и симулируем 12-мерный процесс Хоукса для акций Intel (крупный тик), Tesla (малый тик) и Amazon (очень малый тик). На рисунке 16 показаны результаты калибровки для этих трёх акций. Наконец, на рисунке 17 приведено сравнение стилизованных фактов между моделью и эмпирическими данными.

Для Intel мы видим, что модель на процессе Хоукса плохо улавливает высокочастотную область событий стакана (рисунок 17a), а спред выше наблюдаемого (рисунок 17b). У Tesla и Amazon относительно лучше подгонка времён между приходами событий стакана (рисунки 17d и 17g соответственно), однако распределение спреда недооценено в модели Tesla и сильно недооценено в модели Amazon. Наконец, сигнатурные графики (рисунки 17c, 17f, 17i) показывают, что волатильность Intel слегка переоценена, но масштаб схож (как и у Apple на рисунке 7), тогда как у Tesla и Amazon волатильность в модели сильно недооценена. В связи с этим распределения относительных доходностей (рисунки 17j, 17k, 17l) показывают, что модель Intel (как и Apple) способна воспроизвести тяжелохвостую природу эмпирических доходностей, а модели Tesla и Amazon — нет. Отсюда следует, что будущая работа должна быть нацелена на решение этих проблем для бумаг с широким спредом (малым тиком).

Рисунок 16 — смотреть в оригинале (PDF)

Рисунок 17 — смотреть в оригинале (PDF)

Приложение D. Отказ от ответственности

Мнения и оценки представляют собой суждение авторов на дату настоящего материала, приводятся исключительно в информационных целях и могут изменяться без уведомления. Настоящий материал не является продуктом исследовательского департамента J.P. Morgan и потому не подготавливался в соответствии с правовыми требованиями, направленными на обеспечение независимости инвестиционных исследований, включая в том числе запрет на совершение сделок до распространения инвестиционного исследования. Настоящий материал не предназначен в качестве исследования, рекомендации, совета, оферты или предложения купить либо продать какой-либо финансовый продукт или услугу, а также для использования каким-либо образом при оценке целесообразности участия в какой-либо сделке. Он не является исследовательским отчётом и не предполагается таковым. Результаты прошлого не свидетельствуют о будущих результатах. Пожалуйста, консультируйтесь с собственными советниками по юридическим, налоговым, бухгалтерским и любым иным аспектам, включая вопросы применимости к вашим конкретным обстоятельствам. J.P. Morgan снимает с себя какую бы то ни было ответственность за качество, точность или полноту содержащейся здесь информации и за любое доверие к настоящему материалу или его использование любым способом.

Заявление о раскрытии и финансирование

О потенциальном конфликте интересов авторами не заявлено. Работа выполнена при поддержке JP Morgan Chase & Co.

Литература

• F. Abergel, A. Jedidi, Long-time behavior of a Hawkes process-based limit order book, SIAM Journal on Financial Mathematics 6(1) (2015) 1026–1043.
• F. Abergel, M. Anane, A. Chakraborti, A. Jedidi, I. Muni Toke, Limit Order Books, Cambridge University Press, 2016.
• M. Achab, E. Bacry, S. Gaïffas, I. Mastromatteo, J.-F. Muzy, Uncovering causality from multivariate Hawkes integrated cumulants, Journal of Machine Learning Research 18(192) (2018) 1–28.
• E. Bacry, I. Mastromatteo, J.-F. Muzy, Hawkes processes in finance, Market Microstructure and Liquidity 01(01) (2015) 1550005.
• E. Bacry, T. Jaisson, J.-F. Muzy, Estimation of slowly decreasing Hawkes kernels: application to high-frequency order book dynamics, Quantitative Finance 16(8) (2016) 1179–1201.
• E. Bacry, M. Bompaire, S. Gaïffas, S. Poulsen, Tick: a Python library for statistical learning, with a particular emphasis on time-dependent modelling, arXiv:1707.03003 (2017).
• J.-P. Bouchaud, J. Bonart, J. Donier, M. Gould, Trades, quotes and prices: financial markets under the microscope, Cambridge University Press, 2018.
• D. Challet, R. Stinchcombe, Analyzing and modeling 1+1d markets, Physica A 300(1) (2001) 285–299.
• R. Cont, Statistical modeling of high-frequency financial data, IEEE Signal Processing Magazine 28(5) (2011) 16–25.
• R. Cont, M. Cucuringu, J. Kochems, F. Prenzel, Limit order book simulation with generative adversarial networks, SSRN 4512356 (2023).
• J. Da Fonseca, R. Zaatour, Hawkes process: fast calibration, application to trade clustering, and diffusive limit, Journal of Futures Markets 34(6) (2014) 548–579.
• P. Gopikrishnan, V. Plerou, X. Gabaix, H. E. Stanley, Statistical properties of share volume traded in financial markets, Phys. Rev. E 62 (2000) R4493–R4496.
• M. D. Gould, M. A. Porter, S. Williams, M. McDonald, D. J. Fenn, S. D. Howison, Limit order books, Quantitative Finance 13(11) (2013) 1709–1742.
• A. G. Hawkes, Hawkes processes and their applications to finance: a review, Quantitative Finance 18(2) (2018) 193–198.
• U. Horst, W. Xu, A scaling limit for limit order books driven by Hawkes processes, SIAM Journal on Financial Mathematics 10(2) (2019) 350–393.
• H. Hultin, H. Hult, A. Proutiere, S. Samama, A. Tarighati, A generative model of a limit order book using recurrent neural networks, Quantitative Finance 23(6) (2023) 931–958.
• K. Jain, N. Firoozye, J. Kochems, P. Treleaven, Limit order book simulations: a review, arXiv:2402.17359 (2024).
• I. Kaj, M. Caglar, A buffer Hawkes process for limit order books, arXiv:1710.03506 (2017).
• M. Kirchner, A. Bercher, A nonparametric estimation procedure for the Hawkes process: comparison with maximum likelihood estimation, Journal of Statistical Computation and Simulation 88(6) (2018) 1106–1116.
• M. Kirchner, An estimation procedure for the Hawkes process, Quantitative Finance 17(4) (2017) 571–595.
• M. Kirchner, S. Vetter, Hawkes model specification for limit order books, The European Journal of Finance 28(7) (2022) 642–662.
• P. Kumar, Deep Hawkes process for high-frequency market making, arXiv:2109.15110 (2021).
• K. Lee, B. K. Seo, Modeling bid and ask price dynamics with an extended Hawkes process and its empirical applications for high-frequency stock market data, Journal of Financial Econometrics (2022) nbab029.
• X. Lu, F. Abergel, Order-book modeling and market making strategies, Market Microstructure and Liquidity 4(01n02) (2018a) 1950003.
• X. Lu, F. Abergel, High-dimensional Hawkes processes for limit order books: modelling, empirical analysis and numerical calibration, Quantitative Finance 18(2) (2018b) 249–264.
• M. Morariu-Patrichi, M. S. Pakkanen, State-dependent Hawkes processes and their application to limit order book modelling, Quantitative Finance 22(3) (2022) 563–583.
• O. Mounjid, M. Rosenbaum, P. Saliba, From asymptotic properties of general point processes to the ranking of financial agents, arXiv:1906.05420 (2019).
• L. Mucciante, A. Sancetta, Estimation of an order book dependent Hawkes process for large datasets, arXiv:2307.09077 (2023).
• K. Nyström, C. Zhang, Hawkes-based models for high frequency financial data, Journal of the Operational Research Society 73(10) (2022) 2168–2185.
• F. Prenzel, R. Cont, M. Cucuringu, J. Kochems, Dynamic calibration of order flow models with generative adversarial networks, in: Proceedings of the Third ACM International Conference on AI in Finance (2022) 446–453.
• M. Rambaldi, E. Bacry, F. Lillo, The role of volume in order book dynamics: a multivariate Hawkes process analysis, Quantitative Finance 17(7) (2017) 999–1020.
• Z. Shi, J. Cartlidge, State dependent parallel neural Hawkes process for limit order book event stream prediction and simulation, in: Proceedings of the 28th ACM SIGKDD Conference on Knowledge Discovery and Data Mining (2022) 1607–1615.
• I. Muni Toke, «Market making» behaviour in an order book model and its impact on the bid-ask spread, arXiv:1003.3796 (2010).
• I. Muni Toke, N. Yoshida, Modelling intensities of order flows in a limit order book, Quantitative Finance 17(5) (2017) 683–701.
• I. Muni Toke, N. Yoshida, Analyzing order flows in limit order books with ratios of Cox-type intensities, Quantitative Finance 20(1) (2020) 81–98.
• P. Wu, M. Rambaldi, J.-F. Muzy, E. Bacry, Queue-reactive Hawkes models for the order flow, arXiv:1901.08938 (2019).
• B. Zheng, F. Roueff, F. Abergel, Ergodicity and scaling limit of a constrained multivariate Hawkes process, HAL hal-00777941 (2014).

Оригинал статьи: Jain, K., Firoozye, N., Kochems, J., Treleaven, P., «Limit Order Book Dynamics and Order Size Modelling Using Compound Hawkes Process», arXiv:2312.08927 · лицензия CC BY 4.0