Концентрированный суперэллиптический маркетмейкер

4.5/10

Ключевые слова: автоматический маркетмейкер, Блэк — Шоулз, маркетмейкер постоянного произведения, концентрированная ликвидность, тяжёлые хвосты, кривая Ламе, преобразование Лежандра, логарифмическое правило рыночного скоринга, отпечаток ликвидности, отрицательная цена, отрицательная ликвидность.

Аннотация

Представлен автоматический маркетмейкер, в котором цена может пересекать нулевую границу и уходить в область отрицательных цен, — с приложениями на рынках электроэнергии, энергоносителей и деривативов. Уникальная особенность состоит в возможности обменивать друг на друга активы с отрицательной и положительной ценой, что в отличие от традиционных рынков не требует нумерария в виде валюты. Показаны расширения модели для скоса и концентрации ликвидности. Отпечаток ликвидности, выплата и инвариант сравниваются с покрытым коллом Блэка — Шоулза и с инвариантом логарифмического правила рыночного скоринга.

1. Введение

Отрицательные цены — необычное явление на традиционных финансовых рынках. По мере токенизации реальных активов и их выхода на блокчейн вероятность столкнуться с отрицательной ценой приближается к ста процентам. В настоящее время у нас нет возможности предоставлять ликвидность или торговать активом с отрицательной ценой на автоматическом маркетмейкере в блокчейне. Эта работа:

1. очерчивает феномен отрицательных цен в финансовой литературе;
2. рассматривает ограничения существующих AMM и способы допустить отрицательные цены;
3. сравнивает выплаты и предлагает уникальные применения AMM с отрицательной ценой.

2. Обсуждение

Феномен отрицательных цен наблюдался эмпирически, особенно на товарных рынках. Примеры: нефть в 2020 году, лук в 1955-м, электроэнергия в США в 2024-м, торговые ошибки «толстого пальца» в Финляндии в 2023 году, толкнувшие цены в минус, а также синтетические финансовые продукты из деривативов на высоколиквидные казначейские облигации США.

В мире традиционных финансов манипулирование ценой зашло так далеко, что побудило Конгресс запретить товары, цена которых уходила в минус: в 1958 году был принят Onion Futures Act, фактически запретивший торговлю луком по сей день — из-за банкротств, вызванных манипуляциями с ценой лука. В отличие от традиционных финансов, разрешительно-свободная природа децентрализованных реестров допускает обмен любого токена, запрещённого или нет, однако возможность отрицательной цены при нынешних инвариантах AMM недостижима.

2.1. Инвариант AMM

Uniswap v2 ввёл непрерывное равномерное распределение ликвидности, позволяющее торговать токеном в ценовом диапазоне от нуля до бесконечности. Однако цены не бесконечны и не ограничены нулевым барьером. Чтобы решить часть этой проблемы, был представлен Uniswap v3, допускающий концентрацию ликвидности исходя из предпочтительного взгляда поставщика ликвидности на диапазон движения цены между нулём и бесконечностью.

Ограниченная природа дискретного равномерного распределения ликвидности позиции Uniswap v3 создаёт проблему капитальной неэффективности в хвостах, где поставщик ликвидности может оказаться вне диапазона и не зарабатывать комиссий. Чтобы справиться с выходом из диапазона, можно использовать несколько позиций Uniswap v3, настроенных вдоль кривых, либо строить инварианты AMM, соответствующие конкретному поведению цены, — например, геометрическому броуновскому движению в модели Блэка — Шоулза с репликационными маркетмейкерами (RMM). Мы расширяем этот подход эмпирическим наблюдением, что реальные финансовые активы по мере миграции на блокчейн могут демонстрировать тяжёлые хвосты, а также заходить в область отрицательных цен.

Отметим, что инвариант маркетмейкера постоянного произведения (CPMM) в Uniswap всё же имеет область отрицательной ликвидности (см. приложение A), но доступ к ней ограничен природой гиперболического уравнения $xy = k$. Ниже мы корректируем уравнение инварианта Uniswap v3, позволяя кривой сворачиваться на себя ради доступа к отрицательным ценам и ликвидности в отрицательной области:

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = k^2 \tag{1}$$

где $a$ и $b$ — смещения, равные $k$, закрепляющие ликвидность. Отпечаток ликвидности этого концентрированного кругового маркетмейкера (CCMM) выводится в приложении B и может быть расширен вдоль кривой Ламе для создания концентрированного суперэллиптического маркетмейкера (CSEMM), позволяющего дополнительно расширять, сужать и скашивать распределение ликвидности. Инвариант принимает вид:

$$\left(\frac{x}{\alpha} - 1\right)^{u(\alpha)} + \left(\frac{y}{\beta} - 1\right)^{u(\beta)} = 1 \tag{2}$$

где $u(x) = \dfrac{\ln 2}{\ln\left(\frac{x}{x-1}\right)}$.

Параметры $\alpha$ и $\beta$ позволяют расширять ликвидность в левом и правом хвостах. Полагая $\alpha = \beta$ и уменьшая их значения к 2, можно приблизиться к концентрации ликвидности вида $x + y = k$; расширяя $\alpha$ и $\beta$ к бесконечности, мы увеличиваем хвосты распределения, пока оно не сойдётся к инварианту логарифмического правила рыночного скоринга (LMSR). При $\alpha = \beta = \frac{1}{\sqrt{\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{2}}}$ мы получаем обратно CCMM из уравнения (1).

Функции обмена приведены в приложении C. Уникальная особенность позволяет торговать двумя активами, цена каждого из которых может стать отрицательной, друг против друга. Выглядя странно, это вполне нормально: обменять баррель нефти стоимостью минус четыре доллара на два объёма природного газа стоимостью минус два доллара каждый. В настоящий момент это неосуществимо на централизованных биржах, которые в разгар COVID-19 с трудом учитывали отрицательные цены на нефть, вынужденно переходя от геометрического броуновского движения к арифметическому через модель Башелье. Более того, для AMM, где и $x$, и $y$ могут стать отрицательными, стоимость позиции поставщика ликвидности также замыкается на себя и — в случае заимствования такой позиции при отрицательной безрисковой ставке — может демонстрировать двойную выпуклость.

2.2. Применения

Основное применение — товары, несущие издержки хранения или создающие безвозвратные потери, если не потреблены вовремя: электроэнергия, природный газ, нефть, сельскохозяйственные товары. Например, избыточное солнце днём или избыточный ветер ночью могут толкнуть цены на электроэнергию в отрицательную область, и такую энергию могут покупать майнеры и дата-центры, расположенные вблизи соответствующих бирж и управляющие своими входными издержками.

Кроме того, назначение не обязательно связано с уходом в минус самой базовой цены. Оно может относиться к смещённому представлению цены. Например, актив может стоить 100 долларов, а токен его смещённой цены — 0 долларов; тогда отрицательная смещённая цена в −1 доллар означала бы снижение цены базового актива до 99 долларов, создавая разнообразные нелинейные выплаты.

Другое применение отрицательных цен — токен, представляющий репутацию человека или объединения (DAO, корпорации, некоммерческой организации, лоббистской группы). Отрицательная цена сигнализировала бы об отрицательной репутации.

Представим сценарий, где репутационный токен уходит за нулевую границу после крупной продажи — возможно, инсайдер просто хотел быстро заработать, а анонимная команда стремилась ввести в заблуждение. При наличии нулевой границы инсайдер смог бы извлечь стоимость за счёт информационной асимметрии по отношению к неосведомлённым покупателям, поскольку цена может лишь приближаться к нулю. Если создатель пары ликвидности репутационного токена не допускает захода в отрицательную область, это выглядело бы крайне подозрительно в мире, где репутация может быть отрицательной. Такой подход помог бы справиться со многими анонимными обманами, где в Uniswap создаются пары с нулевой границей: любой участник обмена немедленно спросил бы, почему такой токен решил включить нулевую границу. Если компания, человек, анонимная команда или DAO действительно привержены своей цели, их не должно беспокоить, что цена их токена может уйти в минус. Уязвимость перед возможностью отрицательной цены выступает своего рода «шкурой на кону» для анонимного создателя токена.

Рисунок 1 — смотреть в оригинале (PDF)

Рисунок 2 — смотреть в оригинале (PDF)

Рисунок 3 — смотреть в оригинале (PDF)

Рисунок 4 — смотреть в оригинале (PDF)

Приложение A. Отрицательная ликвидность

Возьмём инвариант Uniswap с ликвидностью $L$:

$$x \cdot y = L^2 \tag{3}$$

Введём цену $p$ как $p = y/x$, откуда $y = px$:

$$x \cdot p \cdot x = L^2 \tag{4}$$

Решая относительно $x$:

$$x = \sqrt{\frac{L^2}{p}} \tag{5}$$

Отметим, что перед ликвидностью возникает знак:

$$x = \pm\frac{L}{\sqrt{p}} \tag{6}$$

Приложение B. Вывод отпечатка ликвидности

Взяв вторую производную по квадратному корню из цены, можно вывести отпечаток ликвидности в ценовом пространстве. Начнём с полного инварианта:

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = k^2 \tag{7}$$

Перепишем его как функцию нумерария:

$$y_n = \pm\sqrt{k^2 - x^2 + 2ax - a^2} + b \tag{8}$$

Берём производную и меняем знак:

$$y_x = -\frac{dy}{dx} = \pm\frac{-x + a}{\sqrt{k^2 - x^2 + 2ax - a^2}} \tag{9}$$

Обращаем, чтобы решить относительно цены $x$ — в силу симметричности инварианта:

$$y_y = \pm\frac{\sqrt{k^2 - x^2 + 2ax - a^2}}{-x + a} \tag{10}$$

Перегруппируем уравнение относительно $x$:

$$x = \frac{a y_y^2 + a \pm k\sqrt{y_y^2 + 1}}{y_y^2 + 1} \tag{11}$$

Перепишем как функцию цены $\sqrt{p}$, возводя $x^2$, и обозначим через $l(x)$:

$$l(x) = \frac{a x^4 + a \pm k\sqrt{x^4 + 1}}{x^4 + 1} \tag{12}$$

Взяв производную, получаем распределение ликвидности в ценовом пространстве. Распределение имеет хвост с индексом Парето $\alpha = 3$:

$$L(x) = \frac{dl(x)}{dx} = \pm\frac{2kx^3}{\left(1 + x^4\right)^{3/2}} \tag{13}$$

Переводя в пространство тиков $t$, где $t = e^{x/2}$, получаем отпечаток ликвидности с более тяжёлыми хвостами, чем гауссово распределение покрытого колла:

$$L(t) = \pm\frac{2k e^{3t/2}}{\left(1 + e^{2t}\right)^{3/2}} \tag{14}$$

Функция стоимости выплаты поставщика ликвидности задаётся преобразованием Лежандра; греки — дельта $\Delta_c$, гамма $\Gamma_c$ и тета $\Theta_c$ — доступны в интерактивной модели. Ожидаемая тета выводится из связи вогнутости с доходностью, впервые очерченной Луи Башелье в 1900 году:

$$\Theta_c(x) = \mathbb{E}\left\langle -\frac{\sigma_{iv}^2}{2}\Gamma_c(x)\right\rangle \tag{15}$$

Здесь подразумеваемую волатильность $\sigma_{iv}$ можно найти, посмотрев на подразумеваемую волатильность при текущем страйке «при деньгах» либо из связи между волатильностью и ликвидностью на текущем тике в Uniswap v3.

Приложение C. Функции обмена

Решая уравнение (1) относительно $y$ для CCMM, получаем:

$$y = -\sqrt{k^2 - x^2 + 2ax - a^2} + b \tag{16}$$

Добавляя $\Delta x$ и $\Delta y$ в функцию обмена, получаем количество $y$ за количество $x$:

$$\Delta y = -\sqrt{k^2 - (x - \Delta x)^2 + 2a(x - \Delta x) - a^2} + b - y \tag{17}$$

В силу симметричности круга функция обмена для $\Delta x$ такая же. Как вариант, можно использовать косинус и синус для вращения вдоль CCMM и решить относительно функции обмена.

Для CSEMM функция обмена становится:

$$y = -\beta\left[\left(1 - \left(\frac{x}{\alpha} - 1\right)^{\frac{\ln 2}{\ln\left(\frac{\alpha}{\alpha-1}\right)}}\right)^{\frac{\ln\left(\frac{\beta}{\beta-1}\right)}{\ln 2}} - 1\right] \tag{18}$$

Добавляя $\Delta x$ и $\Delta y$:

$$\Delta y = -\beta\left[\left(1 - \left(\frac{x + \Delta x}{\alpha} - 1\right)^{u(\alpha)}\right)^{\frac{1}{u(\beta)}} - 1\right] - y \tag{19}$$

Для $\Delta x$ в силу асимметричности суперэллипса порядок $u(x)$ в функции обмена меняется на обратный:

$$\Delta x = -\beta\left[\left(1 - \left(\frac{y + \Delta y}{\alpha} - 1\right)^{u(\beta)}\right)^{\frac{1}{u(\alpha)}} - 1\right] - x \tag{20}$$

Приложение D. Асимметричная отрицательная ликвидность

Инвариант, симметричный в области положительных цен и асимметричный в области отрицательных, можно построить с помощью параболы:

$$y = \left(1 - \sqrt{x}\right)^{\beta} \tag{21}$$

где параметр $\beta > 2$ и чётен. Вывод ликвидности принимает вид:

$$y_x = -\frac{dy}{dx} = \frac{1 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \tag{22}$$

Обращаем, чтобы решить относительно цены $x$ — в силу симметричности инварианта в области положительных цен:

$$y_y = \frac{\sqrt{x}}{1 - \sqrt{x}} \tag{23}$$

Перегруппировав относительно $x$:

$$x = \frac{\sqrt{y_y}}{1 - \sqrt{y_y}} \tag{24}$$

Решая относительно $y_p$:

$$y_p = \frac{x^2}{x^2 + 2x + 1} \tag{25}$$

Хотя инвариант симметричен в области положительных цен, в области отрицательных он таковым не является. Если выразить его как функцию цены, возведя приведённую выше функцию в квадрат, асимметрия была бы утрачена.

Сначала решим его как функцию положительной цены $\sqrt{p}$, возводя $x^2$, и обозначим через $l_+(x)$:

$$l_+(x) = \frac{x^4}{x^4 + 2x^2 + 1} \tag{26}$$

Взяв производную, получаем распределение ликвидности $L_+$ в положительной области:

$$L_+(x) = \frac{dl(x)}{dx} = \frac{4x^3}{\left(1 + x^2\right)^3},\quad \{x > 0\} \tag{27}$$

Переводя в пространство тиков $t$, где $t = e^{x/2}$:

$$L_+(t) = \frac{4e^{3t/2}}{\left(1 + e^{t}\right)^3},\quad \{t > 0\} \tag{28}$$

Чтобы решить задачу как функцию отрицательной цены, повернём $y_p$ из (25):

$$y_{-p} = \frac{x^2}{x^2 - 2x + 1} \tag{29}$$

Возводя отрицательную цену $\sqrt{-p}$ через $x^2$, перепишем как $l_-(x)$:

$$l_-(x) = \frac{x^4}{x^4 - 2x^2 + 1} \tag{30}$$

Взяв производную, получаем распределение ликвидности $L_-$ в отрицательной области:

$$L_-(x) = \frac{dl(x)}{dx} = -\frac{-4x^3}{\left(1 - x^2\right)^3},\quad \{x < 0\} \tag{31}$$

В пространстве тиков:

$$L_-(t) = -\frac{-4e^{3t/2}}{\left(e^{t} - 1\right)^3},\quad \{t < 0\} \tag{32}$$

Соединение положительного и отрицательного распределений ликвидности вдоль единичной окружности показано на рисунке 5D.

Рисунок 5 — смотреть в оригинале (PDF)

Отказ от ответственности

Эта работа предназначена исключительно для общих информационных целей. Она не является инвестиционным советом, рекомендацией или предложением купить либо продать какую-либо инвестицию и не должна использоваться при оценке целесообразности принятия инвестиционного решения. На неё не следует полагаться в вопросах бухгалтерского учёта, права, налогообложения или инвестиционных рекомендаций. Работа отражает текущие взгляды автора и составлена не от имени каких-либо связанных с ним лиц. Изложенные мнения могут измениться без последующего обновления.

Литература

• [1] M. Pace, How the COVID-19 pandemic plunged global oil prices (2020).
• [2] E. Lambert, The Futures: The Rise of the Speculator and the Origins of the World's Biggest Markets, Basic Books, 2010.
• [3] U.S. Energy Information Administration, Historical wholesale market data (2024).
• [4] Bloomberg, Trader error causes huge plunge in Finnish power prices (2023).
• [5] F. A. Longstaff, Are negative option prices possible? The callable U.S. treasury-bond puzzle, том 65, № 4 (1992) 571–592.
• [6] 7 U.S.C. § 13-1 (Onion Futures Act, 1958).
• [7] Uniswap v2 core.
• [8] Uniswap v3 core.
• [9] Replicating market makers (RMM).
• [13] Кривая Ламе (суперэллипс).
• [14] Модель Башелье и переход к арифметическому броуновскому движению.
• [20] L. Bachelier, Théorie de la spéculation, 1900.

Оригинал статьи: Tolstikov, V., «Concentrated Superelliptical Market Maker», arXiv:2410.13265 · лицензия CC BY 4.0