Предоставление ликвидности типа utility indifference на децентрализованных биржах

5/10

Masaaki Fukasawa · The University of Osaka, Japan

Basile Maire · Quantena, Switzerland

Marcus Wunsch · ZHAW School of Management and Law, Switzerland

4 февраля 2025 · arXiv v1

Оригинал: Fukasawa, M., Maire, B., and Wunsch, M. «Liquidity provision of utility indifference type in decentralized exchanges» — arxiv.org/abs/2502.01931 (PDF, 18 стр.).

Ключевые слова: децентрализованные финансы, automated market makers, арбитраж, impermanent loss, divergence loss

Классификация JEL: D47, D53, C02 · Классификация arXiv: q-fin.TR

Аннотация

Мы представляем математическую формулировку предоставления ликвидности на децентрализованных биржах. Фокус — на constant function market makers (CFMM) типа utility indifference, в частный случай которых входят constant product market makers с концентрированной ликвидностью. Во-первых, мы изучаем условия отсутствия арбитража для пула ликвидности и вычисляем оптимальную арбитражную стратегию при наличии внешнего ликвидного рынка. Во-вторых, показываем, что предоставление ликвидности страдает от impermanent loss, если не взимается транзакционная комиссия, в общей постановке с концентрированной ликвидностью. В-третьих, устанавливаем корректность (well-definedness) безарбитражных процессов резервов пула в непрерывном времени и показываем, что loss-versus-rebalancing (LVR) отсутствует при ненулевой комиссии, если внешняя рыночная цена непрерывна. Затем мы показываем, что предоставление ликвидности несколькими LP можно понимать как предоставление одним репрезентативным LP — анализ сводится к случаю одного поставщика. Наконец, отвечаем на фундаментальный вопрос: в каком смысле конструкция CFMM с концентрированной ликвидностью на популярной платформе Uniswap v3 является оптимальной.

1. Введение

1.1. Децентрализованная биржа

Децентрализованные биржи (DEX) — значительный шаг в цифровых финансах: peer-to-peer торговля на блокчейне без централизованных посредников. В отличие от CEX, контролирующих средства пользователей и проводящих сделки через посредника, DEX работают на децентрализованной сети узлов, обеспечивая прозрачность, безопасность и автономию.

В основе DEX — смарт-контракты: условия соглашения записаны в коде, транзакции автоматизированы и trustless, снижается риск взломов и манипуляций. Пользователи сохраняют полный контроль над активами, растёт приватность и снижается зависимость от единой точки отказа.

Один из ключевых механизмов DEX — Automated Market Maker (AMM). AMM опираются на пулы ликвидности (LP) и алгоритмы ценообразования вместо классического стакана заявок. Цена определяется детерминированным правилом по соотношению активов в пуле — классический пример: constant product \(xy = k\), где \(x\) и \(y\) — количества двух активов, \(k\) — константа.

Математический анализ AMM включает свойства алгоритмов ценообразования, влияние на ликвидность, проскальзывание и impermanent loss — снижение стоимости активов LP относительно простого удержания из-за расхождения цен активов в пуле.

1.2. Constant Function Market Maker

В DEX вроде Uniswap v3 LP состоит из пары цифровых активов, депонированных поставщиками ликвидности как резервы. AMM — смарт-контракт, исполняющий заявки liquidity takers. Общий класс — Constant Function Market Makers (CFMM): taker обменивает \(\xi\) единиц первой валюты на \(\eta\) единиц второй согласно

\[ \phi(x, y, \xi, \eta) = \phi(x, y, 0, 0), \tag{1} \]

где \(\phi\) — торговая функция, возрастающая по каждому аргументу; \(x \ge 0\), \(y \ge 0\) — резервы первой и второй валют. При \(\xi > 0\) (соответственно \(\xi < 0\)) taker платит \(\xi\) единиц первой (соответственно \(-\eta > 0\) второй) и получает \(-\eta > 0\) второй (соответственно \(-\xi > 0\) первой).

В архитектуре Uniswap v3 с комиссиями: пусть \(\tau \in (0,1)\) — коэффициент комиссии. При \(\xi > 0\) (resp. \(\xi < 0\)) в LP добавляется \((1-\tau)\xi\) первой (resp. \((1-\tau)\eta\) второй), а оставшиеся \(\tau\xi\) (resp. \(\tau\eta\)) идут на отдельный счёт сбора комиссий. (В Uniswap v2 комиссии накапливаются внутри того же пула.)

1.3. Вклад работы

Многие недавние работы по AMM предполагают, что внутренняя цена (бесконечно малый exchange ratio LP) совпадает с ценой на внешнем ликвидном рынке даже при ненулевой комиссии [1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16, 17, 18, 21]. При нулевой комиссии это уместное no-arbitrage допущение; при ненулевой комиссии внутренняя цена имеет конечную полную вариацию и не совпадает с внешней, как показано в [10]; см. также [19, 13].

Мы расширяем предшествующие работы до строгого анализа AMM с концентрированной ликвидностью (Uniswap v3). Даём общий математический каркас и показываем, что impermanent loss можно суперхеджировать model-free стратегией ребалансировки на внешнем рынке при любой величине комиссии, если внешняя цена непрерывна.

Структура. Раздел 2 — математическая формулировка AMM типа utility indifference, включающая Constant Product Market Makers with Concentrated Liquidity (Remark 1). Раздел 3 — предварительный анализ: условия no-arbitrage и оптимальная арбитражная стратегия при обоих типах нарушений. Раздел 4 — нулевая комиссия: Theorem 1 — представление стоимости LP как преобразования Лежандра [1, 9] с концентрированной ликвидностью, откуда concavity и impermanent loss (Remark 2); Theorem 2 — LVR [16, 9, 5] для непрерывного semimartingale внешней цены. Раздел 5 — расширение [10] на архитектуру Uniswap v3 с комиссиями вне LP: Theorem 3 — корректность безарбитражных процессов резервов; при ненулевой комиссии и непрерывной внешней цене LVR отсутствует. Раздел 6 — несколько LP с индивидуальными диапазонами ликвидности сводятся к одному репрезентативному LP.

2. Торговая функция типа utility indifference

Математическая модель AMM. Торговая функция вида

\[ \phi(x, y, \xi, \eta) = u^*(x + (1 - \tau H(\xi))\xi,\; y + (1 - \tau H(\eta))\eta), \tag{2} \]

где \(u^*(x,y) = u(x^* + x, y^* + y)\), \(u : (0,\infty)\times(0,\infty) \to \mathbb{R}\) — строго вогнутая трижды непрерывно дифференцируемая функция, возрастающая по обоим аргументам, с

\[ \lim_{x\downarrow 0} u(x,y) = \lim_{x\uparrow\infty} u(x,y), \qquad \lim_{y\downarrow 0} u(x,y) = \lim_{y\uparrow\infty} u(x,y), \]

\(x^* \in [0,\infty)\), \(y^* \in [0,\infty)\), \(\tau \in [0,1)\) — константы; \(H\) — функция Хевисайда (\(H(z)=1\) при \(z\ge 0\), \(=0\) при \(z<0\)). Параметры \((x^*, y^*)\) и \(\tau\) задают диапазон ликвидности и размер комиссии.

Простейший пример: \(u(x,y)=xy\) — Constant Product Market Maker. Функция Кобба–Дугласа \(u(x,y)=x^\alpha y^{1-\alpha}\), \(\alpha\in(0,1)\) — Geometric Mean Market Makers. При \(\tau=0\) правило (1) с \(\phi(x,y,\xi,\eta)=u^*(x+\xi,y+\eta)\) интерпретируется как принцип utility indifference в маркетмейкинге с полезностью \(u^*\).

Если (1) выполнено для \(\phi\) вида (2), то

\[ u^*(x,y) = \begin{cases} u^*(x + (1-\tau)\xi, y + \eta) & \xi > 0,\\[4pt] u^*(x + \xi, y + (1-\tau)\eta) & \xi < 0, \end{cases} \tag{3} \]

LP обновляет резервы \((x,y)\) до

\[ (x + (1-\tau H(\xi))\xi,\; y + (1-\tau H(\eta))\eta) = \begin{cases} (x + (1-\tau)\xi, y + \eta) & \xi > 0,\\[4pt] (x + \xi, y + (1-\tau)\eta) & \xi < 0, \end{cases} \]

сохраняя значение \(u^*\). AMM принимает только заявки с

\[ x + (1-\tau H(\xi))\xi \ge 0, \qquad y + (1-\tau H(\eta))\eta \ge 0. \tag{4} \]

Константа \(\tau\) задаёт размер комиссий. Отдельный счёт сбора комиссий: кумулятивные комиссии \((x^f, y^f)\) обновляются до \((x^f + \tau H(\xi)\xi,\; y^f + \tau H(\eta)\eta)\). Богатство LP: \(x + x^f\) единиц первой и \(y + y^f\) второй валют.

По теореме о неявной функции, для любого \((x_0,y_0)\in(0,\infty)^2\) существует дважды дифференцируемое убывающее биекция \(f:(0,\infty)\to(0,\infty)\) такое, что \(u(x,f(x))=u(x_0,y_0)\). По строгой вогнутости \(u\), \(f\) строго выпукло. Пусть \((x,y)\) — текущие резервы, \(f\) — неявная функция относительно \((x_0,y_0)=(x^*+x,y^*+y)\). Тогда (3) и (4) записываются через \(f\):

\[ \eta = \eta(\xi) := \begin{cases} f(x_0 + (1-\tau)\xi) - f(x_0) & \xi > 0,\\[6pt] \dfrac{f(x_0 + \xi) - f(x_0)}{1-\tau} & \xi < 0, \end{cases} \]

и

\[ \begin{cases} f(x_0 + (1-\tau)\xi) \ge y^* & \xi > 0,\\[4pt] x_0 + \xi \ge x^* & \xi < 0. \end{cases} \]

Пример 1. Если \(u(x,y)=xy\), то \(u^*(x,y)=(x+x^*)(y+y^*)\) и \(f(x)=L/x\), где \(L=u(x_0,y_0)=x_0 y_0\). Другие примеры — [3].

Пусть \((X_t,Y_t)\) — резервы LP в момент \(t\ge 0\). \(X_0\ge 0\), \(Y_0\ge 0\), \((x_0,y_0):=(x^*+X_0,y^*+Y_0)\in(0,\infty)^2\). Алгоритм AMM сохраняет \(u^*(X_t,Y_t)\) постоянным, откуда \(Y_t=f_*(X_t)\), где \(f_*(x)=f(x^*+x)-y^*\), \(f\) — неявная функция \(u\) относительно \((x_0,y_0)\).

Определим

\[ \Xi = (-x^*, \infty) \cap [0, x^\dagger], \qquad x^\dagger = f_*^{-1}(0+) := \lim_{y\downarrow 0} f_*^{-1}(y), \]

и для \(x\in\Xi\):

\[ s(x) = -f_*'(x), \quad a(x) = -\lim_{\xi\uparrow 0}\frac{\eta(\xi)}{\xi} = \frac{1}{1-\tau}s(x), \quad b(x) = -\lim_{\xi\downarrow 0}\frac{\eta(\xi)}{\xi} = (1-\tau)s(x). \tag{5} \]

Тогда \(A_t:=a(X_t)\) и \(B_t:=b(X_t)\) — бесконечно малые exchange ratios (ask и bid первой валюты). \(s:\Xi\to s(\Xi)\) — убывающая биекция по строгой выпуклости \(f\).

Remark 1. При \((x^*,y^*)=(0,0)\) имеем \(\Xi=(0,\infty)\); \(f(0+)=\infty\), \(f(\infty-)=0\), \(f'(0+)=-\infty\), \(f'(\infty-)=0\), \(s(\Xi)=(0,\infty)\). При \(x^*>0\): \(0\in\Xi\); при \(y^*>0\): \(x^\dagger=f^{-1}(y^*)\in\Xi\). Положительные \(x^*\) и \(y^*\) реализуют концентрированную ликвидность на интервале \(s(\Xi)=[s(x^\dagger),s(0)]=: [S_L,S_U]\). Для \(u(x,y)=xy\): \(f_*(x)=L^2/(x+x^*)-y^*\), \(L^2=(X_0+x^*)(Y_0+y^*)\),

\[ x^\dagger = f_*^{-1}(0) = L^2/y^* - x^*, \quad S_L = s(x^\dagger) = \frac{(y^*)^2}{L^2}, \quad S_U = s(0) = \frac{L^2}{(x^*)^2}, \] \[ u^*(x,y) = u(x+x^*, y+y^*) = \left(x + \frac{L}{\sqrt{S_U}}\right)\left(y + L\sqrt{S_L}\right). \]

Предполагаем внешние ликвидные биржи для пары валют; \(S^*=\{S^*_t\}\) — процесс внешней цены (exchange ratio). \(S^*_t\) — уникальная цена единицы первой валюты во второй на внешних рынках. LP свободен от арбитража в момент \(t\), если

\[ A_t \ge S^*_t \quad \text{при } X_t > 0, \tag{6} \] \[ B_t \le S^*_t \quad \text{при } Y_t > 0. \tag{7} \]

При нарушении (6) или (7) есть арбитраж (раздел 3). Богатство LP в второй валюте:

\[ V_t := Y_t + Y^f_t + (X_t + X^f_t) S^*_t, \tag{8} \]

где \((X^f_t,Y^f_t)\) — кумулятивные комиссии; \((X^f_0,Y^f_0)=(0,0)\).

3. Оптимальный арбитраж

Если LP не свободен от арбитража в смысле (6)–(7), арбитраж существует; после оптимальной арбитражной сделки LP становится безарбитражным.

Нарушение (6). Пусть \(X_t>0\) и \(A_t < S^*_t\). По выпуклости \(f_*\):

\[ \frac{f_*(X_t+\xi)-f_*(X_t)}{\xi} \uparrow f_*'(X_t) = -(1-\tau)A_t \quad \text{при } \xi\uparrow 0, \]

откуда для достаточно малых \(-\xi>0\):

\[ -\frac{f_*(X_t+\xi)-f_*(X_t)}{1-\tau} - \xi S^*_t = -\frac{f_*(X_t+\xi)-f_*(X_t)}{\xi}\cdot\frac{\xi}{1-\tau} + (1-\tau)S^*_t \cdot \frac{\xi}{1-\tau} > 0. \]

Левая часть — P&L покупки \(-\xi\) первого актива в LP и продажи на внешнем рынке. Swap \((\xi,\eta)\) с таким \(\xi\) даёт арбитражную прибыль.

Оптимальный \(\xi\) из первого порядка:

\[ 0 = \frac{d}{d\xi}\left(-\frac{f_*(X_t+\xi)-f_*(X_t)}{1-\tau} - \xi S^*_t\right) = \frac{1}{1-\tau}s(X_t+\xi) - S^*_t. \]

Если \((1-\tau)S^*_t \in s(\Xi)\), ожидаем заявку \((\xi^*,\eta^*)\), после которой ask обновляется с \(A_t = s(X_t)/(1-\tau)\) до \(s(X_t+\xi^*)/(1-\tau) = S^*_t\).

При \(x^*>0\) возможно \(S^*_t > s(0)/(1-\tau)=a(0)\) (т.к. \(0\in\Xi\)). Тогда \(\xi^*:=-X_t<0\) — оптимальный арбитраж; резервы \((X_t,Y_t)\to(0,f_*(0))\). Ask \(a(0)\) всё ещё ниже \(S^*_t\), но swap с \(\xi<0\) запрещён — резерв первой валюты нулевой.

Нарушение (7). Пусть \(Y_t>0\) и \(B_t > S^*_t\). Аналогично, для малых \(\xi>0\):

\[ -(f_*(X_t+(1-\tau)\xi)-f_*(X_t)) - \xi S^*_t > 0. \]

P&L покупки \(\xi\) на внешнем рынке и продажи в LP. Первый порядок:

\[ 0 = \frac{d}{d\xi}\left(-(f_*(X_t+(1-\tau)\xi)-f_*(X_t)) - \xi S^*_t\right) = (1-\tau)s(X_t+\xi) - S^*_t. \]

Если \(S^*_t/(1-\tau)\in s(\Xi)\), bid обновляется с \(B_t=(1-\tau)s(X_t)\) до \((1-\tau)s(X_t+\xi^*)=S^*_t\).

При \(y^*>0\) возможно \(S^*_t < (1-\tau)s(x^\dagger)=b(x^\dagger)\). Тогда \(\xi^*:=x^\dagger-X_t>0\); резервы \((x^\dagger,0)\). Bid \(b(x^\dagger)\) выше \(S^*_t\), но swap с \(\eta<0\) запрещён.

4. Impermanent loss при нулевой комиссии

В этом разделе \(\tau=0\); \(X^f=Y^f=0\). \(V=Y+XS^*\) по (8). Пусть \(l=\inf s(\Xi)\), \(r=\sup s(\Xi)\),

\[ S_t = (S^*_t \vee l) \wedge r = l + (S^*_t - l)^+ - (S^*_t - r)^+. \tag{9} \]

При \(r=\infty\) член \((S^*_t-r)^+\) трактуется как 0. \(l=s(x^\dagger-)\), \(r=s(0+)\); если \(S^*_t\in s(\Xi)\), то \(S^*_t=S_t\).

Lemma 1. Если LP свободен от арбитража в момент \(t\), то \(S_t=s(X_t)\).

Theorem 1. Если \(S^*_t\in s(\Xi)\) и LP безарбитражен в \(t\), то \(V_t=v(S^*_t)\) и \(X_t=v'(S^*_t)\), где

\[ v(p) = \inf_{x\in\Xi}\{xp + f_*(x)\}. \tag{10} \]

Remark 2. \(v\) вогнута (infimum линейных функций), откуда при \(S^*_t,S^*_0\in s(\Xi)\):

\[ v(S^*_t) \le v(S^*_0) + v'(S^*_0)(S^*_t - S^*_0). \]

Т.к. \(v'(S^*_0)=X_0\), получаем impermanent loss:

\[ Y_0 + X_0 S^*_t - V_t \ge Y_0 + X_0 S^*_t - V_0 - X_0(S^*_t - S^*_0) = 0, \]

т.е. богатство LP всегда ниже buy-and-hold \(Y_0+X_0 S^*_t\).

Theorem 2. Если LP безарбитражен при всех \(t\ge 0\) и \(S^*\) — положительный непрерывный semimartingale, то \(X=\{X_t\}\) и \(V=\{V_t\}\) — непрерывные semimartingale с

\[ dV - X\,dS^* = -\tfrac{1}{2} f_*''(X)\,d\langle X\rangle \le 0. \]

Remark 3. Относительно model-free стратегии \(\hat{V}_T = V_0 + \int_0^T X_t\,dS^*_t\) с тем же начальным капиталом LP страдает от Loss-Versus-Rebalancing (LVR [16]):

\[ \hat{V}_T - V_T = \tfrac{1}{2}\int_0^T f_*''(X_t)\,d\langle X\rangle_t > 0 \]

по выпуклости \(f\) и невырожденности квадратичной вариации \(X=v'(S^*)\) при \(\tau=0\). Расширение [16, 9, 5] на концентрированную ликвидность; ключ — формула Tanaka вместо Itô в доказательстве Theorem 2.

5. Динамика при ненулевых комиссиях

Теперь \(\tau>0\). Резервы \(X=\{X_t\}\), \(Y=\{Y_t\}\) — RCLL-процессы; \(X_-=\{X_{t-}\}\), \(Y_-=\{Y_{t-}\}\) — левые модификации; \(\Delta X = X - X_-\), \(\Delta Y = Y - Y_-\). Аналогично для \((X^f,Y^f)\).

Расширяя Lemma 1: \(S=s(X)\). Ask и bid:

\[ A = \frac{1}{1-\tau}S, \qquad B = (1-\tau)S. \]

Отношение (9) для \(\tau=0\) не переносится на \(\tau>0\).

Два типа трейдеров: liquidity takers и арбитражёры. \(X^o\) и \(X^a\) — кумулятивные потоки первой валюты от takers и арбитражёров; \(X=X_0+X^o+X^a\), \(X^o_0=X^a_0=0\), \(B_0\le S^*_0\le A_0\). \(Y_t=f_*(X_t)\) по алгоритму AMM.

Theorem 3. Для любого кусочно-постоянного RCLL-процесса \(X^o\) с \(X^o_0=0\) и положительного RCLL \(S^*\) существует RCLL-процесс конечной вариации \(X^a\) с \(X^a_0=0\) такой, что LP безарбитражен при всех \(t\ge 0\).

Комиссия от swap \((\xi,\eta)\):

\[ (\tau H(\xi)\xi,\; \tau H(\eta)\eta) = \frac{\tau}{1-\tau}\bigl((\Delta x)^+,\; (\Delta y)^+\bigr) \]

для \((\Delta x,\Delta y)=((1-\tau H(\xi))\xi,\; (1-\tau H(\eta))\eta)\).

При \(\tau>0\) резервы \(X,Y\) — процессы конечной вариации:

\[ X = X^\uparrow - X^\downarrow, \qquad Y = Y^\uparrow - Y^\downarrow, \tag{11} \]

\(X^\uparrow,X^\downarrow,Y^\uparrow,Y^\downarrow\) — неубывающие. По субаддитивности \(x\mapsto(x)^+\):

\[ dX^f \ge \frac{\tau}{1-\tau}\,dX^\uparrow, \qquad dY^f \ge \frac{\tau}{1-\tau}\,dY^\uparrow. \tag{12} \]

Равенство, если нет более двух одновременных заявок в один момент.

Theorem 4. Если LP безарбитражен при всех \(t\ge 0\) и \(S^*\) положителен и непрерывен, то

\[ \int_0^{\cdot} (X_t + X^f_t)\,dS^*_t \]

неубывает при (11)–(12), где

\[ \int_0^{\cdot} (X_t + X^f_t)\,dS^*_t = (X + X^f)S^* - X_0 S^*_0 - \int_0^{\cdot} S^*_t\,dX_t - \int_0^{\cdot} S^*_t\,dX^f_t \tag{13} \]

(интегралы Стилтьеса).

Remark 4. Интеграл (13) — предел естественных сумм Рiemann; P&L model-free стратегии \(X+X^f\) на внешнем рынке. Суперхедж impermanent loss:

\[ Y_0 + X_0 S^*_T - V_T \le Y_0 + X_0 S^*_T - V_0 - \int_0^T (X_t + X^f_t)\,dS^*_t = \int_0^T (X_0 - X_t - X^f_t)\,dS^*_t \]

по Theorem 4. Расширение определения LVR:

\[ \text{LVR} = Y_0 + X_0 S^*_T - V_T - \int_0^T (X_0 - X_t - X^f_t)\,dS^*_t. \]

При \(\tau>0\) LVR \(\le 0\) независимо от величины комиссии — полное расширение [10] с Uniswap v2 на Uniswap v3.

Remark 5. При скачках \(S^*\) формула интегрирования по частям даёт

\[ dV - (X_- + X^f_-)\,dS^*_- = dY + dY^f + S^*_-\,dX + S^*_-\,dX^f + d[S^*, X + X^f], \] \[ [S^*, X + X^f]_t = \sum_{u\le t} \Delta S^*_u(\Delta X_u + \Delta X^f_u). \]

Если \(\Delta S^*_u>0\) вызывает арбитраж, то \(\Delta X_u<0\), \(\Delta X^f=0\); если \(\Delta S^*_u<0\) — \(\Delta X_u>0\), \(\Delta X^f>0\). Ковариация отрицательна → положительный LVR (прибыль арбитражёров).

Remark 6. Непрерывная модель — аппроксимация дискретной реальности. Чем быстрее производство блоков, тем точнее непрерывная модель. Согласуется с [11]: арбитражные потери LP уменьшаются при ускорении блоков. Ускорение производства блоков стимулирует предоставление ликвидности через снижение LVR.

6. Несколько поставщиков ликвидности

6.1. Inf-convolution

LP с \(N\) поставщиками ликвидности. Каждый \(i=1,\ldots,N\) использует полезность \(u^{(i)}\) и константы \(\tau^{(i)}\ge 0\), \(x^*_i\ge 0\), \(y^*_i\ge 0\) — subpool. Начальные резервы \((X^{(i)}_0,Y^{(i)}_0)\) выбраны так, что subpools безарбитражны в \(t=0\):

\[ -(1-\tau^{(i)}) f^{(i)\prime}_*(X^{(i)}_0) \le \frac{1}{1-\tau^{(j)}} f^{(j)\prime}_*(X^{(j)}_0) \]

для любых \(i,j\) с \(Y^{(i)}_0>0\) и \(X^{(j)}_0>0\), где \(f^{(i)\prime}_*(x)=f^{(i)}(x+x^*_i)\), \(f^{(i)}\) — неявная функция \(u^{(i)}\):

\[ u^{(i)}(x, f^{(i)}(x)) = u^{(i)}(X^{(i)}_0 + x^*_i, Y^{(i)}_0 + y^*_i), \quad x>0. \]

Область \(f^{(i)\prime}_*\):

\[ \Xi^{(i)} := (-x^*_i, \infty) \cap [0, x^{\dagger(i)}], \qquad x^{\dagger(i)} = f^{(i)\prime-1}_*(0+). \]

Для \(x\in\Xi^{(i)}\):

\[ \eta^{(i)}(\xi; x) = \frac{f^{(i)\prime}_*(x + (1-\tau^{(i)} H(\xi))\xi) - f^{(i)\prime}_*(x)}{1 - \tau^{(i)} H(-\xi)} \]

(иначе \(\infty\)) — отрицательное количество второй валюты при обмене \(\xi\) первой в \(i\)-м subpool с резервом \(x\). Оптимальное распределение \(\xi\) по subpools:

\[ \eta(\xi; x^{(1)},\ldots,x^{(N)}) = \min\left\{\sum_{i=1}^N \eta^{(i)}(\xi^{(i)}, x^{(i)});\; \sum_{i=1}^N \xi^{(i)} = \xi\right\}. \tag{14} \]

Inf-convolution выпуклых функций; см. оптимальное распределение риска [2].

LP из \(N\) subpools принимает swap \((\xi,\eta)\) в \(t>0\) тогда и только тогда, когда

\[ \eta = \eta(\xi; X^{(1)}_{t-},\ldots,X^{(N)}_{t-}). \]

Если \((\xi^{*(1)},\ldots,\xi^{*(N)})\) — минимизатор (14), \(i\)-й subpool обновляет резервы и счёт комиссий соответственно. Анализ из предыдущих разделов применим к каждому subpool: для динамики богатства LP не важно, создаёт ли он собственный пул или присоединяется к существующему с алгоритмом inf-convolution.

6.2. Единая внутренняя цена

Uniswap v3 предлагает fee tiers (1%, 0.3%, 0.05%, 0.01%) с разными диапазонами концентрированной ликвидности. LP состоит из нескольких LP с разными \(u^*\), но общим \(\tau>0\). Фиксируем \(t>0\). Свойства резервов \((X^{(i)}_{t-}, Y^{(i)}_{t-})\):

  1. Единая внутренняя цена \(-f^{(j)\prime}(X^{(j)}_{t-})\) общая для всех \(j\in J_t\), где \(J_t = \{j\in\{1,\ldots,N\};\; X^{(j)}_{t-}\in \mathrm{int}(\Xi^{(j)})\}\). Обозначим \(S_{t-}\) эту цену.
  2. \(-f^{(i)\prime}(X^{(i)}_{t-}) \le S_{t-}\) для \(i\) с \(X^{(i)}_{t-}=0\).
  3. \(-f^{(i)\prime}(X^{(i)}_{t-}) \ge S_{t-}\) для \(i\) с \(Y^{(i)}_{t-}=0\).

Uniswap v3 достигает этого, требуя, чтобы добавление ликвидности не нарушало общую внутреннюю цену. Усиленные варианты 2′ и 3′ (строгие неравенства на границах). Минимизация (14) множителем Лагранжа при малом \(|\xi|>0\):

\[ \xi^{*(j)} = \xi, \quad -\frac{1-\tau H(\xi)}{1-\tau H(-\xi)} f^{(j)\prime}(X^{(j)}_{t-} + (1-\tau H(\xi))\xi^{*(j)}) = \lambda \]

для всех \(j\in J_t\) и некоторого \(\lambda>0\). Обновлённая внутренняя цена снова общая для \(j\in J_t\).

6.3. Constant Product Market

Пример: Constant Product Market Maker with Concentrated Liquidity, \(u^{(i)}(x,y)=xy\), \(\tau^{(i)}=\tau\in[0,1)\) для всех \(i\). Покажем, что subpool-модель (14) описывает архитектуру Uniswap v3.

\[ f^{(j)\prime}_*(x) = \frac{k_j^2}{x + x^*_j} - y^*_j, \qquad k_j = \sqrt{(X^{(j)}_0 + x^*_j)(Y^{(j)}_0 + y^*_j)}, \] \[ \eta^{(j)}(\xi; X^{(j)}_{t-}) = \frac{1}{1-\tau H(-\xi)}\left(\frac{k_j^2}{X^{(j)}_{t-} + x^*_j + (1-\tau H(\xi))\xi} - Y^{(j)}_{t-} - y^*_j\right). \]

Внутренние цены \(-f^{(j)\prime}_*(X^{(j)}_{t-}) = (Y^{(j)}_{t-}+y^*_j)/(X^{(j)}_{t-}+x^*_j)\) удовлетворяют свойствам 1, 2′, 3′. Минимизация (14) при малом \(|\xi|\):

\[ \frac{1-\tau H(\xi)}{1-\tau H(-\xi)}\frac{k_j}{\sqrt{(1-\tau H(\xi))\xi + X^{(j)}_{t-} + x^*_j}} = \lambda, \quad \sum_{j\in J_t} \xi^{*(j)} = \xi. \]

Обозначим агрегаты:

\[ X_t = \sum_{j\in J_t} X^{(j)}_t, \quad Y_t = \sum_{j\in J_t} Y^{(j)}_t, \quad x^* = \sum_{j\in J_t} x^*_j, \quad y^* = \sum_{j\in J_t} y^*_j, \quad k = \sum_{j\in J_t} k_j. \]

Тогда ликвидность эквивалентна одному CPM с концентрированной ликвидностью и резервами \((X_t,Y_t)\):

\[ (X_t + x^*)(Y_t + y^*) = k^2, \] \[ \eta(\xi, X^{(1)}_{t-},\ldots,X^{(N)}_{t-}) = \frac{1}{1-\tau H(-\xi)}\left(\frac{k^2}{(1-\tau H(\xi))\xi + X_{t-} + x^*} - Y_{t-} - y^*\right). \]

Резервы subpools:

\[ \frac{k_j}{X^{(j)}_t + x^*_j} = \frac{k}{X_t + x^*}, \quad j\in J_t, \] \[ dX^{(j)}_t = \frac{k_j}{k}\,dX_t, \qquad dY^{(j)}_t = \frac{k_j}{k}\,dY_t. \]

Комиссионный доход \(j\)-го subpool — доля \(k_j/k\) от общего. Обновлённая внутренняя цена

\[ \frac{k_j^2}{(X^{(j)}_t + x^*_j)^2} = \frac{Y^{(j)}_t + y^*_j}{X^{(j)}_t + x^*_j} = \frac{k^2}{(X_t + x^*)^2} = \frac{Y_t + y^*_j}{X_t + x^*} \]

общая для всех \(j\in J_t\) — согласуется с описанием Uniswap v3 в [5].

Remark 7. CFMM с концентрированной ликвидностью и общим fee tier (Uniswap v3) оптимальны в том смысле, что пропорциональное распределение комиссий по глубине ликвидности каждого LP следует естественно из оптимального распределения (14) объёма \(\xi\) по subpools.

7. Заключение

Мы дали математическую формулировку AMM на DEX, включающую Uniswap v3. Предшествующие исследования impermanent loss и LVR расширены на строгий каркас с концентрированной ликвидностью и сбором комиссий. Impermanent loss суперхеджируется model-free ребалансировкой на внешнем рынке при непрерывной внешней цене. Архитектура Uniswap v3 для нескольких LP описывается как пул, оптимально распределяющий swap по subpools — каждый subpool создан отдельным LP. Динамика богатства LP не зависит от того, создаёт ли он новый пул или присоединяется к существующему.

Statements and Declarations: авторы не имеют конфликта интересов.

Приложение A. Доказательства

A.1. Доказательство Lemma 1

\(X_t=0\) возможно только при \(x^*>0\) (т.к. \(f(0+)=\infty\)); тогда \(0\in\Xi\), \(r=s(0)\). При \(X_t=0\): \(Y_t=f_*(X_t)>0\), \(r=s(0)=s(X_t)=B_t\le S^*_t\) по (7), откуда \(S_t=r=s(X_t)\). Аналогично \(Y_t=0\) при \(y^*>0\): \(l=s(x^\dagger)=s(X_t)=A_t\ge S^*_t\), \(S_t=l=s(X_t)\). При \(X_t>0\), \(Y_t>0\): (6) и (7) дают \(s(X_t)=S^*_t\in s(\Xi)\), \(S_t=S^*_t=s(X_t)\). □

A.2. Доказательство Theorem 1

\(f_*\) строго выпукла, убывает, непрерывно дифференцируема на \(\Xi\) (продлевается на \(O:=(-x^*,\infty)\)). При \(p\in s(\Xi)\): \(x^*=(f_*')^{-1}(-p)=s^{-1}(p)\in\Xi\), \(v(p)=x^* p + f_*(x^*)\), \(v'(p)=x^*\). По Lemma 1 при безарбитражном LP и \(S^*_t\in s(\Xi)\): \(X_t=s^{-1}(S^*_t)=f_*^{-1}(-S^*_t)\), откуда \(V_t=X_t S^*_t+f_*(X_t)=v(S^*_t)\) и \(v'(S^*_t)=X_t\). □

A.3. Доказательство Theorem 2

По формуле Tanaka (Revuz–Yor [20], гл. VI): \(S=\{S_t\}\) — непрерывный semimartingale,

\[ dS = \mathbf{1}_{(l,r)}(S^*)\,dS^* + \mathbf{1}_{\{l\}}(S^*)\,d\Lambda_l - \mathbf{1}_{\{r\}}(S^*)\,d\Lambda_r, \]

откуда \(S\,dS = S^*\,dS\), \(d\langle S^*,S\rangle = d\langle S\rangle\), \(S\,d\langle S\rangle = S^*\,d\langle S\rangle\). По Lemma 1: \(X=s^{-1}(S)\) — \(\Xi\)-valued непрерывный semimartingale. \(S^*\,dX = S\,dX\), \(d\langle S^*,X\rangle = d\langle S,X\rangle\). С \(S=s(X)=-f_*'(X)\), \(Y=f_*(X)\), по Itô:

\[ dV = X\,dS^* + S\,dX + d\langle S,X\rangle + dY = X\,dS^* - f_*'(X)\,dX - f_*''(X)\,d\langle X\rangle + dY = X\,dS^* - \tfrac{1}{2}f_*''(X)\,d\langle X\rangle. \quad \square \]

A.4. Доказательство Theorem 3

Сначала \(x^*=y^*=0\), \(\Xi=(0,\infty)\). Пусть \(\psi = \log S^* - \log S_0 - \log(1-\tau)\), \(a = -2\log(1-\tau)\); \(0\le\psi_0\le a\) по \(B_0\le S^*_0\le A_0\). \((\phi,\eta)\) — решение задачи Skorokhod на \([0,a]\) для \(\psi\) [12]; \(\eta\) конечной вариации, \(0\le\phi=\psi+\eta\le a\). \(X=s^{-1}(S_0 e^{-\eta})\), \(\log S - \log S_0 = -\eta\). Тогда

\[ \phi = \log\frac{S^*}{(1-\tau)S}; \]

\(0\le\phi\le a \Leftrightarrow B\le S^*\le A\). Берём \(X^a = X - X_0 - X^o\).

Общий случай: \(X^o\) кусочно-постоянен; интервал разбивается на части с \(\Delta X^o=0\). При \(\Delta X^o_t\ne 0\) тривиально выбираем \(\Delta X^a_t\) для безарбитражности. Без потери общности \(X^o=0\). Пусть \(X\) как выше, \(\sigma=\inf\{t\ge 0;\; X_t<0 \text{ или } Y_t<0\}\). \(X^a:=X-X_0\) работает до \(\sigma\). При \(X_\sigma<0\): \(X_t=0\) на \([\sigma,\sigma')\), \(\sigma'=\inf\{t\ge\sigma;\; S^*_ta(x^\dagger)\}\). \(\sigma'>0\); LP безарбитражен до \(\sigma'\). Повторяем конкатенацию. □

A.5. Доказательство Theorem 4

\(Y=f_*(X)\), \(S=-f_*'(X)\), \(f\) выпукла:

\[ dY^\uparrow \ge S_-\,dX^\downarrow, \qquad dY^\downarrow \le S_-\,dX^\uparrow. \]

При непрерывном \(S^*\):

\[ dV - (X_- + X^f_-)\,dS^* = dY + dY^f + S^*\,dX + S^*\,dX^f \ge \left(1 + \frac{\tau}{1-\tau}\right)dY^\uparrow + \left(S^* + \frac{\tau S^*}{1-\tau} - S_-\right)dX^\uparrow = \frac{1}{S_-}(A_- - S^*)\,dY^\uparrow + \frac{1}{1-\tau}(S^* - B_-)\,dX^\uparrow \ge 0 \]

по безарбитражности LP. □

Литература

Оригинал статьи: Fukasawa, Maire and Wunsch, «Liquidity provision of utility indifference type in decentralized exchanges», arXiv:2502.01931