Dynamic Function Market Maker (DFMM)

6/10

Arman Abgaryan, Utkarsh Sharma · Supra DeFi Research

Февраль 2023 · arXiv v1 (25 июля 2023)

Оригинал: Abgaryan, A. and Sharma, U. «Dynamic Function Market Maker (DFMM)» — arxiv.org/abs/2307.13624 (PDF, 41 стр.).

Оригинал на arXiv по лицензии arXiv nonexclusive-distrib 1.0; перевод для личной коллекции. Рис. 1–13 воспроизведены из оригинальной публикации.

Ключевые слова: Dynamic Function Market Maker, automated market maker, децентрализованные финансы, управление инвентарным риском, агрегация данных, order routing, трансфер риска, нелинейные финансовые инструменты, агрегация децентрализованных бирж.

Классификация arXiv: q-fin.GN

Аннотация

Децентрализованные automated market makers (AMM) привлекли значительное внимание в последние годы. В этой работе мы предлагаем адаптивный и полностью автоматизированный Dynamic Function Market Maker (DFMM), устраняющий существующие проблемы в этой области. Новый протокол DFMM включает убедительный механизм управления инвентарным риском, состоящий из агрегатора данных и протокола маршрутизации заявок. Протокол работает на методе агрегации данных, обеспечивающем максимальную синхронизацию со всей ценочувствительной рыночной информацией, что способствует принципу единой цены и поддержанию максимальной эффективности рынков. Агрегатор данных включает виртуальный стакан заявок, гарантируя эффicientное ценообразование активов на локальных рынках за счёт синхронизации динамики цена–объём DFMM с информацией с внешних площадок, включая конкурентов. Эта способность агрегации данных — фундамальная черта протокола и даёт критическую информацию для нового метода ребалансировки и маршрутизации заявок. Метод ребалансировки и маршрутизации в DFMM оптимизирует незакрытый инвентарный риск через арбитражёров так, что арбитражёры с большей вероятностью действуют в пользу управления инвентарём DFMM, чем в протоколе без перечисленных преимуществ; это дополняется встроенным механизмом price assurance. Для управления риском DFMM использует защитные буферы на основе нелинейных производных финансовых инструментов, повышающих устойчивость протокола и смягчающих потенциальные потери от волатильности рынка. Протокол также применяет алгоритмический учётный актив — единый актив, связывающий все пулы и устраняющий проблему сегрегированных пулов и ограниченного трансфера риска. Процесс расчёта полностью управляется протоколом, максимизируя эффективность процессов управления риском и устраняя субъективные оценки рыночного риска. Предложенный протокол DFMM — полностью автоматизированное, децентрализованное и устойчивое решение для automated market making, нацеленное на долгосрочную жизнеспособность и стабильность в классе активов, требующем робастности.

1. Введение

Blockchain-based automated market maker (AMM) революционизирует торговлю, обеспечивая обмен ценностью между участниками рынка через смарт-контракты без централизованного matching agent. Эти системы быстро набрали популярность и поддерживают значительные объёмы финансовых активов. Их привлекательность — в отсутствии зависимости от активных маркетмейкеров (используются liquidity providers, LP) и в inherent робастности по сравнению с уязвимыми «централизованными» биржами.

Несмотря на успех, есть фундаментальные недостатки (см. [24, 4]), мешающие более широкому принятию: высокое проскальзывание, impermanent loss и неудовлетворительные протоколы снижения риска.

Для устранения этих ограничений мы вводим Dynamic Function Market Maker (DFMM) — blockchain-based AMM с динамическими функциями, преодолевающий недостатки популярных дизайнов AMM. Прежде всего DFMM агрегирует ценорелевантную информацию с внешних торговых площадок (централизованных и децентрализованных) через виртуальный стакан и децентрализованный oracle service. Это смягчает impermanent loss от изолированных рынков и снижает зависимость от арбитражёров для синхронизации цен AMM с конкурирующими площадками. Во-вторых, DFMM оптимизирует распределение ликвидности по ценовым уровням, минимизируя проскальзывание. В-третьих, DFMM обеспечивает максимальную стабильность, активно отслеживая emerging market risks rules-based механизмом, что информирует управление незакрытым инвентарным риском с участием secondary liquidity providers (sLP) — новых агентов, ответственных за ценообразование и торговлю инвентарным риском. Система оценивает срочность управления риском через аукционный механизм, определяющий rebalancing premia. Наконец, вводится алгоритмически управляемый accounting asset — общий контрагент для всех пулов, агрегирующий ликвидность через разрозненные asset-pair pools и концентрирующий ликвидность у текущей рыночной цены для оптимальной кривой цена–объём.

DFMM — робастное комплексное решение «one-stop-shop» для торговли цифровыми финансовыми активами с multi-exchange и cross-chain агрегацией ликвидности. Преимущества над price discovery на одной площадке очевидны: ограничение проскальзывания, смягчение impermanent loss и существенное снижение инвентарных рисков. Продвигая фундаментальный price discovery, DFMM способствует развитию индустрии цифровых активов, где устойчивость ценности не зависит только от притока нового капитала. DFMM также превосходит DEX-агрегаторы по трём аспектам: (i) финансовые стимулы для routers оптимизировать эффективность путей исполнения, а не только объём; (ii) устранение барьеров входа для провайдеров order routing (в т.ч. miners как routers); (iii) полная децентрализация exchange aggregation и order routing без централизованных операторов.

Структура работы. Раздел 2 — предварительные понятия, допущения и определения. Раздел 3 — обзор существующих работ. Раздел 4 — комплексный обзор протокола DFMM: external market curve, liquidity provision, local price formation, dynamic regulation и protocol P&L. В будущих ревизиях планируются результаты симуляций и stress tests.

2. Предварительные понятия и допущения

Допущение 1. Участники рынка во внутреннем и конкурирующем внешнем рынке рациональны в смысле максимизации полезности [20].

Пусть $A$ — множество альтернатив, $\succcurlyeq$ — отношение предпочтения. Предпочтения удовлетворяют полноте, транзитивности и непрерывности. Рациональный агент выбирает $x \in A$, максимизирующий функцию полезности $U(x)$:

\[ x \in A : U(x) \ge U(y)\ \forall y \in A. \tag{1} \]

Рациональность мотивирует участников максимизировать терминальное богатство $W_T$, $\forall T \in (0,\infty)$, при $W_0 > 0$. LP максимизируют богатство на более длинном горизонте, чем краткосрочные трейдеры.

Допущение 2. Будущие цены активов на внутреннем и внешнем рынках неограничены: $P(t) \in \mathbb{R}_+$, $\lim_{t\to\infty} P(t) = \infty$ (практически полный набор исходов неперечислим).

Допущение 3. Объём торгов актива $X$ на внешних площадках $V^{EX}$ существенно превышает объём на внутреннем рынке $V^{IX}$: $V^{IX} \lt V^{EX}$. Следовательно, локальная цена должна подстраиваться под динамику внешних рынков, а не наоборот.

Допущение 4. Система DFMM эволюционирует дискретно по шагам $t$, определяемым последовательными обновлениями состояния протокола; длительность шагов не обязана быть одинаковой.

Определение 1 (Aggregators). Aggregators — специализированные сущности, консолидирующие торговый объём цифровых активов, объединяя ликвидность с различных площадок (DEX и CEX), создавая единый marketplace с улучшенным исполнением, меньшим проскальзыванием и повышенной эффективностью.

Определение 2 (Epoch). Epoch $e$ — фиксированный временной интервал (например, block time), в который может входить несколько time steps.

Определение 3 (Automated Market Maker). AMM — финансовый протокол или смарт-контракт, работающий как децентрализованное финансовое учреждение с rules-based механизмом (часто детерминированная payoff function), контролирующим цены $(P_t^X, P_t^Y)$ и объёмы $(V_t^X, V_t^Y)$ активов $X$ и $Y$.

Определение 4 (Cross-chain AMM). cAMM работает на нескольких блокчейнах: $AMM : \{B_1,\ldots,B_n\} \to T$, где $B_i$ — сеть $i$, $T$ — торговая функциональность для активов $A_1,\ldots,A_m$ на соответствующих сетях.

Определение 5 (Inventory Risk Management). Управление инвентарным риском минимизирует потери от дисбаланса инвентаря $I$ участника; после управления риском позиция $P$ удовлетворяет ограничениям толерантности к риску:

\[ \min \text{Loss}(P). \tag{2} \]

Определение 6 (Impermanent Loss). IL — специфический рыночный риск AMM с арбитражным price discovery (например, CPMM). При изменении внешней цены арбитражёры выравнивают инвентарь AMM, получая прибыль за счёт LP. Для CPMM с активами $X$ и $Y$:

\[ IL = \sqrt{\frac{P_1^X}{P_0^X}} - \frac{1}{2}\left(\frac{P_1^X}{P_0^X} + 1\right), \tag{3} \]

где $P_0^X$ — начальная внешняя цена $X$ в терминах $Y$ при депозите LP, $P_1^X$ — последующая цена.

Определение 7 (Liquidity). Ликвидность — лёгкость покупки/продажи актива без существенного ценового воздействия. Измеряем кумулятивным объёмом, доступным на разных ценовых уровнях:

\[ L(P_L, P_U) = \int_{P_L}^{P_U} V(p)\,dp. \tag{4} \]

На price-volume chart (liquidity density function) ось $x$ — цена, ось $y$ — глубина; слева от mid — bid, справа — ask.

Определение 8 (Concentration Rate of Liquidity). CR измеряет близость распределения ликвидности к текущей рыночной цене:

\[ CR = \frac{\sum_{i=1}^{n} L_i}{\sum_{i=1}^{n} L_i \cdot |P_i - P_{\text{market}}|}. \tag{5} \]

Более высокий CR означает концентрацию ликвидности ближе к текущей цене.

Определение 9 (Slippage). Проскальзывание в момент $t$: $S_t = P_t^* - P_t$, где $P_t^*$ — ожидаемая цена (best bid/offer или иная). Slippage может быть положительным для P&L трейдера.

Определение 10 (Market Impact). Ценовое воздействие сделки: $\Delta P_t = P_t - P_{t-1} = \alpha V_t$, где $\alpha$ — чувствительность цены к размеру, $V_t$ — размер сделки.

Определение 11 (Liquidity Pool). Пул ликвидности — crowd-sourced pool цифровых активов в смарт-контракте. Пул актива $X$ обозначается $L_X$; paired pools $\{L_X, L_Y\}$ позволяют обмен между активами по правилу ценообразования.

Определение 12 (Liquidity Vector). Вектор ликвидности $L = (V_{P_L}, \ldots, V_{P_H})$ с числом элементов $(P_H - P_L)/\delta P$. Объём, доступный по лимитной цене $P = P_H$:

\[ V_{P_H} = \int_0^{P_H} L(P)\,dP. \tag{8} \]

В дальнейшем для удобства анализа фокус смещается с ценового измерения на объёмное.

Определение 13 (Market Makers). Маркетмейкеры выставляют цены покупки и продажи в рамках risk management framework, стремясь к минимальной нетто-позиции; bid-ask spread (в DeFi — AMM fees) может не компенсировать inventory risk и impermanent loss от market pricing rules (например, CFMM).

Определение 14 (Primary Liquidity Providers, pLP). pLP максимизируют терминальное богатство $W_T$ при $W_0 > 0$, депонируя активы в DFMM как стабильный источник ликвидности. pLP — пассивные risk-takers, медленнее других агентов ребалансируют инвентарь; $I_{t}^{LP,X}$ — инвентарь актива $X$, предоставленный pLP на шаге $t$.

Определение 15 (Arbitrageurs). Арбитражёры обеспечивают закон единой цены [13], эксплуатируя ценовую асинхронность между площадками. На blockchain-AMM их роль особенно важна из-за ограниченной интеграции с внешними системами. Арбитражёр максимизирует $W_{t+1}$, а не $W_T$ при $T \gg t$; вознаграждение — arbitrageable value в системе за вычетом gas и прочих издержек. Предполагается отсутствие market impact от действий арбитражёра; фокус — на rebalancing effect в пуле.

Определение 16 (Traders / Liquidity Takers). Трейдеры строят средне- и долгосрочные позиции, минимизируя slippage и market impact:

\[ \min \sum_{s \in S}\sum_{t \in T} \big(\text{Slippage}(t,s)\cdot V(t,s) + \text{MarketImpact}(t,s)\big) \]

при $V(t,s) \ge 0$ и $\text{MarketImpact}(t,s) = f(V(t,s))$.

3. Обзор литературы

Торговля продуктами имеет долгую историю на централизованных рынках; с финансиализацией возникла роль маркетмейкеров как principal risk takers, зарабатывающих на bid-ask spread при минимизации inventory risk. С развитием цифровых активов и скандалов (FTX, Todex, Bitfinex, Mt. Gox) стала очевидна уязвимость централизованных систем; trustless децентralization — альтернатива с прозрачностью, сниженным counterparty risk и контролем активов.

Вычислительные ограничения затруднили LOB на блокчейне и привели к AMM [29, 21, 22, 27] и DEX. Популярные конструкции: CPMM [2, 28], CMMM [19], Constant Ellipse Curve Market Maker [29]; ранние combinatorial information markets [14, 15]. Hybrid market makers [8, 22] комбинируют pricing functions; leverage-решения [30] часто маскируют, а не устраняют причины IL и arbitrage loss.

DFMM — AMM с price-volume curve, совмещающей dynamic curves [18] и order routing [6, 9]. Академических protocol-layer решений для децентрализованной incentivisation оптимального routing мало; связанные работы — DEX aggregators (1inch [1], Paraswap [23], OpenOcean [12]) и сети AMM [10]. Малоизученная область — optimal risk management для AMM, что мы подчёркиваем симуляциями.

4. Протокол

DFMM предоставляет эfficient market-making с адаптацией к рыночным условиям. Механизм $\Omega(\cdot)$ состоит из функций $L_I(\cdot)$, $L_E(\cdot)$ и $R(\cdot)$, использующих внутреннюю информацию $\omega^I$ и внешнюю $\omega^E$. Из $\omega^E$ выводится external liquidity density function $L_E(\cdot)$ (раздел 4.1). Функция $L_I(L_E(\omega^E), R(\omega^I))$ — internal liquidity density function. Rebalancing function $R(\cdot)$ распределяет ликвидность по ценовым уровням и маршрутизирует сделки на внешние рынки.

4.1. External Liquidity Density Function (ELDF)

По допущению «рынок всегда прав»: динамика внешних площадок должна отражаться локально. В линейной форме объём на внешней площадке: $V_t^X = L_t^E(V)$, $V_t^Y = L_t^E(V)$. Функцию $L_t^E(\cdot)$ (ELDF) аппроксимируем полиномом второго порядка с коэффициентами от decentralised oracles. Арбитражёры монетизируют разницу цен: $\mathbb{E}[R_{\text{arb}}] = |P^I - P^E|(1-\upsilon)$.

4.1.1. Построение ELDF

Decentralised data oracle собирает точки $(p_1,v_1),\ldots,(p_n,v_n)$ (объёмы в USD). Crossed markets не допускаются; bid и ask агрегируются. Точки используются для bid/ask ELDF: $L_{bid,t}^{EX}$ и $L_{ask,t}^{EX}$.

На рис. 2 дополнительная ликвидность на внешних рынках количественно задаётся площадью между internal и external кривыми (ask — первый квадрант, bid — третий). Из-за ограничений oracle-практики bid и ask могут объединяться в единую price-volume кривую. По $m$ точкам $(x_i,y_i)$ подбирается полином $n$-го порядка:

\[ y_i = f_n(x) = c_0 + c_1(x-x_0) + c_2(x-x_0)(x-x_1) + \cdots + c_n \prod_{j=0}^{m-1}(x-x_j), \tag{9–10} \]

или в компактной форме через коэффициенты $c_0,\ldots,c_n$. Ожидается полином 2-го порядка; альтернатива — Gaussian processes [25] с маргинализацией гиперпараметров [26]. Конкретная методология curve fitting — на усмотрение oracle providers.

4.1.2. Транзакционный учёт

Oracle переводит дискретный LOB в непрерывную кривую; далее ось переключается на volume-price space.

Определение 17 (Slot). Slot $s_\nu$ — частота обновления полиномиальной кривой внешнего рынка; slot $s$ в состоянии $\nu$ характеризуется $(t_s^0, t_s^T)$, причём $t_{s-1}^T = t_s^0$. Объём торгов в slot: $V_{s_\nu}^{Y+}$, $V_{s_\nu}^{Y-}$ (+ продажа, − покупка).

\[ V_{s_\nu}^{Y+} = \sum_{n=t_s^0}^{t_s^\nu} \Delta I_n^{Y+}, \quad V_{s_\nu}^{Y-} = \sum_{n=t_s^0}^{t_s^\nu} \Delta I_n^{Y-}. \tag{12–13} \]

При $\nu=1$ и применении ELDF как pricing rule обмен $X \to Y$ изменяет инвентарь:

\[ (I_1^Y, I_1^X) \to \left(I_1^Y + \Delta I_2^Y,\ I_1^X - \int_{V_1^{Y-}}^{V_{12}^{Y-}} (c_2 V^Y + c_1 V^Y + c_0)\,dV^Y\right). \tag{14} \]

Интеграл по ELDF (полином 2-го порядка) даёт количество $X$ за обмен $Y$; из уравнения для $M$ единиц $X$ находят корни $V_{12}^{Y-}$ (уравнения 15–17 в оригинале).

4.2. Liquidity Provision & Protection

Вводится derivatives-based схема и algorithmic accounting asset для трансфера инвентарного риска, агрегации ликвидности между пулами и single-sided liquidity для pLP.

Новый агент — secondary LP (sLP) — создаёт рынок для ценообразования избыточного риска pLP через native toolkit протокола.

Определение 18 (Liquidity Network). Сеть ликвидности AMM — ориентированный граф $G(V,E)$: вершины — paired inventory pools, рёбра — переводы ликвидности $(s,r,b)$; path capacity ограничена инвентарём пулов.

На рис. 3 paired pools не имеют общего counterpart asset (E и A), нужен optimal routing path. Synthetic counterpart asset (accounting coin) сокращает длину маршрута и позволяет pLP депонировать один актив без обязательной пары [2].

Определение 19 (Open Inventory). Open inventory актива $X$:

\[ \tilde{I}_t^X = I_t^X - I_{t}^{LP,X}. \tag{19} \]

Эволюция баланса — **Рис. 4.** Эволюция балансового листа во времени.

Неравенство solvency для двух активов:

\[ L_{bid,t}^{E,X}(I_t^X) + L_{bid,t}^{E,Y}(I_t^Y) \ge L_{bid,t}^{E,X}(I_{t}^{LP,X}) + L_{bid,t}^{E,Y}(I_{t}^{LP,Y}). \tag{18} \]

Algorithmic accounting asset $\$S$, привязанный к USD; synthetic pools $\{L_X, L_{SX}\}$, $\{L_Y, L_{SY}\}$.

Изменение состава баланса — **Рис. 6.** Изменение состава балансового листа.

При обмене $X/Y$: пользователь депонирует $X$ в $L_X$, synthetically получает $\$S$ из $L_{SX}$ (учётная операция); $\$S$ переводится в $L_{SY}$ и конвертируется в $Y$ по pricing rule $L_Y$.

\[ T_t^X = \sum_{i=0}^{t} V_i^{SX+} - \sum_{i=0}^{t} V_i^{SX-}. \tag{20} \]

$T_t^X$ — номинальная open inventory position пула $L_X$. При $\tilde{I}_t^X \ne 0$ возможно assets < liabilities; hedging program:

\[ \begin{cases} L_{bid,t}^{E,X}(|I_{t}^{LP,X} - I_t^X|) = T_t^X & \forall I_t^X \ge I_{t}^{LP,X} \\ L_{ask,t}^{E,X}(|I_{t}^{LP,X} - I_t^X|) = T_t^X & \forall I_t^X \lt I_{t}^{LP,X} \end{cases} \tag{21} \]

4.2.2. Secondary Liquidity Providers (sLP)

Определение 21 (sLP). sLP не депонируют активы в liquidity pools, а в margin vaults как collateral, предоставляя ограниченную защиту pLP через нелинейные деривативы и market making bid/ask в протоколе. Collateral: $C_{long,t}^X$, $C_{short,t}^X$.

Long и short sLP vaults — **Рис. 7.** Схема long и short sLP vaults.

Определение 22 (Collateralisation Rate). $\varrho_{long}^X$, $\varrho_{short}^X$ — доля unhedged open inventory в vault как collateral. Максимальная поддерживаемая open inventory: $C_{short,t}^X / \varrho_{short}^X$ и $C_{long,t}^X / \varrho_{long}^X$.

Определение 23–24 (Bundle / Complete Bundle). Bundle — tuple spot + derivative. Complete bundle: net delta spot и derivative = 0, протокол без directional exposure и может выполнить обязательства pLP (уравн. 18): $\Delta_{Bundle,t}^{sLP,X} = \Delta_{pLP,t}^X + \Delta_{sLP,t}^X = 0$.

4.2.3. Digital Swaption

Определение 25 (Digital Swaption). Non-recourse нелинейный инструмент: право (не обязанность) войти в total return swap с фиксированной датой начала, сроком и ставкой. sLP поглощает нежелательную экспозицию pLP до порога $r_u$; DFMM платит премию $\psi(X, r_u)$. «Digital» — settlement в блокчейне; non-recourse пов поведению put-spread (long) и call-spread (short).

Если после сделок в epoch инвентарь ниже уровня pLP ($I_t^X - I_{t}^{LP,X} > 0$), протокол — variable leg payer, sLP в short vault — variable leg; и наоборот при избытке инвентаря. Settlement amount:

\[ SA_t = |I_t^X - I_{t}^{LP,X}| \left(\frac{L_t^E(|I_t^X - I_{t}^{LP,X}|)}{L_{t-1}^E(|I_t^X - I_{t}^{LP,X}|)} - 1\right). \tag{24} \]

Остаточный риск: limited protection (put/call spread, не vanilla). Рычаги: более частый settlement; continuous margin $C_t^X > \epsilon$ с liquidation ниже пола.

4.3. Local Price Formation

Два связанных venue (локальный DFMM и агрегированные внешние цены) требуют синхронизации. External information augmentирует internal data для адаптации local liquidity density function и incentivisation rebalancing flows.

Определение 26 (Rebalancing Premium). Разница цены актива между локальным и внешним рынком — теоретическая верхняя граница arbitrageable value для ребалансировки инвентаря. При $I_{t}^{LP,X} = I_t^X$ arbitrageable value = 0 и $L_t^{EX}(V_t^X) = L_t^{LX}(V_t^X)$. При дефиците/избытке инвентаря система incentivizes арбитраж в нужном направлении.

Определение 27 (Rebalancing Premium Function). $R_t^X(V_t^X)$ определяет optimal arbitrageable value для возврата инвентаря к оптимуму без чрезмерного ущерба трейдерам и протоколу.

Трейдер обменивает $V_t^X$ на $V_t^Y$. Конвертация через ELDF:

\[ L_{bid,t}^E(V_t^X) = V_t^S. \tag{25} \]

Rebalancing premium $RP_t^X$ вычисляется как разность значений $R^X$ между текущим и предыдущим состоянием open inventory (четыре комбинации знаков $T_{t-1}^X$ и $T_t^X$):

\[ RP_t^X = \begin{cases} R_{RHS,t}^X(T_{t-1}^X) - R_{RHS,t}^X(T_t^X) & T_{t-1}^X \ge 0,\ T_t^X \ge 0 \\ R_{RHS,t}^X(T_{t-1}^X) - R_{LHS,t}^X(T_t^X) & T_{t-1}^X \ge 0,\ T_t^X \lt 0 \\ R_{LHS,t}^X(T_{t-1}^X) - R_{RHS,t}^X(T_t^X) & T_{t-1}^X \lt 0,\ T_t^X \gt 0 \\ R_{LHS,t}^X(T_{t-1}^X) - R_{LHS,t}^X(T_t^X) & T_{t-1}^X \lt 0,\ T_t^X \le 0 \end{cases} \tag{27} \]

Аналогично для актива $Y$ с $T_t^{X\prime} = T_{t-1}^X - V_t^S$, $T_t^{Y\prime} = T_{t-1}^Y + V_t^S$. Поскольку $R_t^X$ возрастает, сделка, увеличивающая $|T_t^X|$, даёт $RP_t^X \gt 0$ (premium уходит в reserve $RR_{RHS,t}^X + RP_t^X$ за счёт трейдера); сделка, уменьшающая $|T_t^X|$, даёт $RP_t^X \lt 0$ (premium выплачивается трейдеру из reserve).

Рис. 9. Схема формирования локальной рыночной цены.

Без rebalancing premium из $L_{SX}$ снимается $V_t^S$ USD; с premium суммы отличаются. $T_t^X$ отражает open inventory в номинале USD:

$T_t^X > 0$: incentivize покупку $\$S$ из $L_{SX}$ (эквивалентно продажe $X$ в $L_X$);
$T_t^X \lt 0$: incentivize продажу $\$S$ в $L_{SX}$ (покупку $X$);
$T_t^X = 0$: оптимальное состояние.

Аксиомы rebalancing premia function: (1) возрастающая выпуклая функция; (2) $\lim_{|I_t^X - I_{t}^{LP,X}| \to \infty} f(x) \to \infty$.

\[ R_{RHS,t}^X(T_t^X) = T_t^X(T_t^X + A_{RHS,t}^X) \times D_{RHS,t}^X \quad \forall T_t^X \ge 0 \] \[ R_{LHS,t}^X(T_t^X) = -T_t^X(-T_t^X + A_{LHS,t}^X) \times D_{LHS,t}^X \quad \forall T_t^X \lt 0 \tag{26} \]

$A_{RHS}$, $A_{LHS}$ — aggressiveness parameters (аукцион); $D$ — premium discount при derivative protection. Rebalancing premium $RP_t^X$ — разность значений $R^X$ между epoch (уравн. 27). Incorporation в номинал:

\[ V_t^{S\prime} = V_t^S + RP_t^X + \theta_t \times V_t^S, \tag{28} \]

Для двустороннего обмена $X$ и $Y$:

\[ V_t^{S\prime} = V_t^S + RP_t^X + RP_t^Y + \theta_t \times V_t^S, \tag{29} \]

где $\theta_t$ — AMM fee. Решение для $V_t^{S\prime}$ требует классификации интервалов $T_{t-1}^X$, $T_t^X$, $T_{t-1}^Y$, $T_t^Y$ по знаку и величине относительно reserve rebalancing premium. Ниже — Algorithm 1 в полной логике оригинала (ветвление по 4 основным случаям и подслучаям).

Algorithm 1. Rebalancing premium adjusted price.
Вход: T^X_{t−1}, T^Y_{t−1}, V^S_t, F_t (комиссия), функции R^X_{RHS}, R^X_{LHS}, R^Y_{RHS}, R^Y_{LHS}.

1: if T^X_{t−1} ≥ 0 and T^Y_{t−1} ≤ 0 then
2:    V^{S′} − R^X_{RHS}(T^X_{t−1}) + R^X_{RHS}(T^X_t) − R^Y_{LHS}(T^Y_{t−1}) + R^Y_{LHS}(T^Y_t) + F_t·V^S_t = V^S_t
3:    solve for V^{S′}
4: elif T^X_{t−1} ≥ 0 and T^Y_{t−1} > 0 then
5:    if T^Y_{t−1} − RR^Y_{RHS}(T^Y_{t−1}) + R^X_{RHS}(T^X_{t−1}+T^Y_{t−1}) + F_t·V^S_t > V^S_t then …
6:    elif … < V^S_t then …
7:    else V^{S′} = T^Y_{t−1}
8: elif T^X_{t−1} < 0 and T^Y_{t−1} ≤ 0 then … (симметричные ветви LHS/RHS)
9: else
10:   if |T^X_{t−1}| ≥ |T^Y_{t−1}| then … (6 подветвей по сравнению с V^S_t и reserve)
11:   else … (симметрично для доминирования T^Y)
50: return V^{S′}

После V^{S′}: конвертировать в V^Y_t; обновить T^X_t, T^Y_t.
Обратный обмен (Y→X): заменить X↔Y в Algorithm 1.

Методология и accounting asset устраняют необходимость прямого pairing liquidity pools друг с другом — маршрутизация идёт через synthetic $\$S$ pools.