Прогноз длительностей в высокочастотных данных: самовозбуждающийся процесс с гибкими остатками

4.5/10

Кёнсоп Ли · Department of Statistics, Yeungnam University, Gyeongsan, Republic of Korea · 1 апреля 2026

Оригинал: Lee, K. «Forecasting duration in high-frequency financial data using a self-exciting flexible residual point process», 2026 — arxiv.org/abs/2604.00346 (PDF).

Рисунки воспроизведены из оригинальной публикации. Оригинал распространяется по лицензии CC BY 4.0; перевод выполнен на её условиях. Рисунки приведены из оригинальной публикации.

Ключевые слова: прогноз длительностей; самовозбуждающийся процесс; гибкие остатки; интенсивность; цепь Маркова; высокочастотные данные.

Аннотация

Метод прогноза длительностей в лимитном стакане на самовозбуждающемся точечном процессе с гибкими остатками. Межсобытийные времена на современных биржах тяжелохвостые — это ломает простые прогнозы. Модель встраивает эмпирическое распределение интервалов, сохраняя самовозбуждение и затухание. Процесс читается как цепь Маркова на общем пространстве состояний: при подходящих условиях он неприводим, апериодичен, положительно Харрис-рекуррентен и имеет стационарное распределение. На ультравысокочастотных данных прогноз сильнее нескольких альтернатив.

1. Введение

Две цели. Первая — предсказать длительности в LOB самовозбуждающимся экспоненциально затухающим точечным процессом с гибким остатком. LOB — лента заявок, отмен и сделок. На NYSE и NASDAQ миллионы событий в наносекундах; интервалы между ними — durations, типов несколько.

Здесь — длительности смены mid-price: тайминг и интенсивность потока. Вариации частоты сделок (Easley et al., 2008) отражают информационный поток; авторегрессии и точечные процессы (Bauwens and Hautsch, 2009) ловят кластеризацию. Связь с волатильностью: duration-based оценки (Hong et al., 2023), улучшение прогноза волатильности (Fei et al., 2023; Slim et al., 2023), стохастическая duration-модель (Pelletier and Wei, 2024), duration-dependent Markov switching (Turatti et al., 2025).

Прогноз mid-change duration на высокой частоте труден: распределение не экспоненциальное, а тяжелохвостое — смесь крайне коротких и длинных пауз. Два шага: (i) зависимость интервалов как кластеризация (короткое после короткого, длинное после длинного); (ii) распределение инноваций. Получаются reduced-form модели по эмпирике.

Hautsch (2011) делит подходы на интенсивность, hazard, duration и счётчики. Цель одна: вероятность события в данный момент.

Типичная интенсивность — Хоукс (Hawkes, 1971a,b): событие поднимает интенсивность на фиксированную величину, затем она затухает. Структура immigration–descendant, финансы (Embrechts et al., 2011; Bacry et al., 2015; Lee and Seo, 2023; Chen et al., 2024; Jain et al., 2024). Стационарность: интеграл ядра меньше 1. Неэкспоненциальное ядро (Hardiman et al., 2013; Bacry et al., 2016; Kanazawa and Sornette, 2021) ломает конечномерное марковское свойство — симуляция и оценка тяжелеют.

Duration-модели: ACD Engle and Russell (1998) и варианты (Bauwens and Giot, 2000; Fernandes and Grammig, 2006; Meitz and Teräsvirta, 2006). В отличие от Хоукса с постоянным скачком частоты, прирост латентного процесса случаен в момент события: взвешенное среднее прошлых длительностей = ожидание следующего интервала. Поэтому вместо экспоненты легко подставить другие распределения (Hautsch, 2003; Bauwens et al., 2004; De Luca and Zuccolotto, 2006).

Lee (2025): интенсивность тоже может нести широкий класс распределений, не теряя самовозбуждения и затухания. Для LOB: структура Хоукса и марковость за счёт гибких остатков — i.i.d. тяжелохвостых величин, преобразованных обратной функцией. Duration-модели и гибкие остатки — одно семейство.

Вторая цель — стохастическая устойчивость. Lee (2025) задал модель, но вероятностные свойства почти не разобраны. Процесс — интенсивность и одновременно цепь Маркова на общем пространстве. При условиях строится функция Foster–Lyapunov: положительная Харрис-рекуррентность, неприводимость, апериодичность, стационарное распределение.

Раздел 2 — модель и сравнение. Раздел 3 — устойчивость. Раздел 4 — эмпирика LOB. Раздел 5 — заключение.

2. Каркас моделей

2.1. Общая постановка

Точечный процесс на $\mathbb{R}_+$: времена $0\lt T_1\lt T_2\lt\cdots$, интервалы $\tau_i=T_i-T_{i-1}$. Мера — Daley and Vere-Jones (2007); Brémaud (2020). Состояние эволюционирует только от прошлого — самовозбуждение / авторегрессия и марковость.

Определение 1. Пусть $\{\varepsilon_n\}$ — i.i.d. с абсолютно непрерывным распределением на $(0,\infty)$. Есть состояние $\{X_n\}$, согласованное с $F_{n-1}=\sigma(X_0,\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_{n-1})$. Функция $\Phi(t,x)$ строго возрастает по $t$ при каждом $x$. Связь

\[ \varepsilon_n=\Phi(\tau_n,X_{n-1}),\qquad \tau_n=\Phi^{-1}(\varepsilon_n,X_{n-1}), \]

обращение по $t$ при фиксированном $x$. Обновление $X_n=\Psi(\tau_n,X_{n-1})$. Локально конечный процесс $N=\sum_n\delta_{T_n}$, $T_n=\sum_{i=1}^n\tau_i$.

Процесс эволюционный (non-anticipative): условные ожидания только по прошлому; $X_0$ измеримо относительно $F_0$. Это observation-driven модель Cox (1981): латентное $\{X_n\}$ — детерминированная функция прошлого и реализованных длительностей; стохастика только через $\{\varepsilon_n\}$. Нет отдельного шума в латентном состоянии — в отличие от parameter-driven: SCI (Bauwens and Hautsch, 2006), стохастический multiplicative error (Hautsch, 2008), Markov-switching duration/intensity (Chen et al., 2013; Li et al., 2021).

Определение 1 в event time, без календарных эффектов. Дневная сезонность документирована (Hautsch, 2011). Три пути: (i) мультипликативная фильтрация $\tilde\tau_n=\tau_n/s(T_n)$ сплайнами; (ii) $\Phi$ и $\Psi$ зависят от $T_{n-1}$, или baseline — гладкая функция часов; (iii) как в эмпирике — скользящее окно (каждые 5000 наблюдений), параметры подстраиваются локально без жёсткой сезонности.

2.2. Частные модели

Пусть $F_\varepsilon$, $f_\varepsilon$, $h_\varepsilon$ — CDF, PDF и hazard остатка. Условная интенсивность на $t=t'-T_{n-1}$, $t'\in(T_{n-1},T_n]$:

\[ \lambda_{n-1}(t)=h_\varepsilon\bigl(\Phi(t,X_{n-1})\bigr)\,\frac{\partial\Phi}{\partial t}(t,X_{n-1}). \]

CDF и PDF интервала: $F_\tau(t;x)=F_\varepsilon(\Phi(t,x))$, $f_\tau(t;x)=f_\varepsilon(\Phi(t,x))\,\partial\Phi/\partial t$.

Определение 2 (обновление). $\Phi(t,x)=t$ $\Rightarrow$ $\tau_n=\varepsilon_n$ — процесс восстановления (Feller, 1950).

Определение 3 (ACD(1,1)). $X_n=b_0+a\tau_n+b_1 X_{n-1}$, $a,b_0,b_1\gt 0$, $a+b_1\lt 1$. $\Phi(t,x)=t/x$, $\tau_n=X_{n-1}\varepsilon_n$. Это ACD Engle and Russell (1998); $X_n$ — условное ожидаемое duration. Конвенция $\tau_n=X_{n-1}\varepsilon_n$ (а не $X_n\varepsilon_n$) — чисто нотационная: ожидание известно в $T_{n-1}$.

При единичной экспоненте интенсивность на $(T_{n-1},T_n)$ постоянна: $\lambda_{n-1}(t)=1/X_{n-1}$. Иначе

\[ \lambda_{n-1}(t)=h_\varepsilon\Bigl(\frac{t}{X_{n-1}}\Bigr)\frac{1}{X_{n-1}}. \]

Определение 4 (log-ACD(1,1)). $X_n=\exp(b_0+a\log\tau_n+b_1\log X_{n-1})$, $a,b_1\ge 0$, $b_0\in\mathbb{R}$, $a+b_1\lt 1$, то же $\Phi$. Bauwens and Giot (2000).

Определение 5 (log-ACI(1,1)). $\varepsilon_n$ — стандартная экспонента; $\Lambda_n=\exp\bigl(b_0+a(\Lambda_{n-1}\tau_n-1)+b_1\log\Lambda_{n-1}\bigr)$, $|b_1|\lt 1$; $\Phi(t,x)=xt$, $\tau_n=\varepsilon_n/\Lambda_{n-1}$. Russell (1999); $\{\Lambda_n\}$ — условная интенсивность.

Определение 6 (самовозбуждение, экспоненциальное затухание, гибкий остаток).

\[ \Psi(t,x)=\mu+(x-\mu+\alpha)e^{-\beta t},\qquad \mu,\alpha,\beta\gt 0, \] \[ \Lambda_n=\mu+(\Lambda_{n-1}-\mu+\alpha)e^{-\beta\tau_n}, \] \[ \Phi(t,x)=\int_0^t\Psi(s,x)\,ds=\mu t+(x-\mu+\alpha)\frac{1-e^{-\beta t}}{\beta}, \]

$\tau_n=\Phi^{-1}(\varepsilon_n,\Lambda_{n-1})$. Процесс Lee (2025).

Замечание 1. Стационарность латентного $\{\Lambda_n\}$: $\alpha\lt\beta\mu_\varepsilon$, $\mu_\varepsilon:=E[\varepsilon]\lt\infty$. См. раздел 3.

Между событиями $\lambda_{n-1}(t)=h_\varepsilon(\Phi(t,\Lambda_{n-1}))\,\Psi(t,\Lambda_{n-1})$.

Определение 7 (экспоненциальный Хоукс). Если $\varepsilon_n$ единичная экспонента, $h_\varepsilon\equiv 1$ — классический Hawkes (1971a,b).

Самовозбуждение: событие даёт детерминированный скачок вверх; длинная пауза — затухание к baseline; короткие пачки — интенсивность накапливается. ACD: латентное меняется только в событиях, обновление стохастическое; длинный интервал поднимает ожидаемую длительность и тем самым снижает интенсивность. Случайность в SE — через длину затухания между прибытиями; в ACD — через event-driven апдейт при постоянном латентном между событиями.

Определение 1 унифицирует класс через $\Psi$ и $\Phi$. Дальше — определение 6.

2.3. Остаточный процесс

Интеграл интенсивности по $\tau_n$ даёт экспоненциальный остаток (random time change: Meyer, 1971; Brown and Nair, 1988) — не то же, что инновация $\varepsilon_n$:

\[ \int_0^{\tau_n}\lambda_{n-1}(t)\,dt=-\log\bigl(1-F_\varepsilon(\varepsilon_n)\bigr). \]

$F_\varepsilon(\varepsilon_n)$ равномерно на $(0,1)$, остаток — стандартная экспонента. Условное ожидание

\[ E[\tau_n\mid F_{n-1}]=\int_0^\infty\bigl[1-F_\varepsilon(\Phi(s,X_{n-1}))\bigr]\,ds, \]

если среднее инновации конечно. Для ACD: $E[\tau_n\mid F_{n-1}]=X_{n-1}\mu_\varepsilon$. Для SE-FR:

\[ E[\tau_n\mid F_{n-1}]=\int_0^\infty s\,f_\varepsilon(\Phi(s,\Lambda_{n-1}))\,\Psi(s,\Lambda_{n-1})\,ds; \]

при экспоненциальном $\varepsilon$ это $\int_0^\infty e^{-\Phi(s,\Lambda_{n-1})}\,ds$. Замкнутой формы, кроме ACD, нет — в эмпирике одномерное численное интегрирование при оценённом состоянии.

2.4. Правдоподобие

\[ \ell_n(\theta)=\log f_\varepsilon(\Phi(\tau_n,X_{n-1}))+\log\frac{\partial\Phi}{\partial t}(\tau_n,X_{n-1}); \]

для SE-FR, где $\Psi=\partial\Phi/\partial t$: $\ell_n=\log f_\varepsilon(\Phi)+\log\Psi$. MLE — сумма по $n=1,\ldots,N$ (Karr, 1991).

3. Самовозбуждающийся процесс с гибким остатком

3.1. Линейное представление

Из $\Lambda_n=\mu+(\Lambda_{n-1}-\mu+\alpha)e^{-\beta\tau_n}$ и формулы для $\Phi$ следует

\[ \Lambda_n=\Lambda_{n-1}+\alpha-\beta\varepsilon_n+\beta\mu\tau_n, \] \[ \Lambda_n=\Lambda_0+n\alpha-\beta\sum_{i=1}^n\varepsilon_i+\beta\mu\sum_{i=1}^n\tau_i. \]

Необходимое условие ограниченности $E[\Lambda_n]$: $\alpha\le\beta\mu_\varepsilon$ — мотивация замечания 1.

3.2. Цепь Маркова

$\{\Lambda_n\}$ — цепь на общем пространстве (Meyn and Tweedie, 2009). Состояния $\mathcal{X}=[\mu,\infty)$. Даже старт в $\mu$ не возвращает туда: возбуждение $\alpha\gt 0$ и фактор затухания меньше 1. Ядро $P(x,B)=\mathbb{P}(\mu+(x-\mu+\alpha)e^{-\beta\tau}\in B)$, $\tau=\Phi^{-1}(\varepsilon,x)$, плотность $f_\varepsilon\gt 0$ на $(0,\infty)$.

Теорема 2 (эргодичность и стационарность). Пусть $\alpha\lt\beta\mu_\varepsilon$. Тогда $\{\Lambda_n\}$ — Лебег-неприводимая, апериодичная, положительно Харрис-рекуррентная цепь на $[\mu,\infty)$:

единственное стационарное $\pi$; закон $\Lambda_n$ сходится к $\pi$ по полной вариации с любого старта;
эргодичность: выборочные средние $\{\tau_n\}$ сходятся к теоретическим;
в стационарности \[ E[\tau_n]=\frac{\beta\mu_\varepsilon-\alpha}{\beta\mu}. \]

Доказательство — приложение B (Foster–Lyapunov). Эргодичность даёт состоятельность MLE; условие $\alpha\lt\beta\mu_\varepsilon$ запрещает взрыв интенсивности.

3.3. Автокорреляция

Симуляция с гамма-остатками, $\mu_\varepsilon=1$. Персистентность растёт, когда $\alpha/\beta$ ближе к 1 (в стационарной зоне $\alpha\lt\beta\mu_\varepsilon$).

**Рисунок 1.** ACF симулированных $\tau_n$, гамма-остатки. (a) $\alpha=0{,}095$, $\beta=0{,}1$ — медленное затухание, сильная кластеризация. (b) $\alpha=0{,}07$, то же $\beta$ — возбуждение рассеивается быстрее.

4. Эмпирический анализ

4.1. Данные

Длительность — время, за которое mid сдвигается на один тик. Mid = среднее лучших; сдвиг одной стороны на тик двигает mid на полтика. Полный тик mid обычно из двух полутиков в одну сторону. Пример: up–down–up–up даёт нетто +1 тик и новое событие.

Статистика	Значение
Наблюдений	$1{,}023{,}480$
Среднее, с	$0{,}4801$
Ст. откл.	$0{,}9937$
Минимум	$3{,}08\times 10^{-7}$
Медиана	$0{,}1281$
Максимум	$38{,}7261$
Асимметрия	$5{,}7536$
Эксцесс	$61{,}4619$
Over-dispersion (SD/mean)	$2{,}0698$

Таблица 1. Длительности AAPL, декабрь 2022, критерий одного тика mid. Over-dispersion 2,07 против пуассоновского 1; медиана много меньше среднего; тяжёлый хвост.

**Рисунок 2.** Гистограмма длительностей AAPL и экспоненциальный фит. Масса у нуля; правый хвост статистикой подтверждён, на гистограмме сжат масштабом.

4.2. Распределения остатков

Три семейства с $E[\varepsilon]=1$.

Гамма. Один параметр формы $\kappa\gt 0$, масштаб $1/\kappa$:

\[ f(x;\kappa)=\frac{\kappa^\kappa}{\Gamma(\kappa)}x^{\kappa-1}e^{-\kappa x},\quad x\gt 0. \]

Экспонента при $\kappa=1$.

Обобщённая гамма. Формы $d,p\gt 0$, масштаб $a=\Gamma(d/p)/\Gamma((d+1)/p)$:

\[ f(x;d,p)=\frac{p}{a^d\Gamma(d/p)}x^{d-1}\exp\bigl(-(x/a)^p\bigr). \]

$d$ — поведение у нуля, $p$ — толщина хвоста.

Burr XII (Burr, 1942). Формы $s_1,s_2\gt 0$, масштаб $c$; среднее существует при $s_1 s_2\gt 1$; $c$ фиксируется из $E[\varepsilon]=1$ через бета-функцию. Степенной хвост, сильная асимметрия.

4.3. Динамики

Три класса × четыре остатка: SE-Exp (Хоукс), SE-Gamma, SE-gGamma, SE-Burr; ACD-Exp/Gamma/gGamma/Burr (Grammig and Maurer, 2000); logACD-Exp/Gamma/gGamma/Burr.

Таблица 2 (AAPL, 16 декабря 2022, все оценки значимы). SE-Exp раздувает $\mu,\alpha,\beta$ ($\mu\approx 1{,}48$, $\alpha\approx 91$, $\beta\approx 286$) — экспонента не тянет over-dispersion. Гибкие SE дают спокойные параметры: SE-Gamma $\mu=0{,}27$, $\alpha=0{,}094$, $\beta=0{,}107$, $\kappa=0{,}35$; SE-Burr $\mu=0{,}033$, $\alpha=0{,}063$, $\beta=0{,}074$, $s_2=0{,}48$. ACD: $a+b_1$ почти 1 (персистентность), $\kappa\approx 0{,}34$.

4.4. Внутридневная оценка

Скользящее окно: 5000 последних mid-событий (~45 мин), затем прогноз следующих 100 OOS через (21)–(22). Латентное ACD рекурсией $\hat b_0,\hat a,\hat b_1$; SE — $\hat\mu,\hat\alpha,\hat\beta$. Окно сдвигается на 100 событий. Весь декабрь 2022, кроме первых 5000 на старте дня.

Бенчмарки вне определения 1: log-ACI(1,1) и полупараметрический FI-logACD(1,$d$,1) Feng and Zhou (2015): $\log\tau_n=\mu+z_n$, $(1-\phi B)(1-B)^d z_n=(1+\theta B)\varepsilon_n$, $d\in(0,1/2)$.

4.5. Результаты прогноза

Модель	rRMSE	$R^2$	KS	$W$
SE-Exp (Hawkes)	$1{,}8386$	$0{,}0782$	$0{,}1381$	$0{,}0052$
SE-Gamma	$1{,}8541$	$0{,}1373$	$0{,}0507$	$0{,}0009$
SE-gGamma	$1{,}8739$	$0{,}0521$	$0{,}0486$	$0{,}0008$
SE-Burr	$1{,}8033$	$0{,}1134$	$0{,}0659$	$0{,}0016$
ACD-Exp	$1{,}8540$	$0{,}1371$	$0{,}2020$	$0{,}0147$
ACD-Gamma	$1{,}8513$	$0{,}1377$	$0{,}0237$	$0{,}0002$
ACD-gGamma	$1{,}8139$	$0{,}1279$	$0{,}1989$	$0{,}0146$
ACD-Burr	$1{,}8620$	$0{,}1330$	$0{,}0595$	$0{,}0012$
logACD-Exp	$1{,}8639$	$0{,}1284$	$0{,}2053$	$0{,}0169$
logACD-Gamma	$1{,}8312$	$0{,}1206$	$0{,}0194$	$0{,}0001$
logACD-gGamma	$1{,}8574$	$0{,}1059$	$0{,}0248$	$0{,}0002$
logACD-Burr	$1{,}9226$	$0{,}0724$	$0{,}0386$	$0{,}0005$
logACI	$1{,}7814$	$0{,}1188$	$0{,}1868$	$0{,}0126$
FI-logACD	$1{,}8815$	$0{,}1117$	$0{,}1738$	$0{,}0147$

Таблица 3. OOS, AAPL, декабрь 2022. rRMSE — относительный RMSE прогноза интервала; KS и $W$ — Колмогоров–Смирнов и средний квадрат Вассерштейна экспоненциальных остатков.

SE-Burr лучше SE-Exp по rRMSE и $R^2$. SE-Gamma / gGamma не выигрывают точечный прогноз, но сильно режут KS и $W$. Burr даёт баланс: и точность, и распределение. В ACD смена остатка почти не двигает rRMSE; ACD-Gamma — лучший KS/$W$ в классе. log-ACD похож. logACI — минимальный rRMSE, но плохой distributional fit. FI-logACD (длинная память) OOS не помогает. Гибкость остатка особенно полезна внутри самовозбуждения.

4.6. Качество подгонки

P–P: условная CDF $F_\tau$ из (4) на наблюдённых $\tau$; точки у диагонали 45°. Данные: AAPL 16 декабря 2022, окно 5000.

**Рисунок 3.** P–P интервалов. ACD-Exp далеко от диагонали; SE-Exp лучше, но смещение остаётся; ACD-Burr и особенно SE-Burr почти на 45°. Гамма-семейство похоже, опущено. Идеала нет: запас по остатку или по $\Psi$/$\Phi$.

**Рисунок 4.** Гистограммы экспоненциальных остатков (14). ACD-Exp и SE-Exp далеко от единичной экспоненты; Burr-версии близки. Гамма аналогична Burr.

**Рисунок 5.** Условное ожидаемое межсобытийное время в течение дня. У всех: короткие паузы на открытии и закрытии, длинные между 14:00 и 15:00. SE-Exp — самый рваный профиль; SE-Burr — самый гладкий.

По табл. 3 SE-Burr чуть лучше ACD-Burr в rRMSE и $R^2$; ACD-Burr быстрее гасит ACF экспоненциальных остатков (рис. 6). Ни одна модель не добивается полной независимости остатков — латентная динамика ещё не исчерпана.

**Рисунок 6.** ACF экспоненциальных остатков SE-Burr и ACD-Burr, AAPL 16 декабря 2022. ACD-Burr затухает быстрее, но нуля нет.

5. Заключение

Самовозбуждающийся процесс с гибким остатком для прогноза duration смены mid в LOB. Латентное задаёт интенсивность; остаток несёт эмпирическое распределение. Как цепь Маркова: при конечном среднем остатка — положительная Харрис-рекуррентность (Foster–Lyapunov) и стационарность. Гибкие остатки улучшают прогноз; Burr внутри SE даёт измеримый выигрыш даже против ACD с тем же семейством. Конструкция расширяется за пределы финансов.

Благодарности. National Research Foundation of Korea (MSIT), грант RS-2026-25469087.

Литература

Bacry, E., Jaisson, T. and Muzy, J.-F., Estimation of slowly decreasing Hawkes kernels. Quantitative Finance 16, 1179–1201, 2016.
Bacry, E., Mastromatteo, I. and Muzy, J.-F., Hawkes processes in finance. Market Microstructure and Liquidity 1, 1550005, 2015.
Bauwens, L. and Giot, P., The logarithmic ACD model. Annales d’Économie et de Statistique 60, 117–149, 2000.
Bauwens, L. and Hautsch, N., Modelling financial high frequency data using point processes. In Handbook of Financial Time Series, 2009.
Bauwens, L. and Hautsch, N., Stochastic conditional intensity processes. Journal of Financial Econometrics 4, 450–493, 2006.
Brémaud, P., Point Process Calculus in Time and Space. Springer, 2020.
Burr, I.W., Cumulative frequency functions. Annals of Mathematical Statistics 13, 215–232, 1942.
Cox, D.R., Statistical analysis of time series. Scandinavian Journal of Statistics 8, 93–115, 1981.
Daley, D.J. and Vere-Jones, D., An Introduction to the Theory of Point Processes, vol. II. Springer, 2007.
Easley, D., Engle, R.F., O’Hara, M. and Wu, L., Time-varying arrival rates of informed and uninformed trades. Journal of Financial Econometrics 6, 171–207, 2008.
Engle, R.F. and Russell, J.R., Autoregressive conditional duration. Econometrica 66, 1127–1162, 1998.
Feng, Y. and Zhou, C., Forecasting financial market activity using a semiparametric fractionally integrated log-ACD. International Journal of Forecasting 31, 349–363, 2015.
Grammig, J. and Maurer, K.-O., Non-monotonic hazard functions and the ACD model. The Econometrics Journal 3, 16–38, 2000.
Hautsch, N., Econometrics of Financial High-frequency Data. Springer, 2011.
Hawkes, A.G., Spectra of some self-exciting and mutually exciting point processes. Biometrika 58, 83–90, 1971.
Lee, K., Self-exciting flexible residual point process. 2025.
Meyn, S. and Tweedie, R.L., Markov Chains and Stochastic Stability. 2009.
Russell, J.R., Econometric modeling of multivariate irregularly-spaced high-frequency data. 1999.

Оригинал статьи: Lee, «Forecasting duration in high-frequency financial data using a self-exciting flexible residual point process», arXiv:2604.00346 · лицензия CC BY 4.0