Возникновение корреляции в двух связанных симулированных лимитных стаканах

6.5/10

Доминик Бауэр, Дерик Диана, Тим Гебби · Department of Statistical Sciences, University of Cape Town, Рондебош, ЮАР · v2: 7 августа 2026 (v1: 6 августа 2024)

Оригинал: Bauer, D., Diana, D. and Gebbie, T. «Correlation emergence in two coupled simulated limit order books», 2024/2026 — arxiv.org/abs/2408.03181 (PDF). Код: InteractingLOBs.jl.

Рисунки воспроизведены из оригинальной публикации. Оригинал распространяется по лицензии CC BY 4.0; перевод выполнен на её условиях, изменение по отношению к оригиналу — перевод на русский язык. Рисунки приведены из оригинальной публикации.

Ключевые слова: лимитный стакан; эффект Эппса; реакция–диффузия; неравномерная выборка.

PACS 89.65.Gh, 02.50.Ey · MSC 91-04, 91G10, 91G80 · JEL G11, G14, G17.

Аннотация

Случайные блуждания симулируют флюидный предел двух связанных диффузионных лимитных стаканов, чтобы смоделировать возникновение корреляции. Приход, отмена и диффузия заявок связаны парным трейдером, который зарабатывает на mean-reversion между книгами. Lit-стакан, исчезающие граничные условия, сохранение объёма. Из этого восстанавливается эффект Эппса. Обсуждаются стилизованные факты как функции параметров и численной схемы, плюсы и минусы подхода, зависимость эффекта от дискретизации времени и цены. Эффект Эппса появляется без микроструктурного шума относительно латентной модели: это emergent-свойство взаимодействий трейдеров в мире асинхронных событий.

1. Введение

Рынки — связанные коллекции стаканов. Грубо: lit (видимый) и latent (скрытый / потенциальный спрос крупных инвесторов). Lit: все видят заявки [23], сделки по лучшей цене, приоритет цена–время. Latent [30]: скрытый объём, меньше импакта на крупных сделках [20]; на практике родительские заявки режут на child и впрыскивают в lit, чтобы снизить импакт и shortfall.

Donier et al. [14] — реакция–диффузия latent-книги. Gant [17] — численное решение стохастическими конечными разностями [3, 1], калибровка. Diana и Gebbie [12] — аномальная диффузия и неравномерное время; кодовая база naturally тянет несколько связанных книг. Здесь эта модель: два связанных lit-стакана (рис. 2), вопрос — возникает ли эффект Эппса сам [15]. Эмпирика эффекта — Mastromatteo et al. [19] и др.

Модель (ур. 2 / дискретное ур. 11) с калиброванными параметрами (табл. 2) и неравномерной выборкой (рис. 4) даёт Эппса. Артефакты схемы можно убрать. Микроструктурный шум относительно «правильной» латентной модели не нужен. Эффект — дискретизация и выборка: Chang et al. [11] предупреждают, что так называемый microstructure noise часто лишь ad hoc, чтобы защитить выбранную латентную модель, а не фундаментальное свойство рынка. Путать представление модели с реальностью опасно для риска и регулятора: глобальные in-the-limit свойства смешивают с локальной выборкой.

2. Связанные лимитные стаканы

2.1. Связанные PDE

Торговлю гонит дисбаланс. Функция выживания $\theta$ — накопленный объём заявок, не снятых сделками к календарному времени $t$, через скорость снятия $a(x,t)$ по лог-цене $x$ [12]:

\[ \theta=\int_0^t a(x,\tau)\,d\tau. \tag{1} \]

Источник $c(x,t)$ — создание заявок; диффузия по цене аномальная: параметр $D_{\alpha}$ и дробный показатель времени $\alpha$, оператор Римана–Лиувилля $D_t^{1-\alpha}$.

Для книг $j\in\{1,2\}$ плотность $\phi^{(j)}(x,t)$:

\[ \phi^{(j)}_t =D_{\alpha}^{(j)}\Bigl[\theta^{(j)} D_t^{1-\alpha}\frac{\phi^{(j)}}{\theta^{(j)}}\Bigr]_{xx} +V_t^{(j)}\Bigl[\theta^{(j)} D_t^{1-\alpha}\frac{\phi^{(j)}}{\theta^{(j)}}\Bigr]_{x} -a^{(j)}\phi^{(j)}+c^{(j)}. \tag{2} \]

Случайная сила $V_t^{(j)}$ — броуновское движение. Здесь шоки информации синхронизированы, одна общая сила $V_t$. Торговая цена — корень плотности:

\[ p^{(j)}(t)=x\quad\text{т.ч.}\quad \phi^{(j)}(x,t)=0. \tag{3} \]

Скорости аннигиляции постоянны: $a^{(j)}(x,t)=\nu_j$. Источник режется на источник $s^{(j)}$, связь $\ell^{(j,k)}$ и шоки $\delta^{(j)}$:

\[ c^{(j,k)}(x,t)=s^{(j)}(x,t)+\ell^{(j,k)}(x,t)+\delta^{(j)}(x,t). \tag{5} \]

Шоки $\delta^{(j)}$ измеряют импакт: импульс размера $Q$, смотрят сдвиг цены [12]. Lit-источники — исчезающие границы (интеграл $\phi$ постоянен); latent — конечные границы. Здесь только lit [17, 12]:

\[ s^{(j)}(x,t)=-\lambda_j\mu_j\bigl(x-p^{(j)}(t)\bigr)\,e^{-\mu_j(x-p^{(j)}(t))^2}. \tag{6} \]

В Julia — эквивалент $e^{-(\mu y)^2}$ [5, 6]. Попарная связь [13]:

\[ \ell^{(j,k)}(x,t)=G_j(x,t),\qquad \ell^{(k,j)}(x,t)=G_k(x,t), \tag{7} \]

функция разницы mid $\Delta p_{jk}=p^{(j)}-p^{(k)}$. Если mid $j$ выше mid $k$, в книгу $j$ ставят больше bid выше mid, чтобы столкнуть цену вниз. Базовая форма

\[ g_j(x,t)=-\lambda_j\mu_j x\,e^{-\mu_j x^2}. \tag{8} \]

$G_j$ — кусочное растяжение $g_j$ по $(x-p^{(j)})$ и $\Delta p_{jk}$ в четырёх квадрантах знака $\Delta p_{jk}$ и положения относительно mid (в Julia — bounded side-dependent rescaling [5, 6]). Интерпретация: внешний агент (парный трейдер) покупает/продаёт один актив, когда mid другого выше/ниже порога. Обобщается на много активов; здесь два.

2.2. Решётка

Диффузионный предел

\[ D_{\alpha}=\lim_{\Delta x,\Delta t\to 0}\sqrt{\frac{\Delta x^2}{2\Delta t^{\alpha}}}. \tag{9} \]

$D_{\alpha}$ и $\alpha$ общие для обеих книг. Неравномерное время: $\Delta t\sim\mathrm{Exp}(\lambda_i t)$ — двое часов с интенсивностями $\lambda_1$, $\lambda_2$ (табл. 1).

2.3. Параметры книги

$L$ — длина системы, $M$ — число делений, $\Delta x=L/M$. $r$ — вероятность self-jump (сдвиг цены). $\nu$ — отмены. $p_{1,2}(0)$ — стартовые цены. $\lambda_{1,2}$, $\mu_{1,2}$ — параметры источника (6).

Параметр	Смысл	Тип	Значение
$L$	длина системы	фикс.	$200$
$M$	делений	фикс.	$400$
$r$	вероятность self-jump	фикс.	$0{,}5$
$D_{\alpha}$	диффузия	своб.	$0{,}5$
$\nu$	отмены	своб.	$14{,}0$
$\alpha$	дробное время	своб.	$1{,}0$
$p_{1,2}(0)$	старт цен	фикс.	$230{,}0$
$\lambda_{1,2}$	интенсивности источника	фикс.	$1{,}0$
$\mu_{1,2}$	скорости источника	фикс.	$0{,}1$
$\Delta x=L/M$	шаг лог-цены	фикс.	$0{,}5$
$\Delta t$	из (9)	своб.	$0{,}0625$

Таблица 1. Базовые параметры связанной модели. $\Delta t$ свободен, потому что функция $D_{\alpha}$. Эти значения — рис. 1, 2 и (частично) 4.

2.4. Связанные update-уравнения

Ур. (2) решают неравномерной схемой [12]: плотность на фоне с равномерным $\Delta x$ и неравномерными $\Delta t_n$. Из (9) в момент $t_{n-1}$ однозначно $\Delta x_{n-1}$. Скачки влево/вправо:

\[ \hat\phi^{i\pm 1(j)}_{m}=\phi^{(j)}_{\Delta}(x_i\pm\Delta x_m,t_m). \tag{10} \]

Вероятности прыжков зависят только от последнего $\Delta x_{n-1}$; сама $\phi^{(j)}$ помнит всю историю $\{\Delta x_m\}$ через ядро памяти Sibuya $K_{n-m}$ [2] (дробная диффузия). Update каждой книги:

\[ \begin{aligned} \phi^{i(j)}_{n} &=\sum_{m=0}^{n-1}K_{n-m}\,e^{-\nu(t_{n-1}-t_m)} \Bigl[\tfrac12\bigl(r+F^{(j)}_{n-1}\bigr)\hat\phi^{i-1(j)}_{m}\\ &\qquad+\tfrac12\bigl(r-F^{(j)}_{n-1}\bigr)\hat\phi^{i+1(j)}_{m} -r\phi^{i(j)}_{m}\Bigr] +e^{-\nu\Delta t_{n-1}}\phi^{i(j)}_{n-1} +c^{i(j,k)}_{n-1}\Delta t_{n-1}. \end{aligned} \tag{11} \]

3. Симуляция

$D_{\alpha}$, $\nu$, $\alpha$ общие для обеих книг. Рис. 1 — траектории цен (книга A синяя, B красная/оранжевая) при калиброванных табл. 2.

**Рисунок 1.** Симулированные цены двух связанных книг, ур. (2), неравномерное время, параметры табл. 2. Обе траектории шумят около 230 и ползут вверх вместе.

Рис. 2 — снимки шока на одной книге при неравномерном $\Delta t$ (табл. 1). Синий — текущая плотность, зелёный — приход из источника, золотой — снятие, розовый — шок. Равновесие (все линии сходятся, плотность 0) — mid $p$. Стартовый розовый импульс (2a) поднимает плотность и режет снятия (2b–2e); спрос больше предложения, mid растёт (2f–2h); в 2i новое равновесие $p=230{,}19$. $\Delta t$ разный на шаге $\Rightarrow$ разный $\Delta x_m$ (подпись справа сверху каждого кадра).

**Рисунок 2.** Девять кадров шока lit-книги при неравномерном $\Delta t$. Розовый — импульс, золотой — отмены, зелёный — приходы, синяя точка — mid. Где линии встречаются — равновесие.

4. Калибровка

Sensitivity analysis: доминируют $D_{\alpha}$, $\nu$, $\alpha$ — их делают свободными и общими для книг. Связь парного трейдера (7) фиксирована и уникальна для каждой книги. Доверительные интервалы $D_{\alpha}$ и $\nu$ широкие (параметры гуляют по эпохам); у $\alpha$ уже — стабильнее на реальных данных. Интервалы — метод Jericevich et al. [18].

4.1. Данные

Отброшены opening/closing аукционы; торги 9:00–16:50; первая минута сессии выброшена. Убраны intraday volatility auctions, futures close-outs, after-hours (LT), коррекции вчера (LC), uncrossing (IP); остаются automated trades (AT). Крупные сделки дробятся: compacting — одна котировка на timestamp (последняя), сделки одного типа на одном timestamp сливаются в VWAP и суммарный объём.

Из табл. 1 гоняют цены для неравномерного и равномерного $\Delta t$; корреляции $\rho$ vs масштаб $\Delta t$ — рис. 4 (inset — спектр мощности).

4.2. Метод

Ранние ABM крутили параметры руками под стилизованные факты, без проверки распределения против эмпирики и без анализа патологической чувствительности / вырождения целевой функции [16, 24, 25]. Три стандартных метода: MLE, байес, method-of-moments + simulated minimum distance (MM-SMD) [25]. Здесь MM-SMD: быстро, не нужна замкнутая форма, моменты симуляции к моментам данных. Ограничения известны [24]; параметры indicative, не для строгой оценки. Моменты — по лог-доходностям micro-price, не mid [18]. Монте-Карло реплик $I=5$ (больше лучше, но дорого); те же моменты, что в инфраструктуре [18].

Оптимизация — смесь Threshold Accepting и Nelder–Mead (NMTA): на шаге случайно TA или NM. Нужны границы: $\nu\in[0,\infty)$, $D_{\alpha}\in[0,\infty)$, $\alpha\in[0{,}4,1]$. По 100 итераций; сходимость сильно зависит от seed. Для симуляции этого достаточно: набор параметров + seed, который воспроизводит нужные факты.

Параметр	Тип	$\Theta_{0.025}$	$\Theta$	$\Theta_{0.975}$
$D_{\alpha}$	своб.	$-4{,}018$	$0{,}27$	$4{,}558$
$\nu$	своб.	$-21{,}635$	$12{,}55$	$46{,}735$
$\alpha$	своб.	$0{,}484$	$0{,}57$	$0{,}656$
$\Delta t$	своб.		$0{,}2315$

Таблица 2. Калибровка NMTA. $L=200$, $M=400$, $r=0{,}5$, $p(0)=230$, $\lambda=1$, $\mu=0{,}1$, $\Delta x=0{,}5$ — фикс. У $D_{\alpha}$ и $\nu$ огромные интервалы (мало доверия к точке); у $\alpha$ уже. $\Delta t$ сдвинулся из-за нового $D_{\alpha}$. Эти значения — рис. 3–4.

**Рисунок 3.** Стилизованные факты: сверху эмпирика (цена/доходности, распределение+QQ, ACF), снизу неравномерный $\Delta t$ при табл. 2. Негауссовость и QQ-«S» ловятся; медленный спад ACF модуля и order flow слабее, чем в данных.

5. Эффект Эппса

Epps [15]: на минутах коррелированные акции почти не коррелируют; на часах/днях корреляция выходит на ожидаемую. Подтверждено на акциях [7, 32, 28, 19] и FX [21]. Три источника: асинхронность, lead-lag, размер тика [10]. Münnix et al. [22] — тик; Renò [27] — асинхронность при lead-lag; Precup и Iori [26] — разная асинхронность даёт разный Эппс; аналитика — Tóth et al. [31], Tóth и Kertész [29], Mastromatteo et al. [19]. Chang et al. [11]: эффект лучше понимать как emergent при синхронном усреднении дискретных событий, а не как шум вокруг единого глобального диффузионного времени. Корреляции — внешнее свойство усреднения на достаточно длинных окнах, не intrinsik стакана.

Оценка корреляций: NUFFT на ядре Дирихле + Fast Gaussian Gridding [8] — подходит к асинхронным event-данным, восстанавливает теоретическую кривую Эппса, быстро. Свёртка на пересэмплированной сетке $\to$ FFT $\to$ десвёртка в Фурье.

**Рисунок 4.** Эффект Эппса при неравномерном $\Delta t$, параметры табл. 2, среднее по 10 итерациям. $\rho$ растёт с масштабом $\Delta t$ и выходит на плато. Inset — спектр мощности, спад по частоте. Цены — рис. 1.

Неравномерный $\Delta t$ (рис. 3d–f): реалистичная цена, хвосты и концентрация у нуля, почти S-образный QQ; ACF модуля доходностей затухает только сначала, у order flow затухания нет — слабее эмпирики (3c).

5.1. Обсуждение результатов

Контроль: два связанных броуновских движения — константная и нулевая корреляция по масштабу, метод измерения сам Эппса не рисует. Эмпирика Chang et al. [9]: SBK и NED на JSE — Эппс воспроизводится тем же NUFFT; на больших шкалах эффекта нет, $\rho$ падает с лагом.

Варьируют $\Delta t$ при $\Delta x=1/2$ через (9): $\Delta t=0{,}0625$ ($D_{\alpha}=1$), $0{,}0781$ ($0{,}8$), $0{,}125$ ($0{,}5$), $0{,}2083$ ($0{,}3$). Эппс есть, но слабеет с более грубой выборкой. Варьируют $\Delta x$ при $\Delta t=0{,}03$: $0{,}25$, $0{,}33$, $0{,}5$, $0{,}75$ — равновесная корреляция слабеет; слишком крупный $\Delta x$ насыщает модель и убивает эффект.

$\nu$ от 1 до 16 шагом 3, неравномерный $\Delta t$, табл. 1. При $\nu=1$ Эппс без численных провалов корреляции на гармониках частоты выборки. С ростом $\nu$ появляются спайки/дыры, знакомые по равномерной схеме (алиасинг); величина провала растёт с $\nu$. Равномерная выборка страдает сильнее. Калибровка ловит не только физику, но и баланс численного шума и MC — для оценки параметров схема ещё не готова, для симуляции — да.

6. Заключение

Простая микроскопическая связанная реакция–диффузия (2) в дискретном пределе (11) генерирует эффект Эппса [15]: корреляция исчезает на коротких шкалах. Рис. 1 — цены; рис. 2 — шок. NUFFT+FGG [8] считает корреляции. Нуль-тест на броуновских и эмпирика SBK/NED подтверждают метод. Эппс есть и при неравномерном, и при равномерном $\Delta t$; у равномерного — периодические провалы. Грубее $\Delta t$ или $\Delta x$ — больше провалы; слишком крупный $\Delta x$ убивает эффект. $\nu$ около 1 (при прочих фиксированных) убирает провалы; рост $\nu$ их раздувает.

Калибровка MM-SMD + NMTA (табл. 2): $D_{\alpha}=0{,}27$, $\nu=12{,}55$ с широкими интервалами, $\alpha=0{,}57$ увереннее. Эта комбинация всё же даёт Эппса на неравномерном времени (рис. 4) — удивительно при большом $\nu$. Стилизованные факты неравномерного случая ближе к эмпирике, чем равномерного; ACF ещё можно улучшить. Корреляции в системе связанных книг возникают из механики парного трейдера плюс асинхронных событий, без отдельной модели microstructure noise.

Благодарности. Крис Ангстманн и Байрон Джейкобс. Код расширяет Diana [12]; связанная книга — Bauer [4]; Julia на ZivaHub [5] и GitHub InteractingLOBs.jl [6].

Литература

Angstmann, C. et al., From stochastic processes to numerical methods: a new scheme for solving reaction subdiffusion fractional PDEs. J. Comput. Phys., 307:508–534, 2016. ↑
Angstmann, C., Henry, I., Jacobs, B. and McGann, A., Numeric solution of advection-diffusion equations by a discrete time random walk scheme. arXiv:1610.05417, 2016. ↑
Bauer, D., Correlation emergence in two coupled limit order books in the fluid limit. MSc thesis, University of Cape Town, 2024. ↑
Bauer, D. and Gebbie, T., InteractingLOBs.jl. GitHub, 2024. ↑
Chang, P., Pienaar, E. and Gebbie, T., Malliavin–Mancino estimators implemented with NUFFT. SIAM J. Sci. Comput., 42:B1378–B1403, 2020. ↑
Chang, P., Pienaar, E. and Gebbie, T., The Epps effect under alternative sampling schemes. Physica A, 583:126329, 2021. ↑
Chang, P., Pienaar, E. and Gebbie, T., Using the Epps effect to detect discrete processes. arXiv:2005.10568, 2021.
Diana, D. and Gebbie, T., Anomalous diffusion and price impact in the fluid-limit of an order book. arXiv:2310.06079, 2023. ↑
Donier, J., Bonart, J., Mastromatteo, I. and Bouchaud, J.-P., A fully consistent, minimal model for non-linear market impact. 2015. ↑
Epps, T., Comovements in stock prices in the very short run. JASA, 74:291–298, 1979. ↑
Jericevich, I., Chang, P. and Gebbie, T., Simulation and estimation of an agent-based market-model with a matching engine. arXiv:2108.07806, 2021. ↑
Mastromatteo, I., Marsili, M. and Zoi, P., Financial correlations at ultra-high frequency. Eur. Phys. J. B, 80:243–253, 2010. ↑
Münnix, M.C., Schäfer, R. and Guhr, T., Impact of the tick-size on financial returns and correlations. Physica A, 389:4828–4843, 2010. ↑
O’Hara, M., Market Microstructure Theory. Wiley, 2015. ↑
Platt, D. and Gebbie, T., The problem of calibrating an agent-based model of high-frequency trading. arXiv:1606.01495, 2017. ↑
Tóth, B. and Kertész, J., The Epps effect revisited. Quantitative Finance, 9:793–802, 2009.
Tóth, B. et al., Anomalous price impact and the critical nature of liquidity. Physical Review X, 1, 2011. ↑

Оригинал статьи: Bauer, Diana and Gebbie, «Correlation emergence in two coupled simulated limit order books», arXiv:2408.03181 · лицензия CC BY 4.0