Вероятности исполнения в книге лимитных заявок с зависящими от состояния стохастическими потоками

7.5/10

Аннотация

Статья изучает вероятности исполнения (fill probabilities) лимитных заявок, выставленных на разных ценовых уровнях книги. Эти вероятности играют центральную роль в оптимизации исполнения: лимитка не гарантирует исполнения и по сути несёт компромисс между издержками и риском исполнения. Мы моделируем книгу в общем зависящем от состояния стохастическом каркасе, представляя её динамику как набор взаимодействующих систем массового обслуживания и включая ключевые стилизованные признаки рынка. Внутри каркаса выводятся полуаналитические выражения для нескольких величин при зависящих от состояния потоках: вероятность изменения mid-цены, вероятности исполнения заявок на лучших котировках и вероятности исполнения заявок на один уровень глубже до сдвига противоположной лучшей котировки. Каркас расширяем на более глубокие уровни, но там вероятности исполнения обычно пренебрежимо малы. Модель валидируется обширными численными экспериментами на реальных данных спот-рынка FX. Результаты показывают, что модель остаётся аналитически податливой, улавливает существенную динамику книги и даёт хорошую точность оценок fill probability.

Ключевые слова: книги лимитных заявок; вероятности исполнения; риски исполнения; стохастический поток заявок; спот-рынок FX; преобразования Лапласа; цепные дроби; процесс рождения–гибели; зависящая от состояния очередь; алгоритмическая торговля.

1. Введение

Технологический прогресс сделал алгоритмическую торговлю доминирующей силой на современных финансовых рынках, особенно в высоколиквидных средах. Алгоритмические системы рутинно используются для генерации сигналов, маркетмейкинга, оптимизации исполнения и снижения транзакционных издержек. В этой статье мы фокусируемся на ключевом ингредиенте оптимизации исполнения: вероятности исполнения лимитной заявки. Поскольку лимитка не гарантирует исполнения, точные оценки fill probability необходимы для управления риском исполнения и для стратегий, балансирующих определённость исполнения против улучшения цены.

Fill probability (вероятность исполнения) лимитки — это вероятность того, что заявка будет исполнена за заданный горизонт. Она зависит от характеристик заявки — ценового уровня и позиции в очереди — и от рыночных условий в момент выставления. Оценка сложна из-за высокочастотной и быстро эволюционирующей природы книги. Тем не менее надёжная оценка критична на практике: трейдеры должны учитывать fill probability, выбирая между агрессивными стратегиями (быстрее, но по худшей цене) и пассивными (лучшая цена, выше риск неисполнения).

Центральный компромисс размещения лимитки — между скоростью исполнения и улучшением цены. Заявки у лучших котировок исполняются чаще: рыночные заявки взаимодействуют сначала с лучшими ценами. Заявки глубже в книге предлагают более выгодные цены, но существенно меньшую вероятность исполнения. Этот компромисс мотивирует потребность в податливых и точных моделях fill probability, которые можно встроить в алгоритмы исполнения и маркетмейкинга.

В литературе предложены несколько подходов. Распространённое упрощение в задачах оптимальной торговли предполагает экспоненциальное затухание fill probability с расстоянием от лучшей котировки. Это даёт математически удобные модели исполнения и широко принято, включая Cartea et al. (2015), Cartea, Jaimungal (2015) и Guéant et al. (2012). Однако такие reduced-form спецификации явно не учитывают зависимость от времени и эволюционирующее состояние книги.

Другая линия — эконометрическая оценка по историческим данным. Регрессии связывают вероятность исполнения с размером заявки, спредом, волатильностью и дисбалансом очередей. Анализ выживаемости особенно влиятелен как естественный каркас для распределений time-to-fill. Cho, Nelling (2000) моделируют приходы рыночных заявок неоднородным пуассоновским процессом и предполагают распределение Вейбулла для time-to-fill. Lo et al. (2002) применяют анализ выживаемости к распределениям времени исполнения, условным на рыночных ковариатах. Эти модели интерпретируемы и относительно легко оцениваются, но могут не уловить полную сложность высокочастотной динамики книги.

Недавно предложены методы машинного обучения для fill probability в высокоразмерных нелинейных постановках. Они могут включать богатые наборы признаков и адаптироваться к меняющимся условиям. Maglaras et al. (2022), Fabre, Ragel (2023) и Arroyo et al. (2024) сочетают ML с анализом выживаемости. Несмотря на гибкость, эти методы обычно требуют больших обучающих выборок, существенных вычислительных затрат и часто страдают ограниченной интерпретируемостью.

Стохастические модели книги образуют ещё один важный класс. Они явно описывают случайную эволюцию приходов, отмен и исполнений и позволяют выводить fill probability аналитически или через симуляцию. Smith et al. (2003) показывают, что даже упрощённые стохастические модели воспроизводят ключевые стилизованные факты. В частности, Cont et al. (2010) и Huang et al. (2015) моделируют книгу как систему очередей, где каждый ценовой уровень — процесс рождения–гибели: приходы лимиток — «рождения», рыночные заявки и отмены — «гибели». Cont et al. (2010) дополнительно предполагают, что интенсивности — детерминированные функции расстояния до противоположной лучшей котировки. Эти модели аналитически податливы и калибруются напрямую по данным книги, но часто опираются на ограничительные предположения, чтобы оставаться управляемыми.

В этой статье мы принимаем стохастический подход и строим общий зависящий от состояния каркас потоков заявок для оценки fill probability. В отличие от моделей с детерминированными интенсивностями, мы позволяем скоростям прихода и отмены лимиток и рыночных заявок зависеть от вектора стилизованных переменных состояния — размеров очередей, спреда и других наблюдаемых признаков книги. Эта спецификация мотивирована эмпирическими свидетельствами, что интенсивности потока существенно меняются с рыночными условиями и состоянием книги. Каркас сформулирован в общем виде; мы также представляем несколько явных спецификаций, включая классические параметрические модели из литературы и модель, используемую в численных экспериментах.

Внутри каркаса книга моделируется как система взаимодействующих зависящих от состояния очередей, а времена исполнения характеризуются как времена первого прохождения связанных процессов рождения–гибели и чистой гибели. Используя преобразования Лапласа, мы выводим полуаналитические выражения для нескольких условных вероятностей, непосредственно релевантных исполнению: вероятности восходящего или нисходящего движения mid-цены, fill probability заявок на лучшем bid и лучшем ask до изменения mid-цены и fill probability заявок на один уровень глубже лучшей котировки до сдвига противоположной лучшей котировки.

Ключевой вклад — выход за пределы лучших bid и ask, изучаемых в большей части аналитической литературы (например, Cont et al., 2010). Мы даём единый подход к выводу fill probability на более глубоких уровнях при общих зависящих от состояния интенсивностях. Методология расширяется на произвольно глубокие уровни, но выражения становятся всё сложнее. Кроме того, эмпирический анализ данных спот-рынка FX подсказывает, что fill probability дальше одного тика от лучшей котировки обычно пренебрежимо малы. Поэтому мы фокусируемся на практически наиболее релевантных случаях: заявки на лучшей котировке и на один уровень глубже.

Основные вклады:

• Гибкий зависящий от состояния стохастический каркас потоков заявок для LOB: приходы лимиток, рыночных заявок и отмен через взаимодействующую систему очередей.
• Податливые полуаналитические выражения для ключевых величин исполнения — вероятностей движений mid-цены и fill probability на лучшей и второй лучшей котировках — при общих зависящих от состояния интенсивностях.
• Насколько нам известно, первая аналитическая характеристика fill probability для заявок, выставленных на один ценовой уровень глубже лучшей котировки.
• Валидация на реальных данных FX-спот книги: податливость и хорошая эмпирическая точность.

Остаток статьи: Раздел 2 вводит модель и три явные спецификации интенсивностей. Раздел 3 напоминает математический аппарат — зависящие от состояния времена первого прохождения процессов рождения–гибели и чистой гибели. Раздел 4 выводит выражения для вероятностей движения mid-цены и fill probability. Раздел 5 описывает калибровку и эмпирическое исследование на FX-спот данных. Раздел 6 заключает.

2. Модель книги лимитных заявок

2.1. Книга как стохастическая модель

Следуя Cont et al. (2010) и Huang et al. (2015), моделируем книгу, в которой участники выставляют лимитки на дискретных ценовых уровнях — целых кратных размера тика. Уровни представлены сеткой $\{1,\ldots,N\}$, где $N$ достаточно велико, чтобы вероятность заявок за уровнем $N$ была пренебрежима на рассматриваемом горизонте.

Состояние книги описывается процессом непрерывного времени

где $|Q_i(t)|$ — число ожидающих лимиток на уровне $i$ в момент $t$. Чтобы различать стороны bid и ask, принимаем соглашение: bid-очереди представляются отрицательными значениями. $Q_i(t) < 0$ соответствует $-Q_i(t)$ ожидающим bid-заявкам на уровне $i$, а $Q_i(t) > 0$ — $Q_i(t)$ ожидающим ask-заявкам.

Лучшая ask-цена $p_A(t)$ — наинизший уровень с ожидающими заявками на продажу:

Лучшая bid-цена $p_B(t)$ — наивысший уровень с ожидающими заявками на покупку:

Mid-цена $p_M(t)$ и bid–ask спред $S(t)$:

2.2. Динамика зависящих от состояния потоков

Динамика книги моделируется как система очередей, движимая тремя типами событий: приходы лимиток, приходы рыночных заявок, отмены лимиток. Пусть $Q(t_j)$ — состояние непосредственно перед $j$-м событием, $Q(t_{j+1})$ — сразу после следующего события. Предполагаем, что все заявки имеют единичный размер (соответствующий среднему размеру заявки в данных) и события происходят последовательно. Книга эволюционирует по правилам обновления:

Следуя стандартной практике, предполагаем, что приходы и отмены управляются независимыми пуассоновскими процессами с экспоненциальными межприходными временами. Для каждого уровня $i\in\{1,\ldots,N\}$:

• лимитки приходят со скоростью $\lambda_{Q_i}(\boldsymbol{X}_i)$;
• рыночные заявки — со скоростью $\mu_{Q_i}(\boldsymbol{X}_i)$ для $i\in\{p_A,p_B\}$;
• отмены — со скоростью $\varphi_{Q_i}(\boldsymbol{X}_i)$,

где $\boldsymbol{X}_i$ — вектор стилизованных переменных состояния, влияющих на интенсивности. Все скорости могут зависеть от состояния. Для удобства пишем $\lambda_{Q_i} := \lambda_{Q_i}(\boldsymbol{X}_i)$ и аналогично для $\mu$ и $\varphi$. Схематические иллюстрации динамики на лучшем bid и лучшем ask — на Рис. 1 и 2.

2.3. Примеры моделей потока заявок

Функции интенсивности можно гибко специфицировать. Вектор $\boldsymbol{X}_i$ может включать размеры очередей, спред или расстояние до лучших котировок. Ниже — три представительные спецификации.

2.3.1. Модель I

Cont et al. (2010) предлагают модель, в которой интенсивности — детерминированные функции расстояния до лучших bid и ask. Это частный случай нашего каркаса. В момент $t_j$ интенсивности на уровне $i$:

где $\alpha,\beta,\mu > 0$ — константы, а $\theta:\mathbb{N}\to\mathbb{R}_+$ — неотрицательная функция расстояния до противоположной лучшей котировки. Здесь можно взять $\boldsymbol{X}_i(t_j) = (p_A(t_j)-i,\ i-p_B(t_j),\ Q_i(t_j))$. Параметры $\alpha$ и $\beta$ обычно калибруются МНК.

2.3.2. Модель II

Мотивируясь эмпирическим исследованием Toke, Yoshida (2017), можно моделировать интенсивности параметрической спецификацией, зависящей от спреда и размера очереди. В момент $t_j$:

где $\alpha_i,\alpha_{ij},\beta_i,\beta_{ij},\gamma_i,\gamma_{ij}$ — константы. Вектор факторов: $\boldsymbol{X}_i(t_j) = (S(t_j), Q_i(t_j))$. Калибровка — максимизацией правдоподобия; см. Toke, Yoshida (2017).

2.3.3. Модель III

Для численных экспериментов на реальных данных FX-спот книги предлагаем спецификацию, вдохновлённую Cont et al. (2010) и поддержанную нашими эмпирическими находками. Выбор модели не является главной целью работы; Модель III даёт конкретную постановку, в которой иллюстрируется методология. Другие спецификации трактуются аналогично. В момент $t_j$:

где $\lambda,\theta:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\to\mathbb{R}_+$ — неотрицательные функции расстояния до противоположной лучшей котировки и спреда, а $\mu:\mathbb{N}\to\mathbb{R}_+$ — неотрицательная функция спреда. Абсолютное значение учитывает соглашение об отрицательных bid-очередях. Здесь $\boldsymbol{X}_i(t_j) = (p_A(t_j)-i,\ i-p_B(t_j),\ S(t_j))$.

Результирующая динамика определяет марковский процесс непрерывного времени на $\mathbb{Z}^N$ с переходами при приходах и отменах заявок со скоростями из (8).

3. Предварительные сведения о зависящих от состояния очередях

Естественный каркас для непрерывной динамики $Q(t)$ — теория массового обслуживания: число ожидающих заявок на каждом уровне — очередь. Рассматривая заявку агента как последнюю в соответствующей очереди, исполнение происходит ровно когда эта очередь опустеет. Следовательно, очередь с заявкой агента моделируется как процесс чистой гибели: заявки, пришедшие после агента, не влияют напрямую на её исполнение. Остальные очереди эволюционируют как процессы рождения–гибели.

3.1. Времена первого прохождения процессов рождения–гибели

Процесс рождения–гибели — марковский процесс непрерывного времени на $\mathbb{N}_0$ с переходами только между соседними состояниями. Из состояния $i$ процесс прыгает в $i+1$ («рождение») со скоростью $\lambda_i$ и в $i-1$ («гибель») со скоростью $\mu_i$. Скорости могут зависеть от текущего состояния; $\mu_0 = 0$.

Пусть $\sigma_b$ — время первого прохождения в состояние 0, стартуя из $b\ge 1$. Тогда

где $\sigma_{i,i-1}$ — время первого прохождения из $i$ в $i-1$. По сильному марковскому свойству $\{\sigma_{i,i-1}\}_{i=1}^b$ независимы. Если $\hat f_b(s)$ — преобразование Лапласа $\sigma_b$, а $\hat f_{i,i-1}(s)$ — преобразование $\sigma_{i,i-1}$, то

Полуаналитическое выражение для $\hat f_{i,i-1}(s)$ получается через цепные дроби. Abate, Whitt (1999) показывают, что

где цепная дробь определяется как

с последовательностями $\{a_n\},\{b_n\}\subset\mathbb{C}$, $a_n\neq 0$. Компактная запись: $\mathrm{K}_{n=1}^\infty a_n/b_n = a_1/(b_1+)\, a_2/(b_2+)\, a_3/(b_3+)\cdots$. Численные схемы приближения цепных дробей — в Приложении B. Комбинируя (10) и (11),

Плотность $\sigma_b$ восстанавливается численным обращением Лапласа. Две техники обращения — в Приложении A.

3.2. Времена первого прохождения процессов чистой гибели

Рассмотрим зависящий от состояния процесс чистой гибели: из $i\ge 1$ процесс прыгает в $i-1$ со скоростью $\mu_i$. Пусть $\epsilon_b$ — время первого прохождения в 0 из $b\ge 1$:

Случайные величины $\{\epsilon_{i,i-1}\}_{i=1}^b$ независимы. Если $g_b(t)$ — плотность $\epsilon_b$ и $\hat g_b(s)$ — её преобразование Лапласа, то

Поскольку $\epsilon_{i,i-1}$ экспоненциально с параметром $\mu_i$, плотность $g_{i,i-1}(t)=\mu_i e^{-\mu_i t}$, $t\ge 0$, и

Подставляя (16) в (15):

4. Вероятности исполнения в книге лимитных заявок

«Зависимость от состояния» относится не только к размерам очередей, но и к дополнительным стилизованным факторам, влияющим на интенсивности. Мы выводим выражения для вероятности изменения mid-цены (вверх и вниз) и для вероятности, что лимитка на лучшем bid или ask исполнится до движения mid-цены. Кроме того, получаем полуаналитическое выражение для fill probability заявки на один уровень глубже лучшей котировки, условно на том, что противоположная лучшая котировка не сдвинется первой. Методология расширяется на более глубокие уровни, но аналитика быстро усложняется. Эмпирика FX-спот показывает, что исполнения дальше одного тика от лучших котировок редки.

4.1. Вероятность изменения mid-цены

Пусть $\tau$ — момент первого изменения mid-цены: $\tau = \inf\{t\ge 0: p_M(t)\neq p_M(0)\}$. Поскольку mid-цена зависит только от лучших bid и ask, вероятность, что следующее движение — рост, условно на состоянии книги в $t=0$, есть

где $s_0\ge 1$ — начальный спред. Аналогично для снижения — (19).

Предложение 1. Пусть $\sigma_A$ и $\sigma_B$ — времена первого прохождения в 0 лучших ask- и bid-очередей. Для $i\in\{A,B\}$ пусть $\hat f_{\sigma_i}^{s_0}(s)$ — преобразование Лапласа плотности $\sigma_i$, условно на начальном спреде $s_0\ge 1$. Тогда

Определим $\Lambda_{s_0} := \sum_{m=1}^{s_0-1}\lambda_0(\boldsymbol{X}_{p_A-m}) = \sum_{m=1}^{s_0-1}\lambda_0(\boldsymbol{X}_{p_B+m})$. Пусть $i,j\in\{A,B\}$, $i\neq j$. Тогда условные вероятности (18)–(19) получаются вычислением в $s=0$ обратного преобразования Лапласа

Пара $(i,j)=(A,B)$ соответствует восходящему движению, $(B,A)$ — нисходящему. При $s_0=1$, когда внутри спреда котировать нельзя, (21) упрощается до

Идея доказательства. Очередь $Q_i$ — процесс рождения–гибели со скоростями рождения $\lambda_{Q_i}(\boldsymbol{X}_{p_i})$ и гибели $\mu_{Q_i}+\varphi_{Q_i}$; (20) следует из (13). При $s_0=1$ движение цены происходит только при опустошении одной из лучших очередей: $\mathbb{P}[\text{рост}]=\mathbb{P}[\sigma_A<\sigma_B]$. Независимость даёт преобразование Лапласа плотности $\sigma_i-\sigma_j$ как $\hat f_{\sigma_i}^{1}(s)\hat f_{\sigma_j}^{1}(-s)$, откуда (22). При $s_0>1$ mid-цена также может сдвинуться лимиткой внутри спреда. Суммарная скорость таких приходов $\Lambda_{s_0}$ одинакова на обеих сторонах. Первое изменение mid-цены — $\tau:=\sigma_A\wedge\sigma_B\wedge\min\{\tau_A^m,\tau_B^m\}$. Лемма 1 даёт преобразование Лапласа минимума процесса рождения–гибели и независимого экспоненциального часов; подстановка даёт (21).

Лемма 1. Пусть $X\ge 0$ экспоненциальна со скоростью $\Lambda$, а $Y\ge 0$ независима с плотностью $f_Y$ и преобразованием $\hat f_Y(s)$. Тогда преобразование Лапласа плотности $X\wedge Y$ есть

Доказательство — в Приложении C.

Замечание 1. Подставляя явные скорости Моделей I–III в Предложение 1, получаем замкнутые выражения. Для Модели III $\Lambda_{s_0}=\sum_{m=1}^{s_0-1}\lambda_0(m,s_0)$ и

Если скорости не зависят от состояния очереди $k$, получается дальнейшее упрощение (31). Для обращения Лапласа используем методы Эйлера и COS; детали — в Приложении A.

4.2. Fill probability на лучших котировках

Изучаем вероятность, что лимитка на лучшем bid или ask исполнится до изменения mid-цены, в предположении, что заявка никогда не отменяется. Пусть $NC_A$ и $NC_B$ — события выставления в $t=0$ на лучшем ask и bid с последующим сохранением активности. Соответствующая условная fill probability:

где $i\in\{A,B\}$, $\tau$ — первое движение mid-цены, а $\epsilon_i$ — время первого прохождения в ноль позиции заявки на уровне $i$, инициализированной в $q_0^i$.

Позицию заявки моделируем процессом чистой гибели, а не рождения–гибели: по правилу временного приоритета последующие приходы на тот же уровень встают позади и не влияют на исполнение.

Предложение 2. Фиксируем $s_0\ge 1$ и пусть $\epsilon_i$ — время первого прохождения в ноль позиции лимитки на лучшей котировке стороны $i\in\{A,B\}$ с начальной позицией $q_0^i\ge 1$. Тогда преобразование Лапласа плотности $\epsilon_i$:

Пусть $\sigma_j$ — время первого прохождения в ноль противоположной лучшей очереди с преобразованием (20), и $\Lambda_{s_0}$ как выше. Fill probability (32) получается вычислением в $s=0$ обратного преобразования

для $i\neq j\in\{A,B\}$. При $s_0=1$ это упрощается до $\hat F_{\epsilon_i,\sigma_j}^{1}(s)=\frac{1}{s}\hat g_{\epsilon_i}^{1}(s)\hat f_{\sigma_j}^{1}(-s)$ (35).

Идея доказательства. Скорость гибели процесса позиции — $\mu+\varphi$; (33) следует из (17). При $s_0=1$ fill probability сводится к $\mathbb{P}[\epsilon_i<\sigma_j]$. При $s_0>1$ конкурируют также приходы внутри спреда: $\tau_A\wedge\tau_B\sim\mathrm{Exp}(2\Lambda_{s_0})$. Лемма 1 даёт преобразование $\sigma_j\wedge\tau_A\wedge\tau_B$, откуда (34).

Замечание 2. Для Модели III $\hat g_{\epsilon_i}^{s_0}(s)=\prod_{k=1}^{q_0^i}(\mu_k(s_0)+\theta(0,s_0)k)/(\mu_k(s_0)+\theta(0,s_0)k+s)$ (40); если $\mu_k$ не зависит от $k$, получается (41).

4.3. Fill probability на уровень глубже лучших котировок

Рассматриваем заявки на покупку в $p_B-1$ и на продажу в $p_A+1$, фокусируясь на исполнениях до движения противоположной лучшей котировки. Методология расширяется глубже, но аналитика существенно усложняется. Численные эксперименты показывают, что fill probability дальше одного тика обычно пренебрежимы: около 85% исполненных лимиток выставлены в пределах одного тика от лучшей котировки (разд. 5.2.2).

При наших предположениях такая заявка может исполниться двумя механизмами: (1) крупная рыночная заявка съедает ликвидность на нескольких уровнях; (2) лучшая очередь опустошается, лучшая котировка сдвигается на один тик к заявке, и заявка становится частью новой лучшей котировки. Поскольку заявки единичного размера, первый механизм невозможен. Следовательно, исполнение на один уровень глубже возможно только если лучшая котировка сдвинется к этому уровню. После этого fill probability считается как в 4.2.

Для $i\in\{A,B\}$ пусть $Q_i(t)$ — размер лучшей очереди стороны $i$, $Q_{i-}(t)$ — размер на один уровень глубже, $W_{i-}(t)$ — число оставшихся заявок на этом уровне, уже присутствовавших в момент 0. Пусть $\tau_i^{\mathrm{quote}}$ — первое время, когда лучшая котировка стороны $i$ сдвигается на один тик к более глубокому уровню (42), а $\tau_i^{\mathrm{other}}$ — первое время изменения mid-цены из-за любого конкурирующего события (43). Вероятность $\mathbb{P}[\tau_i^{\mathrm{quote}}<\tau_i^{\mathrm{other}}]$ считается в Предложении 4. После сдвига спред растёт с $s_0$ до $s_0+1$, и fill probability условно на этом событии даётся Предложением 2 со сдвинутым начальным временем. Комбинируя,

Предложение 3. Fill probability (46) допускает представление

где все случайные величины на $\tau_i^{\mathrm{quote}}$. Распределение $Q_j(\tau_i^{\mathrm{quote}})$ можно аппроксимировать стационарным распределением $Q_j$, а распределение $W_{i-}$ даётся (48): при $m=q_0^{i-}$ это $\mathbb{P}[\sigma_i<\epsilon_{q_0^{i-},q_0^{i-}-1}]$; при $1<m<q_0^{i-}$ — разность $\mathbb{P}[\epsilon_{q_0^{i-},m}<\sigma_i]-\mathbb{P}[\epsilon_{q_0^{i-},m-1}<\sigma_i]$; при $m=1$ — $\mathbb{P}[\epsilon_{q_0^{i-},1}<\sigma_i]$.

Замечание 3. Если все скорости зависят только от размера очереди, инвариантное распределение очереди $Q_l$ имеет явную форму $\pi_n(p_l)=\pi_0(p_l)\prod_{k=1}^n\rho_{k-1}(p_l)$ с $\rho_n=\lambda_n/(\mu_{n+1}+\varphi_{n+1})$ (52)–(54), и $\mathbb{P}[Q_j(\tau_i^{\mathrm{quote}})=n]=\pi_n(p_j)$.

Предложение 4. Вероятность (44) получается вычислением в $s=0$ обратного преобразования

При $s_0=1$: $\hat G_{\sigma_i,\sigma_j}^{1}(s)=\frac{1}{s}\hat f_{\sigma_i}^{1}(s)\hat f_{\sigma_j}^{1}(-s)$ (56).

Предложение 5. При спреде $s_0+1$ в момент $\tau_i^{\mathrm{quote}}$, условно на $W_{i-}=m$, $Q_j=n$, вероятность $\mathbb{P}[\epsilon_{i-}<\tau^i\mid \ldots]$ получается обращением в нуле

Предложение 6. Для процесса чистой гибели $\tilde W_{i-}$ преобразование Лапласа времени прохождения из $q_0^{i-}$ в $m\le q_0^{i-}$ есть

Вероятности (48) получаются обращением в нуле $\hat H_{\sigma_i;q_0^{i-},m}^{s_0}(s)$ из (59): произведения $\frac{1}{s}\hat f_{\sigma_i}^{s_0}(\pm s)$ на соответствующие $\hat h$.

5. Численные и эмпирические эксперименты

Этот раздел описывает калибровку, набор данных FX-спот книги и стилизованные факты, мотивирующие спецификации. Затем — численные эксперименты по fill probability на разных уровнях. Всюду принимаем Модель III.

5.1. Оценка параметров

Эмпирика 5.2 показывает, что скорости прихода и отмены сильно зависят от спреда $S$. Следуя Cont et al. (2010), оцениваем параметры средними по периодам, в которых спред равен $S$.

Приходы лимиток. Для заявок на расстоянии $\delta$ тиков от противоположной лучшей котировки, условно на $S$:

где $N_l^S(\delta)$ — число приходов лимиток на расстоянии $\delta$ при спреде $S$, а $T_*^S$ — суммарное время (в секундах), когда спред равен $S$. По симметрии скорости bid и ask равны $\tfrac12\hat\lambda_S(\delta)$.

Приходы рыночных заявок.

где $N_m^S$ — число рыночных заявок при спреде $S$, а $S_m$ и $S_l$ — средние размеры рыночных и лимитных заявок. Отношение $S_m/S_l$ корректирует предположение единичного размера. Симметрия: интенсивности покупки и продажи равны $\tfrac12\hat\mu_S$. Эмпирические отношения — в Таблице 1.

Скорости отмен.

где $N_c^S(\delta)$ — число отмен на расстоянии $\delta$ при спреде $S$, $S_c$ — средний размер отмены, $Q_\delta^S=\tfrac12(Q_\delta^{S,\mathrm{Bid}}+Q_\delta^{S,\mathrm{Ask}})$ — среднее число ожидающих лимиток на этом уровне, считаемое по снапшотам (63). Отношение $S_c/S_l$ — в Таблице 2 (везде 1.00).

5.2. Эмпирический анализ спот-рынка FX

Данные — высокочастотная книга площадки LMAX, с 2.11.2020 по 29.10.2021, пара EUR/USD. По четырём представительным неделям (7.06.2021–2.07.2021) спред преимущественно между одним и пятью тиками; три или четыре тика — около 80% наблюдаемого времени.

5.2.1. Симметрия потока заявок

Модель III предполагает симметричный поток. Рис. 3 показывает, что скорости рыночных заявок на покупку и продажу стабильно близки по всем неделям, поддерживая предположение симметрии.

5.2.2. Эмпирические исполнения лимиток

Рис. 4 — эмпирическое распределение расстояния между лимиткой и лучшей котировкой в момент исполнения. Расстояние 0 — исполнения на лучшей котировке; строго положительное — рыночные заявки, съедающие ликвидность на нескольких уровнях. По всем неделям более 90% исполнений происходят на лучших котировках.

Рис. 5 — глубина размещения исполненных лимиток в момент выставления; отрицательные значения — заявки внутри спреда. Около 85% исполненных лимиток выставлены в пределах одного тика от лучшей котировки.

5.2.3. Эмпирические скорости прихода и отмены

Рис. 6 — эмпирические скорости прихода лимиток для $S\in\{1,\ldots,5\}$: существенно выше активность при малом спреде. Рис. 7 — скорости рыночных заявок по размеру спреда, также быстро убывающие с ростом $S$. Рис. 8 — интенсивности отмен сильно зависят от $S$ и зеркалят профили выставления, согласуясь с тем, что почти все лимитки в итоге отменяются (около 99.9%; Таблица 3). Это мотивирует Модель III, в которой все интенсивности явно зависят от $S$.

5.2.4. Среднее число ожидающих заявок

Рис. 9 — усреднённое по времени число ожидающих лимиток на уровнях от одного до десяти тиков от противоположной лучшей котировки. Профили очередей высоко стабильны по четырём неделям. Для каждого спреда лучшая котировка имеет наименьший средний размер очереди; он растёт с глубиной и достигает пика около четырёх–шести тиков, затем снижается и остаётся примерно постоянным глубже.

5.3. Оценка вероятности изменения mid-цены

Анализ симметричен; без потери общности фокусируемся на вероятности роста mid-цены. Модельные вероятности считаются через представление Лапласа Предложения 1 с численным обращением методом COS (разд. A.2). Эмпирическая условная вероятность роста, условно на состоянии $(q_A,q_B,S)$:

где $t_M$ — первое последующее время изменения mid-цены. Оценка на пятидневной выборке 29.06.2021–5.07.2021.

Окна калибровки. Две схемы: (1) калибровка по тому же дню недели — параметры оцениваются по предыдущим четырём вхождениям того же дня недели; (2) скользящее окно — предыдущие пять торговых дней для прогноза следующего понедельника. Для каждой схемы считаем вероятности и с не зависящими, и с зависящими от спреда интенсивностями.

Метрика ошибки. Средняя абсолютная процентная ошибка

Учёт зависимости от спреда в целом улучшает точность. Ни одна схема не доминирует для всех $S$, но скользящее окно с зависящими от спреда интенсивностями даёт наименьший средний MAPE и используется далее. Таблица 5 — эмпирические частоты и модельные вероятности на 5.07.2021. Конфигурации $(q_A,q_B,S)$, наблюдавшиеся менее 100 раз, отбрасываются. Модель воспроизводит эмпирическую монотонность: вероятность роста убывает с $q_A$ и растёт с $q_B$.

Полная таблица с $q_A,q_B\in\{1,\ldots,5\}$ и $S=1,\ldots,5$ — в оригинале, с. 30. Модель сохраняет монотонность по обеим очередям; при $q_A=q_B$ модельная вероятность близка к 50%.

5.4. Оценка fill probability на лучших котировках

Оцениваем условную вероятность, что лимитка на лучшей котировке исполнится до движения mid-цены, по Предложению 2. Поскольку теоретическая величина условна на том, что заявка никогда не отменяется, строим эмпирический прокси: заявки, которые (i) исполнены до любого изменения mid-цены или (ii) остаются активными до движения mid-цены и отменяются только после:

Модельные вероятности — численным обращением Лапласа Предложения 2 методом COS. Таблица 6 — эмпирические и модельные fill probability на 5.07.2021 для $S\in\{1,\ldots,5\}$, только состояния с $\ge 100$ наблюдениями. Модель воспроизводит главные монотонности. Результативность сильнее при малых очередях; при большой лучшей bid-очереди fill probability слегка завышаются. Это ожидаемо: при $q_B>1$ эмпирическая вероятность исполнения обычно ниже 0.5%, что затрудняет точную оценку. Тем не менее каркас даёт податливое и эмпирически разумное приближение краткосрочных вероятностей исполнения на лучших котировках.

Полная таблица для $S=1,\ldots,5$ и $q_A,q_B\in\{1,\ldots,5\}$ — в оригинале, с. 31.

5.5. Оценка fill probability на уровень глубже лучших котировок

Оцениваем fill probability bid-заявки, выставленной на один тик ниже лучшего bid, $p_{B-}=p_B-1$. Как видно в 5.4, эмпирические fill probability пренебрежимы при $W_{B-}>2$; поэтому ограничиваемся $m\in\{1,2\}$ и полагаем вероятность нулевой для $m>2$ (67). Фокус — случаи, когда спред при выставлении равен одному или двум тикам: Модель III там показала лучшую результативность.

Таблица 7 — эмпирическое распределение размера лучшей ask-очереди после нисходящего движения лучшего bid. Для $S=1$ и $S=2$ масса сосредоточена на $q_A\in\{1,2\}$. Усекаем: $P[Q_A(\tau_B^{\mathrm{quote}})=n]=0$ для $n>2$, $N_A=2$. Следуя Cont, De Larrard (2013), используем эмпирические частоты Таблицы 7 как оценки $P[Q_A(\tau_B^{\mathrm{quote}})=n]$.

Таблица 8 — эмпирические и модельные fill probability для заявок в $p_B-1$ при $S=1$ (данные 21.06.2021–2.07.2021). Даже на двух неделях некоторые конфигурации встречаются менее 100 раз и исключаются. Модель улавливает качественную зависимость fill probability на второй лучшей котировке от размеров очередей, со слабой тенденцией завышать исполнение. Это ожидаемо: релевантные вероятности очень малы, и вычисление накапливает ошибки оценки и fill probability лучших котировок, и вероятностей движения mid-цены. Тем не менее каркас остаётся податливым за пределами лучших котировок и даёт модельные fill probability, в целом согласованные с эмпирическими паттернами FX-спот рынка.

Полная таблица для $q_{B-}\in\{1,\ldots,5\}$ и $q_A,q_B\in\{1,\ldots,5\}$ — в оригинале, с. 33.

6. Заключение

Статья строит податливый каркас для вычисления fill probability лимиток, выставленных на разной глубине книги. Книга моделируется как набор взаимодействующих систем массового обслуживания с зависящими от состояния приходами и отменами; интенсивности зависят и от размеров очередей, и от дополнительных стилизованных рыночных факторов. В этой общей постановке выводятся полуаналитические выражения для ключевых вероятностей, связанных с исполнением: вероятностей движения mid-цены и fill probability на лучших котировках и на один уровень глубже.

Мы также показываем, что несколько существующих моделей возникают как частные случаи нашего каркаса, и иллюстрируем практическую результативность методологии на данных FX-спот рынка. Численные результаты указывают, что выведенные формулы остаются вычислительно податливыми и дают оценки fill probability, хорошо согласующиеся с эмпирическими паттернами. Дальнейшие уточнения спецификаций стохастических интенсивностей могут улучшить количественную точность для конкретных рынков; такие расширения оставляются для будущей работы.

Благодарности. Авторы благодарят MN за предоставление данных книги лимитных заявок спот-рынка иностранной валюты, использованных в эмпирических экспериментах.

Приложения

A. Численные методы обращения преобразования Лапласа

A.1. Метод Эйлера

Кратко суммируем метод Эйлера Abate, Whitt (1995) для численного обращения преобразований Лапласа. Метод опирается на представление интеграла Бромвича рядом Фурье и применяет суммирование Эйлера для ускорения сходимости. Формула обращения Бромвича:

где $\gamma>0$ выбрано так, чтобы контур лежал правее всех особенностей $\hat f$. Это переписывается как

Трапеции с шагом $h>0$ дают $f_h(t)$ (71). Удобный выбор $h=\pi/(2t)$, $\gamma=A/(2t)$ приводит к классической формуле обращения Эйлера (72). Если $|f(t)|\le 1$ для всех $t$ (как для функций распределения), ошибка дискретизации $\le e^{-A}/(1-e^{-A})$ (73). Для точности $10^{-\gamma}$ берут $A=\gamma\log 10$; обычное значение $\gamma=8$, $A\approx 18.4$. Для эффективного вычисления Abate, Whitt рекомендуют суммирование Эйлера: взвешенное среднее последних $m$ частичных сумм с биномиальными весами, $E(m,n,t)=\sum_{k=0}^m\binom{m}{k}2^{-m}s_{n+k}(t)$ (75). На практике $m=11$, $n=15$.

A.2. Метод COS

Преобразования Лапласа можно обращать и фурье-техниками. Полагая $s=i\omega$, получаем характеристическую функцию $\hat f(i\omega)=\int_0^\infty e^{-i\omega t}f(t)\,dt$ (76). Это мотивирует метод COS Fang, Oosterlee (2009): целевая функция приближается усечённым фурье-косинусным разложением. Метод обычно даёт экспоненциальную сходимость для гладких плотностей и линейную сложность по числу членов разложения. На конечном интервале $[a,b]$

где штрих означает вес $1/2$ при $k=0$. Коэффициенты выражаются через $\hat f$ (83); усечение на $N$ членах даёт COS-приближение (84). Выбор интервала по Fang, Oosterlee (2009): $[a,b]=[c_1-L\sqrt{c_2+\sqrt{c_4}},\ c_1+L\sqrt{c_2+\sqrt{c_4}}]$ (85), где $L\in[6,12]$, а $c_n$ — кумулянты, получаемые из производящей функции кумулянтов $C_X(t)=\log\hat f(-t)$.

B. Численные методы для цепных дробей

Рассмотрим цепную дробь $f=a_1/(b_1+)\,a_2/(b_2+)\,a_3/(b_3+)\cdots$ (89). $k$-й аппроксимант $f^{(k)}=A_k/B_k$ (90), где числители и знаменатели удовлетворяют одной и той же рекурсии второго порядка $A_k=b_k A_{k-1}+a_k A_{k-2}$, $B_k=b_k B_{k-1}+a_k B_{k-2}$ (91) с $A_0=0$, $A_1=a_1$, $B_0=1$, $B_1=b_1$. Фиксированное $k$ может привести к неустойчивости; вместо этого используем модифицированный метод Ленца (Thompson, Barnett, 1986; Press, Teukolsky, 1988). Определяем отношения $C_k=A_k/A_{k-1}$, $D_k=B_{k-1}/B_k$ (92) с рекурсиями $C_k=b_k+a_k/C_{k-1}$, $D_k=1/(b_k+a_k D_{k-1})$ (93). Аппроксиманты обновляются $f^{(k)}=f^{(k-1)}C_k D_k$ (94). Итерация останавливается при $|C_k D_k-1|<\varepsilon$ (95).

C. Доказательства

C.1. Лемма 1

Пусть $X\sim\mathrm{Exp}(\Lambda)$ независима от $Y$. Тогда $\mathbb{P}[X\wedge Y>t]=e^{-\Lambda t}(1-F_Y(t))$ (96), откуда $F_{X\wedge Y}(t)=1-e^{-\Lambda t}(1-F_Y(t))$ (97). Дифференцирование даёт плотность $f_{X\wedge Y}(t)=e^{-\Lambda t}\bigl(f_Y(t)+\Lambda(1-F_Y(t))\bigr)$ (98). Беря преобразование Лапласа и используя $\int_0^\infty e^{-(s+\Lambda)t}(1-F_Y(t))\,dt=\frac{1}{s+\Lambda}(1-\hat f_Y(s+\Lambda))/(s+\Lambda)$ в соответствующем виде, получаем

что и есть (29).

Литература

1. Abate, J. and Whitt, W. (1992). The Fourier-series method for inverting transforms of probability distributions. Queueing Systems, 10:5–87.
2. Abate, J. and Whitt, W. (1995). Numerical inversion of Laplace transforms of probability distributions. ORSA Journal on Computing, 7(1):36–43.
3. Abate, J. and Whitt, W. (1999). Computing Laplace transforms for numerical inversion via continued fractions. INFORMS Journal on Computing, 11(4):394–405.
4. Arroyo, Á., Cartea, Á., Moreno-Pino, F., and Zohren, S. (2024). Deep attentive survival analysis in limit order books. Quantitative Finance, 24:35–57.
5. Bank for International Settlements (2022). OTC foreign exchange turnover in April 2022.
6. Cartea, Á. and Jaimungal, S. (2015). Optimal execution with limit and market orders. Quantitative Finance, 15(8):1279–1291.
7. Cartea, Á., Jaimungal, S., and Penalva, J. (2015). Algorithmic and High-Frequency Trading. Cambridge University Press.
8. Cho, J.-W. and Nelling, E. (2000). The probability of limit-order execution. Financial Analysts Journal, 56(5):28–33.
9. Cont, R. (2011). Statistical modeling of high-frequency financial data. IEEE Signal Processing Magazine, 28(5):16–25.
10. Cont, R. and de Larrard, A. (2013). Price dynamics in a Markovian limit order market. SIAM Journal on Financial Mathematics, 4(1):1–25.
11. Cont, R., Stoikov, S., and Talreja, R. (2010). A stochastic model for order book dynamics. Operations Research, 58(3):549–563.
12. Crawford, F. W. and Suchard, M. A. (2012). Transition probabilities for general birth–death processes. Journal of Mathematical Biology, 65(3):553–580.
13. Fabre, T. and Ragel, V. (2023). Interpretable ML for high-frequency execution. arXiv:2307.04863. русский перевод.
14. Fang, F. and Oosterlee, C. W. (2009). A novel pricing method for European options based on Fourier-cosine series expansions. SIAM Journal on Scientific Computing, 31(2):826–848.
15. Gross, D. and Harris, C. M. (1998). Fundamentals of Queueing Theory. Wiley.
16. Guéant, O., Lehalle, C.-A., and Fernandez-Tapia, J. (2012). Optimal portfolio liquidation with limit orders. SIAM Journal on Financial Mathematics, 3(1):740–764.
17. Huang, H. and Kercheval, A. N. (2012). A generalized birth–death stochastic model for high-frequency order book dynamics. Quantitative Finance, 12(4):547–557.
18. Huang, W., Lehalle, C.-A., and Rosenbaum, M. (2015). Simulating and analyzing order book data: The queue-reactive model. JASA, 110:107–122.
19. Kim, S. and Kim, H. (2016). A new metric of absolute percentage error for intermittent demand forecasts. International Journal of Forecasting, 32(3):669–679.
20. Lehalle, C.-A., Mounjid, O., and Rosenbaum, M. (2018). Optimal liquidity-based trading tactics. Stochastic Systems, 11(4):368–390.
21. Lo, A. W., MacKinlay, A. C., and Zhang, J. (2002). Econometric models of limit-order executions. Journal of Financial Economics, 65(1):31–71.
22. Lorentzen, L. and Waadeland, H. (2008). Continued Fractions, volume 1. Atlantis Press.
23. Maglaras, C., Moallemi, C. C., and Wang, M. (2022). A deep learning approach to estimating fill probabilities in a limit order book. Quantitative Finance, 22(11):1989–2003.
24. Press, W. H. and Teukolsky, S. A. (1988). Evaluating continued fractions and computing exponential integrals. Computers in Physics, 2(5):88–89.
25. Smith, E., Farmer, J. D., Gillemot, L., and Krishnamurthy, S. (2003). Statistical theory of the continuous double auction. Quantitative Finance, 3(6):1–36.

Перевод выполнен с сохранением структуры, формул и данных оригинала. Полные матрицы Таблиц 5, 6 и 8 ($q_A,q_B\in\{1,\ldots,5\}$, $S=1,\ldots,5$) приведены в оригинале. Оригинал: arXiv:2403.02572 · Lokin, Yu · CC BY 4.0.