Вредят ли крупным трейдерам фронтраннящие HFT?

4/10

Ключевые слова: высокочастотная торговля; прогноз; фронтраннинг; крупный информированный трейдер.

Аннотация

Влияние HFT на крупного трейдера, чью будущую сделку HFT предсказывает. HFT всегда фронтранит. Крупный выигрывает, если (1) достаточно быстрого шума или (2) прогноз HFT достаточно размыт. Два сюрприза: ухудшение точности прогноза HFT может снизить прибыль крупного; при почти нулевом быстром шуме HFT почти ничего не делает — и крупный всё равно страдает.

1. Введение

Фронтраннер угадывает входящий поток крупного, торгует в ту же сторону раньше и закрывается, когда крупный приходит, живя с импакта. Покупка заранее, продажа крупному. Kirilenko et al. (2017): сегодня это в основном HFT. Обычная мудрость: забирают дешёвую ликвидность, дороже крупному. Часть работ — при условиях полезны. Эмпирика двусторонняя, единого вывода нет.

Здесь — расширение Кайла [2]. Оптимально для HFT фронтранить. Полезен крупному, если много быстрого шума; или шума мало, но прогноз неточный. Интенсивность HFT растёт с быстрым шумом и точностью сигнала. Интенсивность и прибыль крупного тоже растут с объёмом быстрого шума. Если сигнал HFT достаточно шумный, крупный гарантированно не пострадал — но его прибыль может падать, когда сигнал HFT становится ещё шумнее: прятать намерение «глубже» не всегда лучше.

Пределы: (1) почти весь шум медленный — HFT бездействует, крупный всё равно хуже; (2) идеальный прогноз и бесконечный быстрый шум — HFT фронтранит максимум половину заявки крупного.

Расширение: HFT видит не $i$, а агрегат $i+u_2$. Тогда всё ещё фронтранит и всегда помогает крупному.

Литература: predatory trading — Brunnermeier–Pedersen (постоянный импакт, вред), Bessembinder et al. (транзиентный импакт, польза в резильентном рынке ≈ много шума). Carlin et al., Schöneborn–Schied. Там хищник знает намерение идеально; здесь — точность сигнала. HFT: Li (2018) прогнозирует сумму informed+noise, IT торгует менее агрессивно; Yang–Zhu (2020) — back-running. Вклад: разный размер быстрого шума и точность, неожиданные знаки.

2. Модель и равновесие

Два периода $t=0,1,2$, вариант Кайла. Актив $v\sim\mathcal N(p_0,\sigma_v^2)$. Участники: конкурентные риск-нейтральные дилеры; нормально-скоростной информированный крупный IT, знает $v$; HFT со сигналом о будущей сделке IT; шумовые трейдеры.

$t=0$: IT шлёт рыночную заявку $i=i(v)$; из-за задержки исполнение только в $t=2$. Сразу после этого HFT видит $\hat i=i+z$, $z\sim\mathcal N(0,\sigma_z^2)$ независимо от $i$. $t=1$: HFT шлёт $x=x(\hat i)$, исполняется сразу; в $t=2$ закрывается ордером $-x$. Шум: $u_1\sim\mathcal N(0,\sigma_1^2)$, $u_2\sim\mathcal N(0,\sigma_2^2)$ независимы. Потоки $y_1=x+u_1$, $y_2=i+u_2-x$. $\sigma_2\gt 0$. Относительные параметры \[ \theta_1=\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2},\qquad \theta_z=\frac{\sigma_z^2}{\sigma_2^2}. \] Дилеры: $p_1=\mathbb E(v\mid y_1)$, $p_2=\mathbb E(v\mid y_1,y_2)$. IT и HFT: \[ i^*=\arg\max_{i(v)}\mathbb E\bigl[(v-p_2)i\bigm|v\bigr],\qquad x^*=\arg\max_{x(\hat i)}\mathbb E\bigl[(p_2-p_1)x\bigm|\hat i\bigr]. \]

3. Основные результаты

$p_0=0$ без потери сути. Случаи $\theta_1\gt 0$ и $\theta_1=0$ раздельно: общего равновесия на границе нет.

3.1. Есть быстрый шум ($\theta_1\gt 0$)

Теорема 1. Единственное равновесие: $x^*=\beta^*\hat i$ с $\beta^*\in(0,1)$ — корень полинома 6-й степени по $\beta$ (уравнение (1) в оригинале, коэффициенты из $\theta_1,\theta_z$); $i^*=\alpha^* v$ с \[ \alpha^*=\frac{\sigma_2}{\sigma_v}\sqrt{\frac{\theta_1+\beta^{*2}\theta_z(\theta_1+1)}{\theta_1(1-\beta^*)^2+\beta^{*2}(\theta_z+1)}}. \] Цены линейны: $p_1=\lambda_1^*(x^*+u_1)$, $p_2=\mu_1^*(x^*+u_1)+\mu_2^*(i^*+u_2-x^*)$; явные $\lambda_1^*,\mu_1^*,\mu_2^*$ — в оригинале.

$\beta^*\in(0,1)$: HFT в $t=1$ в ту же сторону, что IT, в $t=2$ против — фронтраннинг. С HFT $\mathbb E(\pi_{\mathrm{IT}})=\frac{\sigma_v^2}{2}\alpha^*$; без HFT $\mathbb E(\pi_{\mathrm{IT}}^0)=\sigma_2\sigma_v/2$. IT выигрывает при $\alpha^*\gt\sigma_2/\sigma_v$.

Теорема 2. IT в плюсе от HFT, если \[ \theta_1\gt\frac{2\sqrt3-3}{3}\quad(\theta_z\ge 0) \] или при меньшем $\theta_1$ — если $\theta_z$ больше явного порога $\theta_z(\theta_1)$ (формула в оригинале). Иначе IT в минусе. В первой области даже идеальный сигнал не вредит: шума достаточно как укрытия. Во второй — помогает только размытый сигнал; чем больше $\theta_1$, тем меньше нужен шум сигнала.

Предл. 1. $\beta^*$ растёт по $\theta_1$, падает по $\theta_z$. Больше быстрого шума — щит, можно агрессивнее; шумнее сигнал — осторожнее.

Предл. 2. $\alpha^*$ всегда растёт по $\theta_1$. При $\theta_1\ge\tfrac12$ $\alpha^*$ падает по $\theta_z$. При $0\lt\theta_1\lt\tfrac12$ сначала растёт до $\tilde\theta_z=(1-\theta_1-2\theta_1^2)/(3\theta_1)$, потом падает. Сюрприз: если быстрого шума достаточно, делать сигнал HFT шумнее вредит IT. Точный HFT не всегда враг — зависит от шума рынка.

Предл. 3. $\theta_1\to\infty$: $\beta^*$ к корню квинтики; $\alpha^*$ строго больше $\sigma_2/\sigma_v$. $\theta_1\to 0$: $\beta^*\to 0$, но $\alpha^*$ всё ещё меньше классики (явная формула с константами $x=0.3245$, $y=1.3845$). HFT «молчит» — IT всё равно хуже: одно присутствие меняет обучение дилеров.

Следствие 1. Для всех $\theta_1\gt 0$, $\theta_z\ge 0$: $\beta^*\le\tfrac12$, $\alpha^*\le 2\sigma_2/\sigma_v$. HFT не фронтранит больше половины informed-заявки; прибыль IT не больше чем вдвое без HFT. Достигается при $\theta_1=\infty$, $\theta_z=0$.

Предл. 4. $\theta_z\to 0$ — сходится к точному сигналу; $\theta_z\to\infty$: $\beta^*\to 0$, $\alpha^*\to\sigma_2/\sigma_v$, прибыль HFT $\to 0$, импакты $t=1$ исчезают — рынок без HFT.

3.2. Нет быстрого шума ($\theta_1=0$)

Полного равновесия нет. Частичное: при стратегии HFT $x=\beta\hat i$ и фронте IT имеет $\alpha^*=(\sigma_2/\sigma_v)\sqrt{\theta_z/(\theta_z+1)}\lt\sigma_2/\sigma_v$, прибыль HFT ноль. Фронт бьёт IT, себе ничего не даёт. При $\beta=0$ классика $\alpha^*=\sigma_2/\sigma_v$.

4. Численность

Полином 6-й степени без явного корня. Нормировки $\beta^*$, $\mathbb E(\pi_{\mathrm{HFT}})/(\sigma_v\sigma_2/2)$, $\alpha^*/(\sigma_2/\sigma_v)$ зависят только от $(\theta_1,\theta_z)$. Оранжевые линии на рис. 1–4 — мир без HFT. Срезы $\theta_1$ в $[10^{-6},10^{-4}]$, $[10^{-4},10^{-2}]$, $[10^{-2},25]$ при $\theta_z=0.04$. $\beta^*$ и прибыль HFT растут с $\theta_1$ (рис. 1): $u_1$ — щит. IT тоже богатеет с $\theta_1$ (рис. 2): больше $\beta^*$ сильнее импакт в $t=1$, но шум его размывает, и в $t=2$ HFT возвращает ликвидность. При $\theta_1\ge 0.15$ плюсы перевешивают — IT выигрывает от HFT.

Срезы $\theta_z\in[0,25]$ при $\theta_1=0.12,\,0.2,\,1$. $\beta^*$ падает с $\theta_z$. Прибыль HFT при малых $\theta_1$ и $\theta_z$ может расти с шумом сигнала: IT торгует агрессивнее, импакт для HFT больше. IT: два эффекта — меньше импакт $t=1$ vs меньше разделение издержек в $t=2$; знак как в предл. 2 (рис. 4).

5. Когда HFT видит агрегат

Сигнал $\hat y=i+u_2+z$. Снова линейное равновесие, фронт, но IT всегда в плюсе. Прогноз только $i$ даёт меньшую корреляцию $y_1$ и $y_2$, больше $\mu_1$, возможный вред. Li (2018): $\theta_1=0$, stale-дилеры с фиксированными коэффициентами импакта, IT всегда страдает. Здесь дилеры по weak-efficiency и $\theta_1\gt 0$. Результаты дополнительные, не противоречие.

6. Заключение

HFT забирает ликвидность в $t=1$ и возвращает в $t=2$ — двусторонний эффект. Достаточно быстрого шума — даже идеальное обнаружение не вредит. Без укрытия — только если прогноз размыт. Точность сигнала и размер быстрого шума нельзя обсуждать по отдельности.

Литература

1. Kirilenko, A., Kyle, A.S., Samadi, M., Tuzun, T. (2017). The flash crash. Journal of Finance 72(3).
2. Kyle, A.S. (1985). Continuous auctions and insider trading. Econometrica. ↑
3. Brunnermeier, M.K., Pedersen, L.H. (2005). Predatory trading. Journal of Finance 60(4).
4. Bessembinder, H., et al. (2016). Liquidity, resiliency and market quality around predictable trades. JFE 121(1).
5. Carlin, B.I., Lobo, M.S., Viswanathan, S. (2007). Episodic liquidity crises. Journal of Finance 62(5).
6. Schöneborn, T., Schied, A. (2009). Liquidation in the face of adversity.
7. Li, W. High frequency trading with speed hierarchies. SSRN 2365121.
8. Yang, L., Zhu, H. (2020). Back-running. RFS 33(4).
9. Menkveld, A.J. (2016). The economics of high-frequency trading. Annual Review of Financial Economics 8.
10. Baldauf, M., Mollner, J. (2020). High-frequency trading and market performance. Journal of Finance 75(3).

Перевод: полный текст 8 стр. · arXiv:2211.06046 · arxiv nonexclusive-distrib 1.0