Торговля крупными заявками при множественных anticipatory HFT-трейдерах

5/10

Ключевые слова: High-frequency anticipatory trading; Multiple high-frequency traders; Mixed strategy; Randomization; Small informed trader; Round-Tripper.

JEL: G14, G17

Аннотация

Мы исследуем рынок с информированным трейдером (IT) обычной скорости, который может применять смешанную стратегию, и несколькими anticipatory HFT-трейдерами с разным давлением инвентаря в трёхпериодной модели Kyle. Рассматриваются равновесия в чистых и смешанных стратегиях; результаты дают рекомендации по рандомизации IT при разном числе HFT. Возникают неожиданные выводы о прибыли: улучшение скорости или точности прогноза anticipatory-трейдеров может навредить им самим, но помочь IT.

1. Введение

Как отмечено в техническом отчёте SEC [1], высокоавтоматизированные биржевые системы изменили структуру рынка; high-frequency trading — доминирующий компонент по любой метрике. HFT стали контрагентами многих инвесторов и затрагивают почти все аспекты рыночной эффективности. Важный способ заработка и взаимодействия HFT с другими участниками — anticipatory trading. Эмпирически (Kirilenko et al., 2017 [2]; Hirschey, 2020 [3]) HFT прогнозируют order flow не-HFT и торгуют впереди них. Как anticipatory trading влияет на других инвесторов и как им отвечать — широко обсуждаемые вопросы в науке и индустрии.

Yang and Zhu (2020) [4] — краеугольный камень литературы о рандомизации крупных заявок против anticipatory trading: back-runners извлекают информацию из прошлых informed-ордеров и используют её в последующей торговле. Informed-трейдер может добавить эндогенный шум в заявки, чтобы сбить back-runners, если их сигнал о потоке достаточно точен. [4] теоретически доказывает, что рандомизация весьма вероятна; серия эмпирических работ это подтверждает: Sağlam (2020) [5] — encryption strategies крупных трейдеров; Gu et al. (2021) [6] — маскировка insider-ордеров через splitting; Broggard et al. (2022) [7] — несколько брокеров против утечки информации; Chakrabarty et al. (2022) [8] — hidden orders.

Как показали Roşu (2019) [9] и Xu and Cheng (2023) [10], в зависимости от inventory aversion HFT могут применять два типа anticipatory-стратегий — Small-IT и Round-Tripper в [10]. Оба торгуют в том же направлении, что и прогнозируемый ордер, заранее. Когда прогнозируемый ордер приходит, Round-Tripper торгует в противоположном направлении и возвращает ликвидность (сильнее ограничен инвентарём), а Small-IT продолжает забирать ликвидность.

В работе моделируется равновесие между крупным informed-трейдером (IT), несколькими anticipatory HFT и конкурентными risk-neutral дилерами: IT может маскировать заявку рандомизацией, HFT управляют инвентарём. Исследуются равновесия при разных условиях и даётся теоретическое руководство по ответу крупного трейдера на HFT.

Взаимодействие IT и HFT — через трёхпериодную модель Kyle [11]. IT торгует дважды; после первой сделки HFT прогнозируют второй ордер и опережают его. HFT могут играть роль Small-IT, Round-Tripper или обе; IT может рандомизировать. В зависимости от параметров существует равновесие в смешанной или чистой стратегии.

По сравнению с back-runners в [4], торгующими один раз вместе со вторым ордером IT, anticipatory-трейдеры здесь быстрее. Поведение Round-Tripper принципиально отличается от back-runners: они поставляют ликвидность для второй сделки IT. Small-IT забирают ликвидность как back-runners, но большая скорость сильнее склоняет IT к смешанной стратегии: область смешанного равновесия расширяется, IT добавляет больше шума. Неожиданно, хотя anticipatory-трейдеры становятся быстрее, их прибыль может снизиться, а прибыль IT — вырасти в области смешанной стратегии. Более точный прогноз может снизить прибыль HFT и повысить прибыль IT — аналогичный эффект есть в [4], но здесь он встречается при меньшем числе anticipatory-трейдеров. Теоретически доказано: при стремлении объёма high-speed noise trading к нулю Small-IT отказываются от преимущества скорости, и равновесие сходится к равновесию с back-runners.

Когда все HFT — Round-Tripper, описанные эффекты сохраняются. При малом high-speed noise рынок недостаточно «укрывает» IT; рост точности сигнала HFT вынуждает её торговать пассивнее — меньше price impact для прибыли HFT. При обильном high-speed noise рынок даёт IT укрытие; более точный сигнал делает HFT более готовыми поставлять ликвидность и может повысить прибыль IT.

Изучено влияние числа HFT. Если не более 3 HFT и все — Round-Tripper, IT всегда выбирает чистую стратегию при достаточно активном рынке — независимо от точности сигнала HFT. Если все HFT — Small-IT с точными сигналами, их число не влияет на стратегию IT: IT всегда смешивает. При обоих типах HFT IT рандомизирует меньше при большей доле Round-Tripper; рандомизация не нужна лишь когда не более 3 HFT и все Round-Tripper. Следовательно, IT должна смешивать, если HFT больше 3.

На рынке с обоими типами HFT при снижении high-speed noise до определённого уровня HFT с малыми inventory constraints могут стать «inverse Round-Tripper»: поставляют ликвидность в preemptive-торговле и потребляют её позже.

По сравнению с параллельной литературой (раздел 2), вклад — систематическое исследование равновесий между крупным трейдером со смешанной стратегией и несколькими HFT с inventory pressure в динамической модели Kyle; изучены типы, число, состав и скорость HFT; даны рекомендации по рандомизации крупного трейдера.

Структура: раздел 2 — связанная литература; раздел 3 — модель; раздел 4 — равновесия с Small-IT, Round-Tripper или обоими типами; раздел 5 — заключение. Все доказательства — в приложении (PDF).

2. Связанная литература

Работа относится к рандомизации ордеров informed-трейдера (Huddart, Hughes and Levine, 2001 [12]; Buffa, 2013 [13]; Yang and Zhu, 2020 [4]), но смешанная стратегия здесь направлена на сбивание anticipatory HFT, а не на требования раскрытия, как в [12] и [13]. В отличие от [4], где anticipatory-трейдеры (back-runners) имеют ту же скорость, что IT, здесь HFT опережают IT и управляют инвентарём.

Работа связана с теорией anticipatory trading: Brunnermeier and Pedersen (2005) [14], Li (2018) [15], Roşu (2019) [9], Baldauf and Mollner (2020) [16], Xu and Cheng (2023) [10]. Ближе всего [10]: только чистое равновесие и один HFT; здесь — чистые и смешанные равновесия с несколькими HFT.

Сравнение Small-IT и back-runner в [4] показывает, что скорость в anticipatory trading важна. Roşu (2019) [9] — инвесторы с разной скоростью обработки информации; Baldauf and Mollner (2020) [16] — snipers и dealers реализуют aggressive и passive order anticipation. Здесь быстрая торговля Small-IT и Round-Tripper — aggressive anticipation; liquidity provision Round-Tripper — passive anticipation.

Работа также связана с моделированием HFT: Hoffmann (2014) [17], Budish, Cramton and Shim (2015) [18], Foucault, Hombert and Roşu (2016) [19], Baldauf and Mollner (2020) [16], обзор Menkveld (2016) [20].

3. Модель и равновесие

Четыре момента времени: $t = 0, 1, 2$ — обычные торговые моменты; $t = 1^+ \in (1, 2)$ — момент, когда HFT опережают трейдеров обычной скорости.

Рисковый актив торгуют: конкурентные risk-neutral дилеры, крупный informed-трейдер (IT) обычной скорости, $J$ HFT с inventory aversion $\{\gamma_j\}_{j=1}^J$ и noise traders.

Истинная стоимость актива $v$ нормально распределена:

и раскрывается после $t = 2$.

IT получает сигнал $v$ при $t = 0$. Чтобы снизить market impact, она делит сделку на два дочерних ордера $i_1$ и $i_2$: $i_1$ подаётся после $t=0$ при известном $v$ и исполняется при $t=1$; $i_2$ — после исполнения $i_1$ и завершается при $t=2$.

После сделки $i_1$ HFT детектируют торговлю IT и получают информацию. $j$-й HFT получает сигнал:

где $\varepsilon_j \sim N(0, \sigma_{\varepsilon_j}^2)$ независимы друг от друга и от прочих случайных величин. Полагаем $\sigma_{\varepsilon_j} = \sigma_\varepsilon$, $j = 1, \ldots, J$: HFT сходны в способности получать информацию. Утечка информации о child orders — обычное явление (Sağlam, 2020 [5]).

Благодаря скорости HFT торгуют дважды в $(1, 2]$ — при $t = 1^+$ и $t = 2$; ордера $j$-го HFT: $x_1^j$ и $x_2^j$.

Замечание 1. IT медленнее HFT: возможны задержки исполнения — (1) submission delay: ордер отправлен в $(1, 1^+)$, но доходит до биржи лишь при $t=2$ (Baldauf and Mollner, 2020 [16]); (2) information delay: IT получает $y_1$ для решения по $i_2$ после $t=1^+$ (Foucault, Hombert and Roşu, 2016 [19]). Следовательно, $i_2$ может быть подан до или после $t=1^+$, но не исполнен раньше $t=2$.

Ордера IT и HFT сопровождаются noise orders: $u_1 \sim N(0, \sigma_1^2)$, $u_{1^+} \sim N(0, \sigma_{1^+}^2)$, $u_2 \sim N(0, \sigma_2^2)$ — независимы. $\sigma_1, \sigma_{1^+}, \sigma_2 \gt 0$. Order flow:

Определение 1. Равновесие — набор стратегий дилеров, IT и HFT $\{p_1, p_{1^+}, p_2, i_1, i_2, \{x_1^j\}_{j=1}^J, \{x_2^j\}_{j=1}^J\}$, такой что:

1. При заданных стратегиях IT и HFT дилеры выставляют цены по правилу weak efficiency: $p_1 = E(v|y_1)$, $p_{1^+} = E(v|y_1, y_{1^+})$, $p_2 = E(v|y_1, y_{1^+}, y_2)$.
2. При заданных ценах и стратегиях HFT: (a) в $(1, 2)$ IT максимизирует ожидаемую прибыль второго этапа $i_2^* = \arg\max E(\pi_2^{IT}|v, i_1, y_1)$, $\pi_2^{IT} = (v - p_2)i_2$; (b) в $(0, 1)$ в смешанном равновесии IT безразлична между реализациями чистых стратегий; в чистом — максимизирует суммарную ожидаемую прибыль $i_1^* = \arg\max E(\pi_1^{IT} + \pi_2^{IT}|v)$, $\pi_1^{IT} = i_1(v - p_1)$.
3. При заданных ценах и стратегии IT: (a) в $(1^+, 2)$ $j$-й HFT максимизирует $E(\pi_{2j}^{HFT} - \gamma_j(x_1^j + x_2^j)^2|\tilde{i}_1^j, y_1, y_{1^+})$; (b) в $(1, 1^+)$ — $E(\pi_{1j}^{HFT} + \pi_{2j}^{HFT} - \gamma_j(x_1^j + x_2^j)^2|\tilde{i}_1^j, y_1)$, где $\pi_{1j}^{HFT} = (v - p_{1^+})x_1^j$, $\pi_{2j}^{HFT} = (v - p_2)x_2^j$.

Решение — метод conjecture and verify. В смешанном равновесии conjecture:

где $z \sim N(0, \sigma_z^2)$ — эндогенный шум IT; $\sigma_z = 0$ в чистом равновесии.

Для $x_2^j$ первый член — опора на сигнал $\tilde{i}_1^j$; второй — корректировка на информацию других при $t=1^+$; третий — inventory penalty и собственная торговля HFT. $y_{1^+}$ и $y_2$ независимы от $y_1$, но $y_2$ зависит от $y_{1^+}$, поскольку preemptive-сделки HFT уже содержат часть информации в $y_2$.

Стратегии $j$-го HFT также записываются как $x_1^j = \beta_{1j}(i_1 - E(i_1|y_1)) + \beta_{1j}\varepsilon_j$ и линейная форма для $x_2^j$ через $(i_1 - E(i_1|y_1))$, $\varepsilon_j$ и шумы. Коэффициенты $\beta_{1j}$ и $\beta_{21j} + \beta_{22j}\sum_{k \neq j}\beta_{1k} + \beta_{23j}\beta_{1j}$ задают направления $x_1^j$ и $x_2^j$; при положительном коэффициенте HFT склонна торговать в том же направлении, что IT.

Полезные безразмерные параметры:

$\theta_{1^+}$ — относительный размер рынка при $1^+$ и мера high-speed noise trading.

4. Основные результаты

Котировки дилеров. Конкурентные risk-neutral дилеры выставляют цены как условные ожидания $v$.

При $t=1$: $p_1 = p_0 + \lambda_1 y_1$, где

При $t=1^+$, когда исполняются ордера HFT $\{x_1^j\}$, $p_{1^+} = p_1 + \lambda_{1^+} y_{1^+}$, где $\lambda_{1^+}$ выражается через корреляции $v$ и $y_{1^+}$ и дисперсию $\sigma_{y_{1^+}}^2$ (формула (3) в оригинале).

При $t=2$, когда исполняются $i_2$ и $\{x_2^j\}$, $p_2 = p_1 + \lambda_{21} y_{1^+} + \lambda_{22} y_2$. Коэффициенты $\lambda_{21}$ и $\lambda_{22}$ — из (4) и (5) через корреляции $(v, y_{1^+})$, $(v, y_2)$, $(y_{1^+}, y_2)$. Вспомогательные величины $\kappa_1$, $\kappa_2$, $\kappa_3$ агрегируют коэффициенты стратегий IT и HFT; $\sigma_{y_{1^+}}^2$, $\sigma_{y_2}^2$, $\mathrm{Cov}(y_{1^+}, y_2)$, $\mathrm{Cov}(v, y_{1^+})$, $\mathrm{Cov}(v, y_2)$ и коэффициенты корреляции $\rho(\cdot,\cdot)$ определены в оригинале явно.

Стратегии HFT. При заданных котировках и стратегии IT целевая функция $j$-го HFT в периоде 2 — ожидаемая прибыль минус штраф за инвентарь; она квадратична по $x_2^j$ и максимизируется при $\lambda_{22} + \gamma_j \gt 0$ (SOC (6)) в точке $x_2^j = \beta_{21j}(\tilde{i}_1^j - E(\tilde{i}_1^j|y_1)) + \beta_{22j}(\sum_{k \neq j} x_1^k + u_{1^+}) + \beta_{23j} x_1^j$, где $\beta_{21j}$, $\beta_{22j}$, $\beta_{23j}$ — (7)–(9) через матрицу $\Sigma_j$ и её обратную. В периоде $1^+$ аналогично: $x_1^j = \beta_{1j}(\tilde{i}_1^j - E(\tilde{i}_1^j|y_1))$ при SOC (11); $\beta_{1j}$ — (12).

Стратегии IT. В периоде 2 $i_2 = \alpha_{21}(v - E(v|y_1)) + \alpha_{22}(i_1 - E(i_1|y_1))$ при $\lambda_{22} \gt 0$ (13), где

В периоде 1 в смешанном равновесии ($\sigma_z \gt 0$) условия безразличности (16)–(17); в чистом ($\sigma_z = 0$) — максимизация при SOC (18) и $\alpha_1$ из (19).

Равновесие. Смешанное равновесие определяется системой равенств и неравенств (2)–(17) и SOC (6), (11), (13); чистое — (2)–(15), (19) и SOC (6), (11), (13), (18). При заданных $\sigma_v$, $\sigma_1$ равновесие зависит только от безразмерных величин (20): $\Lambda_1, \Lambda_{1^+}, \Lambda_{21}, \Lambda_{22}, A_1, \theta_z, A_{21}, \alpha_{22}$, $\{\beta_{1j}, \beta_{21j}, \beta_{22j}, \beta_{23j}\}_{j=1}^J$.

Подробные формулы котировок, коэффициентов стратегий и условий второго порядка приведены в оригинале; доказательства — в приложении (PDF).

4.1. Small-IT и Round-Tripper

Предполагаем одного HFT и показываем, что в равновесии она может играть роль Small-IT или Round-Tripper. Теорема 1 упрощает условия равновесия (системы (22)–(28) в оригинале).

Если HFT в обеих сделках торгует в том же направлении, что IT, и накапливает позиции — Small-IT. Если сначала в том же, затем в противоположном направлении — Round-Tripper (контроль инвентаря и эксплуатация price impact). Понятия из Xu and Cheng (2023) [10]; текущая постановка — расширение [10] с смешанными стратегиями IT.

Теорема 2. Для любых $\theta_{1^+}, \theta_2 \gt 0$, $\theta_\varepsilon \geq 0$ существует критическое $\bar{\Gamma}$: при $\Gamma \in [0, \bar{\Gamma})$ HFT — Small-IT; при $\Gamma \in [\bar{\Gamma}, \infty]$ — Round-Tripper.

Без потери общности для накопления позиций полагаем $\Gamma = 0$, для контроля инвентаря — $\Gamma = \infty$. На рынке $J_1 \geq 0$ HFT с $\Gamma = 0$ и $J_2 \geq 0$ с $\Gamma = \infty$. Эмпирически (Kirilenko et al., 2017 [2]) быстрые трейдеры делятся на «opportunistic» и «high-frequency».

Предложение 1. При $\Gamma = \infty$: $\beta_{21} = \beta_{22} = 0$, $\beta_{23} = -1$; равновесие совпадает с максимизацией $x_1^* = \arg\max E(x_1(p_2 - p_{1^+})|\tilde{i}_1, y_1)$ — HFT обязана закрыть позиции в периоде 2.

В §4.2–4.4 — три рынка: все Small-IT, все Round-Tripper, оба типа; для каждого — теорема упрощения и численное решение.

4.2. Рынок с Small-IT

$J_1 = J \geq 1$, $J_2 = 0$. В равновесии $j$-й HFT:

Теорема 3 упрощает равновесие (системы (30)–(33)). Численно: $\theta_{1^+} \in (0, 1]$, $\theta_2 = 1$; $J \leq 10$ (van Kervel and Menkveld, 2019 [21]).

Поведение Small-IT близко к back-runners [4], но с более высокой частотой: они опережают будущий ордер $i_2$. На рис. 2–13 синие и оранжевые (зелёные и красные) линии — смешанное и чистое равновесие IT против Small-IT (back-runner).

$\theta_{1^+} = 10^{-4}$ — мало high-speed noise; быстрая торговля $x_1$ дорога, Small-IT почти отказывается от гонки скорости — результаты близки к [4]. При росте $\theta_{1^+}$ (рис. 2) IT усиливает рандомизацию $\theta_z$ и расширяет область смешанной стратегии: при ускорении противников нужна более изощрённая рандомизация.

На рис. 3: когда оба равновесия (Small-IT и back-runner) в смешанной области, ускорение anticipatory-трейдера повышает прибыль IT. Дополнительная same-direction торговля $x_1$ и рост $\theta_z$ удорожают исполнение, но больший $\theta_z$ затрудняет Small-IT извлечение $v$ из $\tilde{i}_1$ — она консервативнее во 2-м периоде; если второй эффект доминирует, IT выигрывает. В чистой области ускорение, ожидаемо, снижает прибыль IT.

На рис. 4 anticipatory-трейдер выигрывает от скорости. При росте $\theta_\varepsilon$ прибыль IT растёт (меньше эндогенного шума — точнее эксплуатация private information); у anticipatory-трейдера сигнал грубеет и прибыль падает.

При $J=2$ картина сохраняется: рост скорости расширяет смешанную область и $\theta_z$; при точных сигналах IT с Small-IT прибыльнее (рис. 5–6).

На рис. 7 (a): при малых $\theta_{1^+}$ и $\theta_\varepsilon$ ускорение снижает прибыль anticipatory-трейдеров — preemptive trading дорог, точный сигнал заставляет IT добавлять шум. Синие линии в (b), (c): при умеренном $\theta_\varepsilon$ прибыль Small-IT растёт с $\theta_\varepsilon$ — меньше помех от эндогенного шума IT; эффект в [4] при $J \geq 4$, здесь при $J=2$.

При $J=3$ в смешанном равновесии прибыль IT сначала падает с $\theta_\varepsilon$, затем растёт ([4] — при $J \geq 6$): ускорение делает $\theta_z$ чувствительнее к шуму сигнала.

$J=10$ подтверждает выводы: (1) IT смешивает сильнее и может быть прибыльнее в смешанной области, но хуже в чистой; (2) anticipatory-трейдер выигрывает в чистой области, но при малых $\theta_{1^+}$, $\theta_\varepsilon$ в смешанной может проигрывать; (3) немонотонность прибыли IT и anticipatory-трейдера по $\theta_\varepsilon$ наступает при меньшем $J$, чем в [4].

4.3. Рынок с Round-Trippers

$J_2 = J \geq 1$, $J_1 = 0$. Теорема 4: все HFT — Round-Tripper, сначала забирают ликвидность, затем возвращают её:

Равновесие — системы (34)–(37). Зависит от $\theta_{1^+}$ и $\theta_\varepsilon$.

• При $J \geq 1$, $\theta_{1^+} \gt 0$ существует порог $\underline{\theta}_\varepsilon$: если $\theta_\varepsilon \gt \underline{\theta}_\varepsilon$, то $\theta_z = 0$.
• При $J \geq 1$, $\theta_\varepsilon \geq 0$ существует порог $\underline{\theta}_{1^+}$: если $\theta_{1^+} \gt \underline{\theta}_{1^+}$, то $\theta_z = 0$.
• При $J \geq 1$ существует $\bar{\theta}_{1^+}$: если $\theta_{1^+} \gt \bar{\theta}_{1^+}$, то $\theta_z = 0$ для любого $\theta_\varepsilon$. При $J \leq 3$, $\bar{\theta}_{1^+} \in (0, 1)$.

При малом числе Round-Tripper и активном рынке IT не нужно рандомизировать даже при идеальном прогнозе HFT; при большом $J$ смешанная стратегия предпочтительнее.

• При $J \geq 1$, $\theta_{1^+} \gt 0$: пороги $\tilde{\theta}_\varepsilon$, $\hat{\theta}_\varepsilon$ — IT выигрывает от Round-Tripper при $\theta_\varepsilon \gt \tilde{\theta}_\varepsilon$; при $\theta_\varepsilon \gt \hat{\theta}_\varepsilon$ прибыль IT убывает с $\theta_\varepsilon$.
• При $J \geq 1$, $\theta_\varepsilon \geq 0$: порог $\tilde{\theta}_{1^+}$ — IT выигрывает при $\theta_{1^+} \gt \tilde{\theta}_{1^+}$; прибыль IT всегда растёт с $\theta_{1^+}$.

При дефиците high-speed noise IT выигрывает только если $\sigma_\varepsilon \gt 2\sigma_1$ — почти нереалистично; Round-Tripper в основном вредят IT. При активном high-speed noise Round-Tripper помогают IT даже при идеальном прогнозе; дальнейший рост $\theta_\varepsilon$ может снизить готовность поставлять ликвидность и уменьшить прибыль IT.

Прибыль Round-Tripper растёт с $\theta_{1^+}$. При малых $\theta_\varepsilon$ она сначала растёт, затем падает с $\theta_\varepsilon$ — IT торгует агрессивнее, сигнал точнее, impact profitable; менее точный сигнал может быть выгоднее Round-Tripper. При $J \geq 5$ прибыль сначала растёт при любом рыночном режиме.

4.4. Рынок с обоими типами HFT

$J_1 \geq 1$, $J_2 \geq 1$, всего $J = J_1 + J_2$. Для $j \leq J_1$ — стратегии Small-IT; для $j \geq J_1 + 1$: $x_1^j = \beta_{12}(\tilde{i}_1^j - E(\tilde{i}_1^j|y_1))$, $x_2^j = -x_1^j$. Теорема 5 — системы (38)–(43).

При $J=2$ и всех Round-Tripper IT всегда чистая стратегия (§4.3); при наличии Small-IT нужна смешанная. IT расширяет смешанную область и усиливает эндогенный шум с ростом доли Small-IT. При $J \gt 3$ рандомизация рекомендуется независимо от типов HFT.

IT в среднем прибыльнее и чаще выигрывает при большей доле Round-Tripper, кроме случаев очень точных сигналов HFT. Individual Small-IT выигрывает при большей доле Round-Tripper (точнее сигнал, больше ликвидности от Round-Tripper). Тренд прибыли Round-Tripper при малых $\theta_\varepsilon$ меняется: без Small-IT рост $\theta_\varepsilon$ выгоден; с Small-IT выгода «меньше эндогенного шума» делится с Small-IT — прибыль Round-Tripper падает.

HFT без inventory constraint не всегда Small-IT: при обоих типах и малом $\theta_{1^+}$ Small-IT может стать «inverse Round-Tripper» — противоположное направление при $t=1^+$, то же при $t=2$. Причина: быстрая торговля дорога при малом $\theta_{1^+}$; Round-Tripper должны закрыть позиции; прочие HFT сначала поставляют ликвидность Round-Tripper, затем откупают.

При обоих типах HFT существует ещё одно критическое $\theta_{1^+}$: ниже него равновесие не существует (рис. 23).

4.5. Равновесие при $\theta_{1^+} \to 0$

Исследуем предельное равновесие при малом high-speed noise. Из рис. 23 предел с обоими типами не существует; рассматриваем только Small-IT или Round-Tripper — есть аналитика.

Предложение 2. При $J_1 = J \geq 1$, $J_2 = 0$, $\theta_{1^+} \to 0$ (почти наверняка): $x_1^j \to 0$, $x_2^j \to \beta_{21}(\tilde{i}_1^j - E(\tilde{i}_1^j|y_1))$; цены и стратегии IT сходятся к формам с $\lambda_1$, $\lambda_{22}$; в смешанном равновесии явные $\theta_z$, $A_1$, $A_{21}$, $\alpha_{22}$, $\beta_{21}$, $\Lambda_1$, $\Lambda_{22}$ — см. оригинал. Смешанное (чистое) равновесие совпадает с back-runners в Proposition 3 (4) Yang and Zhu (2020) [4]: Small-IT теряют преимущество скорости.

Предложение 3. При $J_2 = J \geq 1$, $J_1 = 0$, $\theta_{1^+} \to 0$: HFT почти бездействуют, $p_{1^+} \to p_1$; существует $\zeta = \zeta(\theta_\varepsilon, J)$ с $\lim_{\theta_{1^+} \to 0} \beta_{12}/\sqrt{\theta_{1^+}} = \zeta(\theta_\varepsilon, J)$; смешанное и чистое равновесия — системы для $(A_1, \theta_z)$ или $(\Lambda_{22}, A_1, \alpha_{22})$ в оригинале.

Замечание 2. Предложение 2 эквивалентно равновесию с back-runners в [4].

5. Заключение

Моделируются взаимодействия между informed-трейдером обычной скорости и несколькими anticipatory HFT, прогнозирующими будущий ордер IT по истории и торгующими впереди неё. HFT — Small-IT или Round-Tripper в зависимости от inventory aversion. IT может добавлять эндогенный шум и применять смешанную стратегию.

Рекомендации по рандомизации IT: (1) с ускорением anticipatory-трейдеров расширять область и интенсивность рандомизации; (2) при более чем 3 HFT предпочтительна смешанная стратегия независимо от ролей HFT; (3) рандомизация не нужна лишь когда high-speed noise очень активен и не более 3 HFT, все Round-Tripper.

Литература

• [1] Securities and Exchange Commission. Concept release on equity market structure. Technical report, Securities and Exchange Commission, 2010.
• [2] Andrei Kirilenko, Albert S. Kyle, Mehrdad Samadi, and Tugkan Tuzun. The flash crash: High frequency trading in an electronic market. The Journal of Finance, 72(3), 2017.
• [3] Nicholas Hirschey. Do high-frequency traders anticipate buying and selling pressure? Management Science, 67(6):3321–3345, 2021.
• [4] Liyan Yang and Haoxiang Zhu. Back-running: Seeking and hiding fundamental information in order flows. The Review of Financial Studies, 33(4):1484–1533, 2020.
• [5] Mehmet Sağlam. Order anticipation around predictable trades. Financial Management, 49(1):33–67, 2020.
• [6] Dingwei Gu, Xin Liu, Hanwen Sun, and Huainan Zhao. Strategic insider trading: Disguising order flows to escape trading competition. Journal of Corporate Finance, 67:101891, 2021.
• [7] Jonathan Brogaard, Dan Li, Matthew Ma, Ryan Riordan, and Bart Zhou Yueshen. Preventing information leakage. Available at SSRN 3353501, 2022.
• [8] Bidisha Chakrabarty, Terrence Hendershott, Samarpan Nawn, and Roberto Pascual. Order exposure in high frequency markets. Available at SSRN 3074049, 2022.
• [9] Ioanid Roşu. Fast and slow informed trading. Journal of Financial Markets, 43:1–30, 2019.
• [10] Ziyi Xu and Xue Cheng. The effects of high-frequency anticipatory trading: Small informed trader vs. round-tripper. arXiv preprint arXiv:2304.13985, 2023.
• [11] Albert S Kyle. Continuous auctions and insider trading. Econometrica: Journal of the Econometric Society, pages 1315–1335, 1985.
• [12] Steven Huddart, John S Hughes, and Carolyn B Levine. Public disclosure and dissimulation of insider trades. Econometrica, 69(3):665–681, 2001.
• [13] Andrea M Buffa. Insider trade disclosure, market efficiency, and liquidity. Market Efficiency, and Liquidity (May 2013), 2013.
• [14] Markus K Brunnermeier and Lasse Heje Pedersen. Predatory trading. The Journal of Finance, 60(4):1825–1863, 2005.
• [15] Wei Li. High frequency trading with speed hierarchies. Available at SSRN 2365121, 2018.
• [16] Markus Baldauf and Joshua Mollner. High-frequency trading and market performance. The Journal of Finance, 75(3):1495–1526, 2020.
• [17] Peter Hoffmann. A dynamic limit order market with fast and slow traders. Journal of Financial Economics, 113(1):156–169, 2014.
• [18] Eric Budish, Peter Cramton, and John Shim. The high-frequency trading arms race: Frequent batch auctions as a market design response. The Quarterly Journal of Economics, 130(4):1547–1621, 2015.
• [19] Thierry Foucault, Johan Hombert, and Ioanid Roşu. News trading and speed. The Journal of Finance, 71(1):335–382, 2016.
• [20] Albert J Menkveld. The economics of high-frequency trading: Taking stock. Annual Review of Financial Economics, 8:1–24, 2016.
• [21] Vincent Van Kervel and Albert J Menkveld. High-frequency trading around large institutional orders. The Journal of Finance, 74(3):1091–1137, 2019.

Оригинал статьи: Xu and Cheng, «Trading Large Orders in the Presence of Multiple High-Frequency Anticipatory Traders», arXiv:2403.08202