Монте-Карло для торговли в рамках возврата к среднему с драйвером-процессом Леви

5.5/10

Ключевые слова: парный трейдинг, симуляция Монте-Карло, процесс Леви, процесс Орнштейна — Уленбека, возврат к среднему, гамма-дисперсионный процесс.

Аннотация

Мы представляем подход Монте-Карло к парному трейдингу на спредах с возвратом к среднему, моделируемых процессами Орнштейна — Уленбека с драйвером-процессом Леви. В частности, мы сосредоточены на использовании гамма-дисперсионного (variance gamma) драйвера — чисто скачкообразного процесса бесконечной активности, — что допускает более гибкие модели ценового спреда, чем доступны в классической модели. Однако это обобщение достаётся ценой отсутствия аналитических формул, поэтому мы применяем методы Монте-Карло для определения оптимальных торговых уровней и разрабатываем технику снижения дисперсии с помощью контрольных переменных. В рамках этого подхода мы численно исследуем, как оптимальные торговые стратегии зависят от параметров модели. Кроме того, мы распространяем метод на двумерные спреды, моделируемые слабым альфа-гамма-дисперсионным драйвером, и изучаем влияние корреляции на такие сделки.

1. Введение

Многие эмпирические исследования продемонстрировали примеры спредов с возвратом к среднему на различных рынках. Они могут порождаться длинными и короткими позициями в акциях и ETF (Гатев и соавторы, 2006; Авельянеда и Ли, 2010; Хук и Афавубо, 2015), фьючерсными контрактами (Бреннан и Шварц; Дай и соавторы), физическими товарами и товарными ETF (Канамура и соавторы, 2010; Люн и Ли, 2016), а также криптовалютами (Люн и Нгуен, 2019).

Другой популярный подход — метод стохастического спреда — улавливает поведение траектории спреда через стохастический процесс с возвратом к среднему. Имея процесс спреда с возвратом к среднему, мы рассматриваем задачу парного трейдинга: извлечение торговых сигналов из модели на основе идеи, что сделку следует открывать, когда спред далёк от среднего, и закрывать, когда он к среднему возвращается, — так что трейдер зарабатывает на склонности процесса возвращаться к среднему. Построение спредов и извлечение сигналов выводятся из анализа базовой модели. Например, Эллиотт и соавторы (2005) предлагают гауссовскую марковскую цепь с возвратом к среднему для описания динамики спреда: оценки модели сопоставляются с наблюдениями спреда для принятия торговых решений. Они решают задачу оптимальной двойной остановки, чтобы проанализировать выбор моментов входа и выхода с учётом транзакционных издержек.

Наиболее заметно для моделирования спредов в парном трейдинге применялись процессы Орнштейна — Уленбека (ОУ). Для классических ОУ-процессов, движимых броуновским движением, решения задачи парного трейдинга в замкнутой форме получены в работах Люна и Ли (2015) и Липтона и Лопеса де Прадо (2020).

Процессы Леви широко применяются в финансах для моделирования ценовых процессов со скачками (Конт и Танков, 2004; Схаутенс, 2003), что приводит нас к моделированию ценовых спредов со скачками. Такие модели Леви часто дают лучшую подгонку, чем модели на броуновском движении (Мадан и соавторы, 1998; Михаэльсен и Шимайер, 2018; Схаутенс, 2003). Скачки могут возникать и из-за трудных для заимствования акций (Авельянеда и Липкин, 2009) или неликвидных бумаг (Гардини и соавторы, 2022). Это мотивирует выход за пределы классических ОУ-процессов к процессам Орнштейна — Уленбека с драйвером-процессом Леви (LDOUP) для моделирования спредов с возвратом к среднему и скачками.

LDOUP применялись и в других областях математических финансов: моделирование стохастической волатильности (Барндорф-Нильсен и Шепард, 2001), цен на энергоносители и энергетических деривативов (Бент и Шмек, 2014; Камминс и соавторы, 2018; Сабино, 2020), кредитного риска (Карибони и Схаутенс, 2009) и других. LDOUP обладают повышенной гибкостью в улавливании асимметрии, эксцесса и зависимости в многомерной постановке. Параметрическое оценивание LDOUP методом максимального правдоподобия рассматривалось в одномерном и многомерном случаях Вальдивьесо и соавторами (2009) и Лу (2022) соответственно, и эти методы применимы для подгонки LDOUP к спредам. Однако в контексте парного трейдинга LDOUP применялись с ограничением драйвера до сложных пуассоновских процессов с двойными экспоненциальными скачками. Такая постановка используется потому, что Боровков и Новиков (2008) вывели аналитическую формулу для ожидаемого времени выхода, опирающуюся на свойство отсутствия памяти у экспоненциальных скачков для работы с перелётами (overshoots). Без этого допущения перелёты представляют трудное техническое препятствие для нахождения аналитических формул времён прохождения уровней в общем случае, что требует преодоления методами Монте-Карло. Опираясь на Боровкова и Новикова, Ву и соавторы (2020) дают аналитическую функцию ценности для парного трейдинга, а Эндрес и Штюбингер (2019) используют их формулу, игнорируя перелёты, для эмпирического исследования оптимального парного трейдинга.

В этой работе мы обсуждаем каркас парного трейдинга с использованием LDOUP для моделирования спреда с возвратом к среднему, который работает с любым LDOUP, поддающимся симуляции. В частности, мы сосредоточены на гамма-дисперсионном драйвере — броуновском движении с изменённым временем, чисто скачкообразном процессе Леви бесконечной активности с параметрами асимметрии и эксцесса. Благодаря этому драйверу указанные свойства переходят к LDOUP, позволяя строить более гибкие модели ценового спреда, чем в классической ОУ-модели, — в отличие от рассматривавшихся ранее процессов конечной активности. Однако обобщение достаётся ценой отсутствия аналитических формул. Поэтому мы разрабатываем метод Монте-Карло для оценки торговых стратегий и определения оптимальных уровней. В частности, мы вводим набор контрольных переменных для снижения дисперсии оценки функции ценности. Мы выводим формулу коэффициента снижения дисперсии для случая, когда контрольная переменная используется для одновременной оценки среднего и дисперсии прибыли, что расширяет обычный подход с оценкой единственного параметра.

В численной реализации мы исследуем, как параметры модели влияют на оптимальные торговые уровни и оптимальную ожидаемую прибыль в различных сценариях. В частности, мы численно показываем: как асимметрия распределения спреда приводит к асимметрии оптимальных торговых уровней; как оптимальный уровень выхода может отличаться от стационарного среднего, когда процесс стартует достаточно далеко от него и ставка дисконтирования велика (и что иные ситуации, где это происходит, найти трудно); и наконец, как скачки могут повышать оптимальный уровень входа и оптимальную ожидаемую прибыль.

Отметим, что все упомянутые выше исследования сосредоточены на результативности одного спреда. Недавняя работа Ли и соавторов (2023) вводит каркас для одновременной торговли несколькими спредами с возвратом к среднему, где капитал динамически распределяется между спредами по их статистическим характеристикам. В нашей работе мы также рассматриваем задачу торговли двумя спредами, моделируемыми LDOUP со слабым альфа-гамма-дисперсионным (WVAG) драйвером — многомерным обобщением гамма-дисперсионного процесса, введённым Бухманом и соавторами (2019). Для двумерного парного трейдинга мы оцениваем ожидаемую прибыль методом Монте-Карло и изучаем влияние корреляции между спредами на оптимальные уровни и оптимальную ожидаемую прибыль. Мы демонстрируем пример, где оптимальная стратегия сводится к выбору лучшего спреда почти без учёта корреляции, и пример, где низкая абсолютная корреляция оказывается прибыльнее при мониторинге нескольких спредов с одинаково распределёнными компонентами.

2. Процесс Орнштейна — Уленбека с драйвером-процессом Леви

Пусть $Z \sim L_n(\mu, \Sigma, \mathcal{Z})$ обозначает $n$-мерный процесс Леви с характеристической тройкой $(\mu, \Sigma, \mathcal{Z})$, где $\mu \in \mathbb{R}^n$, $\Sigma \in \mathbb{R}^{n \times n}$ — ковариационная матрица, а $\mathcal{Z}$ — $n$-мерная мера Леви.

Процесс Орнштейна — Уленбека с драйвером-процессом Леви (LDOUP) определяется стохастическим дифференциальным уравнением

$$dX(t) = -\lambda X(t)\,dt + dZ(\lambda t), \qquad X(0) = X_0, \quad t \ge 0 \tag{2.1}$$

где $Z \sim L_n(\mu, \Sigma, \mathcal{Z})$ — фоновый драйвер-процесс Леви (BDLP), $\lambda > 0$, а $X_0$ — случайный вектор, независимый от $Z$. Заметим, что использование сноса $-\lambda X(t)dt$ вместо $\lambda(\mu - X(t))dt$ не ограничивает общности, поскольку стационарное среднее $X$ управляется величиной $\mathbb{E}[Z(1)]$. Также не ограничивает общности использование BDLP $Z \circ (\lambda I)$ вместо $Z$, поскольку любой процесс Леви $\tilde{Z}$ представим в виде $\tilde{Z} \overset{D}{=} Z \circ (\lambda I)$. Первая форма удобнее тем, что ведёт к стационарному распределению, не зависящему от $\lambda$.

Решение (2.1):

$$X(t) = e^{-\lambda t}X(0) + e^{-\lambda t}\int_0^t e^{\lambda s}\,dZ(\lambda s), \qquad t \ge 0 \tag{2.2}$$

Для $t_0 = 0$, $t_1 = \Delta$, …, $t_q = q\Delta$ в момент наблюдения $t_i$ имеем

$$X(t_i) = e^{-\lambda\Delta}\left(X(t_{i-1}) + \int_{t_{i-1}}^{t_i} e^{\lambda s}\,dZ(\lambda s)\right), \qquad i = 1, \ldots, q$$

Член со стохастическим интегралом независим и одинаково распределён; обозначим через $Z^*(\Delta)$ случайный вектор с этим распределением — он интерпретируется как инновационный член (с точностью до множителя $e^{-\lambda\Delta}$) процесса AR(1):

$$Z^*(\Delta) = \int_0^\Delta e^{\lambda s}\,dZ(\lambda s) \overset{D}{=} \int_{t_{i-1}}^{t_i} e^{\lambda s}\,dZ(\lambda s), \qquad \Delta > 0$$

Вектор $Z^*(\Delta)$ безгранично делим, поэтому определяется своим характеристическим показателем:

$$\Psi_{Z^*(\Delta)}(\theta) = \int_0^{\lambda\Delta} \Psi_Z\left(e^t \theta\right) dt, \qquad \theta \in \mathbb{R}^n \tag{2.3}$$

где $\Psi_Z$ — характеристический показатель BDLP $Z$. Объединяя, LDOUP записывается как

$$X(t_i) = e^{-\lambda\Delta}\left(X(t_{i-1}) + Z^*(\Delta)^{(i)}\right), \qquad i = 1, \ldots, q \tag{2.4}$$

где $Z^*(\Delta)^{(i)}$ независимы и одинаково распределены.

2.1. Одномерный LDOUP с гамма-дисперсионным драйвером

Гамма-дисперсионный процесс введён Маданом и Сенетой (1990). Пусть $\Gamma S(a, b)$ обозначает гамма-субординатор с параметром формы $a > 0$ и интенсивностью $b > 0$, а $BM_n(\mu, \Sigma)$ — броуновское движение со сносом $\mu$ и ковариационной матрицей $\Sigma$. Процесс Леви $V \sim VG_n(b, \mu, \Sigma)$ является гамма-дисперсионным (VG), если

$$V \overset{D}{=} \eta I + B \circ (G, \ldots, G)$$

где $B \sim BM_n(\mu, \Sigma)$ и $G \sim \Gamma S(b, b)$ независимы, $\eta \in \mathbb{R}^n$, а $I$ — тождественная функция. Параметр $\eta$ добавляет снос.

Одномерный LDOUP $X \sim \text{OU-}VG(\lambda, b, \mu, \sigma^2, \eta)$ называем OU-VG процессом, если его BDLP есть $Z \sim VG_1(b, \mu, \sigma^2, \eta)$.

2.2. Многомерный LDOUP со слабым альфа-гамма-дисперсионным драйвером

Слабый альфа-гамма-дисперсионный процесс (WVAG) введён Бухманом и соавторами (2019). Пусть $n \ge 2$, $a > 0$, $\alpha = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n) \in (0, 1/a)^n$, $\beta_k := (1 - a\alpha_k)/\alpha_k$ и $\eta \in \mathbb{R}^n$. Обозначим $\alpha \diamond \mu := (\alpha_1\mu_1, \ldots, \alpha_n\mu_n)$ и $\alpha \diamond \Sigma := (\Sigma_{kl}(\alpha_k \wedge \alpha_l))$. Процесс $Z \sim WVAG_n(a, \alpha, \mu, \Sigma, \eta)$ определяется как

$$Z \overset{D}{=} \eta I + V_0 + (V_1, \ldots, V_n) \tag{2.5}$$

где $V_0 \sim VG_n(a, a\alpha \diamond \mu, a\alpha \diamond \Sigma)$ и $V_k \sim VG_1(\beta_k, \alpha_k\beta_k\mu_k, \alpha_k\beta_k\Sigma_{kk})$, $k = 1, \ldots, n$, независимы. Такая формулировка даёт прямой способ симуляции WVAG через VG-процессы и показывает, что процесс обладает общими и идиосинкратическими скачками.

Исходное определение WVAG-процесса, $Z \overset{D}{=} B \odot T$ (2.6), где $B \sim BM_n(\mu, \Sigma)$, $T$ — $n$-мерный альфа-гамма-субординатор, а $\odot$ — операция слабой субординации, даёт многомерную интерпретацию через замену времени, обобщая одномерный VG-процесс. Действительно, маргинальные компоненты WVAG-процесса суть общие одномерные VG-процессы с $Z_k \sim VG_1(1/\alpha_k, \mu_k, \Sigma_{kk}, \eta_k)$.

Многомерный LDOUP $X \sim \text{OU-}WVAG_n(\lambda, a, \alpha, \mu, \Sigma, \eta)$ называем OU-WVAG процессом, если его BDLP есть $Z \sim WVAG_n(a, \alpha, \mu, \Sigma, \eta)$.

Исходя из формул моментов, параметры WVAG-процесса интерпретируются так: маргинальные $\alpha_k, \mu_k, \Sigma_{kk}, \eta_k$ — параметры эксцесса, асимметрии, дисперсии и сдвига соответственно, влияющие на распределение маргинальной компоненты, тогда как $a$ и $\Sigma_{ij}$ при $i \ne j$ — совместные параметры. В частности, при $\alpha_k \to 0$ (эквивалентно, при $b_k = 1/\alpha_k \to \infty$) маргинальная компонента сходится по распределению к броуновскому движению, так что траектории становятся ближе к непрерывным.

2.3. Формулы моментов

Для случайного вектора $U$ обозначим среднее $m_1(U) := \mathbb{E}[U]$, а $k$-й центральный момент — $m_k(U)$. Для общего BDLP $Z$ формулы моментов $Z^*(\Delta)$ выражаются через моменты $Z$ (Лу, 2022, лемма 1). Комбинируя с (2.2) и при условии фиксированного $X_0$, моменты LDOUP $X$ даются формулами

$$m_1(X(t)) = e^{-\lambda t}X_0 + (1 - e^{-\lambda t})m_1(Z(1))$$

$$m_2(X(t)) = \left(\frac{1 - e^{-2\lambda t}}{2}\right)m_2(Z(1)), \qquad m_3(X(t)) = \left(\frac{1 - e^{-3\lambda t}}{3}\right)m_3(Z(1))$$

$$\operatorname{Cov}(X_k(t), X_l(t)) = \left(\frac{1 - e^{-2\lambda t}}{2}\right)\operatorname{Cov}(Z_k(1), Z_l(1)), \qquad k \ne l$$

Стационарное распределение $Y$ процесса $X$ — это распределение, при котором из $X_0 \overset{D}{=} Y$ следует $X(t) \overset{D}{=} Y$ для всех $t \ge 0$. Таким образом, стационарное среднее равно $\bar\mu = \mathbb{E}[Z(1)]$. Именно к этому уровню мы ожидаем возврата процесса в парном трейдинге.

Специализируясь на случае $X \sim \text{OU-}WVAG_n(\lambda, a, \alpha, \mu, \Sigma, \eta)$, получаем

$$\mathbb{E}[X_1(t)] = e^{-\lambda t}X_0 + (1 - e^{-\lambda t})(\eta_1 + \mu_1) \tag{2.7}$$

$$\operatorname{Var}(X_1(t)) = \left(\frac{1 - e^{-2\lambda t}}{2}\right)\left(\Sigma_{11} + \alpha_1\mu_1^2\right) \tag{2.8}$$

$$\operatorname{Skew}(X_1(t)) = \frac{\left(\frac{1-e^{-3\lambda t}}{3}\right)\left(3\Sigma_{11}\mu_1\alpha_1 + 2\mu_1^3\alpha_1^2\right)}{\left[\left(\frac{1-e^{-2\lambda t}}{2}\right)\left(\Sigma_{11} + \mu_1^2\alpha_1\right)\right]^{3/2}} \tag{2.9}$$

$$\operatorname{Cov}(X_1(t), X_2(t)) = \left(\frac{1 - e^{-2\lambda t}}{2}\right)a\left((\alpha_1 \wedge \alpha_2)\Sigma_{12} + \alpha_1\alpha_2\mu_1\mu_2\right) \tag{2.10}$$

Кроме того, $\bar\mu = \mu + \eta$. Эти формулы используются далее для контрольных переменных в методе Монте-Карло.

3. Задача парного трейдинга

Пусть спред пары активов или цена портфеля активов возвращается к среднему и следует одномерному LDOUP $X$.

Определим уровни, на которых сделки следует открывать и закрывать. Рассмотрим следующую стратегию на спреде $X$: открыть короткую позицию в $X$, когда он выше $\bar\mu + d$, и закрыть покупкой, когда он ниже $\bar\mu + c$, где $0 \le c < d$. Открыть длинную позицию, когда он ниже $\bar\mu - d$, и закрыть продажей, когда он выше $\bar\mu - c$. Зафиксируем конечный момент $T > 0$, к которому сделка закрывается, если не была закрыта раньше. Таким образом, $d$ и $c$ — уровни входа и выхода относительно уровня возврата $\bar\mu$.

Рисунок 1 — смотреть в оригинале (PDF)

Отметим, что цена входа и выхода не совпадает с уровнями входа и выхода из-за наличия скачков. В этой модели всегда присутствует некоторая степень перелёта.

В более общем виде можно рассматривать разные уровни входа $d_+$, $d_-$ сверху и снизу от $\bar\mu$ и соответствующие им уровни выхода $c_+$, $c_-$, удовлетворяющие $0 \le c_\pm < d_\pm$. Соответствующие времена прохождения:

$$\tau_{d_+} = \inf\{t \ge 0: X(t) > \bar\mu + d_+\} \wedge T, \qquad \tau_{c_+} = \inf\{t \ge \tau_{d_+}: X(t) < \bar\mu + c_+\} \wedge T$$

$$\tau_{d_-} = \inf\{t \ge 0: X(t) < \bar\mu - d_-\} \wedge T, \qquad \tau_{c_-} = \inf\{t \ge \tau_{d_-}: X(t) > \bar\mu - c_-\} \wedge T$$

Пусть $r \in \mathbb{R}$ — ставка дисконтирования. Дисконтированная прибыль за один торговый цикл:

$$P := P(c_+, c_-, d_+, d_-) = \mathbb{1}_{\{\tau_{d_+} \le \tau_{d_-}\}} e^{-r\tau_{c_+}}\left(X(\tau_{d_+}) - X(\tau_{c_+})\right) + \mathbb{1}_{\{\tau_{d_+} > \tau_{d_-}\}} e^{-r\tau_{c_-}}\left(X(\tau_{c_-}) - X(\tau_{d_-})\right) \tag{3.1}$$

Функция ценности:

$$V := V(c_+, c_-, d_+, d_-) = \mathbb{E}[P] - \gamma\operatorname{Var}(P) = \mathbb{E}[P] - \gamma\mathbb{E}[P^2] + \gamma\mathbb{E}[P]^2 \tag{3.2}$$

где $\gamma \ge 0$ — параметр, штрафующий стратегии с высокой дисперсией. При $\gamma = 0$ функция ценности есть ожидаемая прибыль. Мы хотим найти оптимальные уровни $c_\pm$, $d_\pm$, максимизирующие функцию ценности.

4. Метод Монте-Карло

Пусть $m$ — число симуляций Монте-Карло. Для процесса спреда, следующего одномерному LDOUP $X$, пусть имеется $m$ симуляций $X(t_0), \ldots, X(t_q)$ с малым шагом $\Delta > 0$. Тогда можно вычислить случайную величину $P$ и получить оценки $\mathbb{E}[P]$ и $\mathbb{E}[P^2]$ для оценки функции ценности (3.2). Одни и те же траектории используются для всех вычислений одной функции ценности. Метод работает для любого LDOUP, поддающегося подгонке и симуляции; мы специально сосредоточены на OU-VG процессе.

4.1. Симуляция спреда

Пусть процесс спреда $X \sim \text{OU-}VG(\lambda, b, \mu, \sigma^2, \eta)$, параметры считаем известными (например, оценёнными методом максимального правдоподобия по Вальдивьесо и соавторам, 2009, или Лу, 2022). Возможна точная симуляция $Z^*(\Delta)$ для OU-VG процесса, а следовательно и $X(t_0), \ldots, X(t_q)$ по (2.4), методом Сабино (2020) и Цюй и соавторов (2021). Для $G \sim \Gamma S(a, b)$ определим случайную величину $G^*(\Delta) \overset{D}{=} e^{\lambda\Delta}(\tilde{G} + \tilde{C})$, где $\tilde{G} \sim \Gamma(a\lambda\Delta, be^{\lambda\Delta})$ — гамма-распределение с параметрами формы и интенсивности, а $\tilde{C}$ — сложное пуассоновское.

4.2. Контрольные переменные

Мы применяем метод контрольных переменных для оценки одновременно $\mathbb{E}[P]$ и $\mathbb{E}[P^2]$ в функции ценности (3.2). Рассмотрим контрольные переменные $X(t_1) - \bar\mu, \ldots, X(t_p) - \bar\mu$, где $0, t_1, \ldots, t_p$ — равноотстоящие точки на $[0, T]$. При оценке $\mathbb{E}[P^2]$ добавляются переменные $(X(t_1) - \bar\mu)^2, \ldots, (X(t_p) - \bar\mu)^2$. Заметим, что $\mathbb{E}[X(t) - \bar\mu]$ и $\mathbb{E}[(X(t) - \bar\mu)^2]$ вычисляются аналитически по (2.7) и (2.8).

Далее, полезно было бы учесть событие входа в сделку с последующим выходом и событие входа без выхода на наблюдениях $X(t_1), \ldots, X(t_p)$ как дополнительные контрольные переменные, приближающие индикатор в (3.1). Но вероятность прохождения уровня последовательностью $X(t_1), \ldots, X(t_p)$ аналитически не вычисляется. Зато вычисляется вероятность родственного события для независимой последовательности инноваций $Z^*(\Delta)^{(i)}$. Это мотивирует добавление двух переменных $\mathbb{1}_A$ и $\mathbb{1}_B$. Событие $A$ — это когда $Z^*(\Delta)^{(1)}, \ldots, Z^*(\Delta)^{(p)}$ «входит в сделку» (хотя фактической торговли на этой последовательности нет), проходя уровень $e^{\lambda\Delta}(\bar\mu + d) - \bar\mu$ или $e^{\lambda\Delta}(\bar\mu - d) - \bar\mu$, и затем «выходит», проходя уровень $e^{\lambda\Delta}(\bar\mu + c) - \bar\mu$ или $e^{\lambda\Delta}(\bar\mu - c) - \bar\mu$ соответственно. Событие $B$ — то же, но без выхода. Из-за коллинеарности дополняющее событие невхождения не включается; при $p = 1$ событие $A$ имеет нулевую вероятность и тоже не включается.

Поскольку $Z^*(\Delta)^{(i)}$ независимы и одинаково распределены, вероятности $A$ и $B$ вычисляются аналитически: $\mathbb{P}(Z^*(\Delta) \le x)$ находится обращением Фурье характеристической функции, определяемой (2.3).

4.3. Снижение дисперсии

Рассмотрим две отдельные модели линейной регрессии

$$Y_1 = X_1\beta_1 + \epsilon_1, \qquad Y_2 = X_2\beta_2 + \epsilon_2 \tag{4.1}$$

где $Y_1$ и $Y_2$ — векторы $m$ симулированных значений $P$ и $P^2$. Матрица плана $X_1$ включает контрольные переменные $X(t_i) - \bar\mu$, $\mathbb{1}_A$, $\mathbb{1}_B$, а $X_2$ — те же плюс $(X(t_i) - \bar\mu)^2$. Поскольку каждая симулированная траектория независима, $\operatorname{Cov}(\epsilon_i) = \Sigma_{\epsilon,ii}I$ и $\operatorname{Cov}(\epsilon_1, \epsilon_2) = \Sigma_{\epsilon,12}I$.

Для каждой модели пусть $\mu_{C,i}$ — вектор средних контрольных переменных, тогда предсказания в точке $x_i = (1, \mu_{C,i})$ суть $\hat{Y}_i = x_i'\hat{\beta}_i$. Как поясняется в приложении A, оценки $\mathbb{E}[P]$ и $\mathbb{E}[P^2]$ методом контрольных переменных — это предсказания $\hat{Y}_1$ и $\hat{Y}_2$. Таким образом, оценка функции ценности:

$$\hat{V}_C := \hat{Y}_1 - \gamma\hat{Y}_2 + \gamma\hat{Y}_1^2 = b'\hat{Y} + \hat{Y}'A\hat{Y}, \quad\text{где}\quad A = \begin{pmatrix}\gamma & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}1 \\ -\gamma\end{pmatrix}$$

Пусть $\bar{Y}_1, \bar{Y}_2$ — выборочные средние, тогда $\hat{V}_M := \bar{Y}_1 - \gamma\bar{Y}_2 + \gamma\bar{Y}_1^2$ — соответствующая оценка Монте-Карло без контрольных переменных.

Поскольку наш подход включает параметры, оцениваемые функцией двух оценок с контрольными переменными, а не обычной одной, выведем коэффициент снижения дисперсии в этом контексте. При большом $m$ асимптотическая нормальность МНК даёт приближённо $\hat{Y} \sim N(\mu_C, \Sigma_C)$. Используя результаты многомерной линейной регрессии и закон полной дисперсии (с учётом случайности $X_1$ и $X_2$), получаем

$$\mu_C = \begin{pmatrix} x_1'\beta_1 \\ x_2'\beta_2 \end{pmatrix}, \quad \Sigma_C = \begin{pmatrix} \Sigma_{\epsilon,11}x_1'\mathbb{E}[(X_1'X_1)^{-1}]x_1 & \Sigma_{\epsilon,12}x_1'\mathbb{E}[(X_1'X_1)^{-1}X_1'X_2(X_2'X_2)^{-1}]x_2 \\ * & \Sigma_{\epsilon,22}x_2'\mathbb{E}[(X_2'X_2)^{-1}]x_2 \end{pmatrix}$$

где $*$ означает достройку по симметрии, а $\Sigma_{\epsilon,ij}$ оценивается как $\hat\Sigma_{\epsilon,ij} = \frac{\hat\epsilon_i'\hat\epsilon_j}{m - r - 1}$.

Поскольку $\hat{V}_C$ — квадратичная форма от $\hat{Y}$, дисперсия оценки с контрольными переменными приближённо равна

$$\begin{aligned}\operatorname{Var}(\hat{V}_C) &\approx b'\Sigma_C b + 2\operatorname{tr}\left((A\Sigma_C)^2\right) + 4\mu_C'A\Sigma_C A\mu_C + 4b'\Sigma_C A\mu_C \\ &= \left(1 + 4\mu_{C,1}\gamma + 4\mu_{C,1}^2\gamma^2\right)\Sigma_{C,11} + 2\gamma^2\Sigma_{C,11}^2 - 2\gamma(1 + 2\mu_{C,1}\gamma)\Sigma_{C,12} + \gamma^2\Sigma_{C,22}\end{aligned} \tag{4.2}$$

Оценённый коэффициент снижения дисперсии при использовании контрольных переменных относительно чистого Монте-Карло:

$$R = \frac{\widehat{\operatorname{Var}}(\hat{V}_C)}{\widehat{\operatorname{Var}}(\hat{V}_M)}$$

В контексте единственного параметра, оцениваемого контрольными переменными, истинный коэффициент снижения при использовании истинного $\beta_i$ не превосходит 1, однако при использовании МНК-оценки $\hat\beta_i$ возможно $R > 1$.

5. Численная реализация и анализ

Спред $X \sim \text{OU-}VG(\lambda, b, \mu, \sigma^2, \eta)$ симулируется с шагом $\Delta = 0{,}01$ и конечным временем $T = 50$. Во всех случаях $\mu = -\eta$, и любые изменения $\mu$ соответствующим образом подстраивают $\eta$, чтобы стационарное среднее оставалось $\bar\mu = 0$. Если не указано иное, начальное значение $X_0 = 0$, $\gamma = 0$, ставка дисконтирования $r = 0{,}01$, а уровень входа $d = d_+ = d_-$ симметричен, уровень выхода зафиксирован на $c = c_+ = c_- = 0$. Таким образом, оптимизируется уровень входа $d$. Все результаты получены при $m = 10\,000$ симуляциях.

5.1. Эффект контрольных переменных

Пример 1. Пусть спред $X$ имеет параметры $(\lambda, b, \mu, \sigma^2, \eta) = (1, 1, -0{,}5, 0{,}015, 0{,}5)$ и $\gamma = 0{,}1$.

Число точек $p$ в методе контрольных переменных можно подобрать для оптимального снижения дисперсии, однако оно зависит и от уровня входа $d$. Мы оптимизируем итеративно: сначала без контрольных переменных находим $d$, затем при этом $d$ оптимизируем $p$. Как показывает рисунок 2, при $d = 1{,}086$ оптимальное число точек равно $p^* = 130$ при переборе $p = 10, 20, \ldots, 200$. Это даёт умеренный коэффициент снижения дисперсии $R^* = 0{,}735$.

Рисунок 2 — смотреть в оригинале (PDF)

При $p^* = 130$ рисунок 3 показывает оценку функции ценности $V(d)$ с оптимальным уровнем входа $d^* = 1{,}086$. Контрольная переменная снижает $\operatorname{Var}(\hat{V}_C)$, однако не меняет $d^*$ в этом примере, поскольку изменчивость и так мала: коэффициент вариации $\hat{V}_C(d^*)$ равен 0,0038 после применения контрольных переменных.

Рисунок 3 — смотреть в оригинале (PDF)

Различные значения параметров дают разное снижение дисперсии. В таблице 1 уменьшение $b > 0$ увеличивает $R^*$, тогда как уменьшение $\mu < 0$ сначала снижает, а затем увеличивает $R^*$.

Рассмотрим случай второй строки таблицы 1, где $(b, \mu) = (2, -0{,}05)$ и $p^* = 120$. Неожиданно при большом $\gamma$ (например, $\gamma = 1{,}5$) возможно, что метод контрольных переменных снижает дисперсию оценки $\mathbb{E}[P]$ (коэффициент 0,910) и $\mathbb{E}[P^2]$ (коэффициент 0,816), но увеличивает дисперсию оценки $V(d^*)$ с коэффициентом 1,139. Для сравнения, при $\gamma = 0{,}1$ этого не происходит: соответствующие коэффициенты равны 0,892, 0,793 и 0,904.

Пример 2. Та же постановка, но параметры $(\lambda, b, \mu, \sigma^2, \eta) = (0{,}01, 50, 0{,}5, 4, -0{,}5)$. Поскольку $\lambda \approx 0$, процесс почти не возвращается к среднему и близок по закону к гамма-дисперсионному, поэтому функция ценности оценивается со сравнительно большой симуляционной ошибкой (рисунок 4). Для сглаживания перед максимизацией применяется локально взвешенное сглаживание (loess). Тогда оптимальный уровень входа $d^* = 0{,}506$ без контрольных переменных и $d^* = 0{,}456$ с оптимальным их числом $p^* = 1$. Оптимальный коэффициент снижения дисперсии $R^* = 0{,}817$, коэффициент вариации $\hat{V}_C(d^*)$ равен 0,0281 — что согласуется с гораздо большей изменчивостью по сравнению с примером 1. В отличие от рисунка 3, здесь контрольные переменные влияют на оценку $d^*$. Отметим, что $R^*$ — снижение дисперсии оценки $V(d)$ при фиксированном $d$, и метод не предназначен для снижения стандартной ошибки самого $d^*$, хотя снижение первого должно снижать и второе. При этих оптимальных значениях лишь 63,91% симуляций дали сделку, открытую и закрытую до конечного момента (из-за медленного возврата к среднему) — против 90,88% на рисунке 3.

Рисунок 4 — смотреть в оригинале (PDF)

5.2. Асимметрия оптимальных торговых уровней

Далее полагаем $\gamma = 0$ и не используем контрольные переменные. Параметр $\mu$ управляет асимметрией стационарного распределения $Y$. Если $\mu = 0$, распределение симметрично и оптимальные уровни равны: $d_+^* = d_-^*$. При асимметрии же имеет смысл оптимизировать $d_+$ и $d_-$ по отдельности.

Рассмотрим четыре случая — от большой отрицательной асимметрии до её отсутствия. Прочие параметры: $(\lambda, b, \sigma^2) = (1, 5, 0{,}015)$. Асимметрия стационарного распределения по (2.9):

$$\operatorname{Skew}(Y) = \frac{2^{3/2}}{3}\left[\frac{3\sigma^2\mu/b + 2\mu^3/b^2}{(\sigma^2 + \mu^2/b)^{3/2}}\right]$$

Результаты таблицы 2 показывают, как $d_+^*$ и $d_-^*$ могут различаться из-за асимметрии. Для отрицательно скошенных спредов сделка с большей вероятностью открывается с отрицательного уровня, поэтому положительный уровень слегка ниже — в порядке компенсации.

Рисунок 5 — смотреть в оригинале (PDF)

В классической ОУ-модели спреда, где асимметрии нет, Люн и Ли (2015) выводят оптимальные уровни входа и выхода с транзакционными издержками, причём эти уровни тоже могут быть асимметричными.

5.3. Уровень выхода, отличный от среднего

До сих пор мы полагали $c = 0$. Однако можно найти примеры, где $c^*$ существенно больше нуля. Такое возможно, когда $X_0 > \bar\mu$ и ставка дисконтирования $r$ очень велика. Пусть $X_0 = 0{,}25$ и $r = 1$ при прочих параметрах $(1, 5, 0, 0{,}015, 0)$. Оптимизируя $c, d$ при $0 < c < d$, находим оптимальный уровень выхода $c^* = 0{,}105$, тогда как оптимальный уровень входа $d^*$ — любое значение $c^* < d^* < 0{,}25$ (рисунок 6).

Таким образом, стратегия состоит в том, чтобы войти в сделку немедленно, а поскольку большая ставка дисконтирования сильно снижает прибыль при затянутом выходе, сделка закрывается на уровне $c^* = 0{,}105$ выше стационарного среднего, а не в ожидании падения до $\bar\mu$.

Рисунок 6 — смотреть в оригинале (PDF)

Рисунок 7 показывает, как $c^*$ меняется при разных ставках дисконтирования. Для приведённых значений точка, где $c^* > 0{,}000$ (до трёх знаков), достигается при $r = 0{,}3$. При всех этих $r$, если начальное значение положить $X_0 = \bar\mu = 0$, оптимальный уровень выхода был бы $c^* = 0{,}000$. Это показывает, что именно сочетание начального значения, отличного от стационарного среднего, и большой ставки дисконтирования делает $c^*$ отличным от нуля. Другие ситуации, где это происходит, найти трудно, что позволяет предположить: оптимизация $c$ вне этого случая мало что даёт, а фиксация $c = 0$ (выход при прохождении $\bar\mu$) упрощает оптимизацию.

Рисунок 7 — смотреть в оригинале (PDF)

5.4. Влияние скачков

Теперь рассмотрим влияние параметра $b$, управляющего скачками LDOUP, на оптимальный уровень входа $d^*$. Пусть $(\lambda, \mu, \sigma^2, \eta) = (1, 0, 0{,}015, 0)$. При $b \to \infty$ OU-VG процесс сходится по закону к классическому ОУ-процессу на броуновском движении, и траектории становятся ближе к непрерывным. При $b \to 0$ траектории, грубо говоря, становятся более скачкообразными. Определим перелёт для уровня входа $d$ как случайную величину

$$O = \begin{cases} \left|X(\tau_d) - (\bar\mu + d)\right| & \text{если } \tau_d < \tau_{-d} \\ \left|X(\tau_{-d}) - (\bar\mu - d)\right| & \text{если } \tau_d \ge \tau_{-d} \end{cases}$$

Результаты показывают: чем скачкообразнее траектория, тем выше уровень входа — в компенсацию перелёта. При $b = 1$ средний перелёт сравнительно велик (0,0640) относительно оптимального уровня входа (0,246). Это демонстрирует важность учёта скачков через LDOUP по сравнению с классическим ОУ-процессом. По мере приближения траектории к непрерывной среднее перелётов уменьшается, а оптимальная ожидаемая прибыль $\hat{V}_M(d^*)$ приближается к $d^*$, как и ожидается, хотя полного совпадения нет, поскольку $r \ne 0$. В этом примере $\hat{V}_M(d^*)$ растёт при уменьшении $b$. Отметим, что стационарная дисперсия остаётся постоянной, так что рост прибыльности не объясняется изменением дисперсии.

Рисунок 8 — смотреть в оригинале (PDF)

6. Двумерный парный трейдинг

Теперь рассмотрим парный трейдинг в двумерной постановке, где спред $X = (X_1, X_2)$ — двумерный LDOUP со стационарным средним $\bar\mu = (\bar\mu_1, \bar\mu_2)$. Хотя мы сосредоточены на двумерном случае, концепции в принципе распространяются на $n$-мерный.

6.1. Постановка задачи

Сделка открывается в первый момент, когда какой-либо из спредов $X_k$ оказывается выше $\bar\mu_k + d_k$ или ниже $\bar\mu_k - d_k$. Если сделка по спреду $X_k$ открыта, выход происходит при прохождении спредом уровня $\bar\mu_k + c_k$ или $\bar\mu_k - c_k$ соответственно. Пока сделка открыта, новые сделки не инициируются, даже если другой спред позднее пройдёт уровень входа.

Ненулевая вероятность общих скачков у WVAG-процесса означает, что событие $\{\tau_{d_+,1} = \tau_{d_+,2}\}$ тоже имеет ненулевую вероятность: оба спреда могут пройти свои уровни входа одновременно. В этом случае мы инвестируем с весом 50% в каждый спред. Альтернативой было бы вложиться полностью в спред, наиболее удалённый от уровня возврата, — но в рассматриваемых примерах оба подхода дают практически одинаковые результаты, поскольку одновременное прохождение оптимальных уровней редко.

Пусть $\tau = \min\{\tau_{d_+,1}, \tau_{d_-,1}, \tau_{d_+,2}, \tau_{d_-,2}\}$. Прибыль за один торговый цикл:

$$P(c, d) = \mathbb{1}_{\{\tau \in \{d_+,1;\, d_+,2\}\}}\sum_{k=1,2} e^{-r\tau_{c_+,k}} W_k\left(X_k(\tau_{d_+,k}) - X_k(\tau_{c_+,k})\right) + \mathbb{1}_{\{\tau \in \{d_-,1;\, d_-,2\}\}}\sum_{k=1,2} e^{-r\tau_{c_-,k}} W_k\left(X_k(\tau_{c_-,k}) - X_k(\tau_{d_-,k})\right)$$

где веса

$$(W_1, W_2) = \begin{cases} (1, 0) & \text{если } \tau_{d_+,1} < \tau_{d_+,2}\ \text{или}\ \tau_{d_-,1} < \tau_{d_-,2} \\ (0, 1) & \text{если } \tau_{d_+,1} > \tau_{d_+,2}\ \text{или}\ \tau_{d_-,1} > \tau_{d_-,2} \\ (0{,}5;\ 0{,}5) & \text{иначе} \end{cases}$$

Целевая функция — функция ценности $V(c, d) = \mathbb{E}[P] - \gamma\operatorname{Var}(P)$, $\gamma \ge 0$, которую требуется максимизировать по $c, d$.

6.2. Симуляция спреда

Пусть спред $X \sim \text{OU-}WVAG_2(\lambda, a, \alpha, \mu, \Sigma, \eta)$. Для симуляции $X(t_0), \ldots, X(t_q)$ используется схема Эйлера (Лу, 2022, разделы 4.2 и 5.1), основанная на представлении $Z^*(\Delta)$ стохастическим интегралом, который приближённо симулируется через (2.5). Это отличается от одномерного OU-VG процесса, симулируемого точно методом, не имеющим многомерного обобщения.

6.3. Численная реализация и анализ

Рассмотрим два примера двумерного парного трейдинга при шагах $\Delta = 0{,}01$ и $\tilde\Delta = 0{,}001$, конечном времени $T = 50$, $X_0 = 0$, $\gamma = 0$, без контрольных переменных, $\bar\mu = 0$. Уровни входа симметричны, уровни выхода $c = 0$; оптимизация ведётся по $d_1, d_2$ при $m = 10\,000$ симуляциях.

Корреляция компонент $X$ отчасти управляется параметром $\rho = \Sigma_{12}/\sqrt{\Sigma_{11}\Sigma_{22}}$. Однако $\rho$ — корреляция субординированного броуновского движения в (2.6), и она связана с корреляцией компонент $X$ соотношением

$$\operatorname{Corr}(X_1(t), X_2(t)) = \operatorname{Corr}(Z_1(t), Z_2(t)) = \frac{a\left((\alpha_1 \wedge \alpha_2)\Sigma_{12} + \alpha_1\alpha_2\mu_1\mu_2\right)}{\sqrt{\Sigma_{11} + \alpha_1\mu_1^2}\sqrt{\Sigma_{22} + \alpha_2\mu_2^2}} \tag{6.1}$$

Пример 3. Пусть

$$\lambda = 1, \quad a = 2{,}5, \quad \alpha = \begin{pmatrix}0{,}2 \\ 0{,}3\end{pmatrix}, \quad \mu = \begin{pmatrix}0 \\ -0{,}2\end{pmatrix}, \quad \Sigma = \begin{pmatrix}0{,}015 & \rho\sqrt{\Sigma_{11}\Sigma_{22}} \\ * & 0{,}02\end{pmatrix} \tag{6.2}$$

и $r = 0{,}01$.

Все эти величины приблизительно одинаковы при рассмотренных $\rho$. При одномерном трейдинге спредов $X_1$ и $X_2$ оптимальная ожидаемая прибыль равна 0,227 и 0,331 соответственно, тогда как в двумерном примере она составляет 0,334–0,336. Двумерный парный трейдинг прибыльнее одномерного на любом из спредов, хотя примерно так же прибылен, как торговля только $X_2$, поскольку на неё приходится 79–84% сделок. Оптимальная прибыль двумерной сделки не может быть меньше, чем у лучшей одномерной, так как последнюю можно реализовать внутри двумерной, задав другому спреду сколь угодно большой уровень входа. Именно это здесь отчасти и происходит: оптимальный уровень входа $X_1$ вырос с 0,220 в одномерном случае до 0,305–0,318 в двумерном, что снизило вероятность входа только по $X_1$ с 96,79% до 11–16%. Метод по существу выявил, что $X_2$ — более прибыльный спред, независимо от корреляции, и соответственно поднял уровень входа $X_1$, чтобы реже его торговать.

Пример 4. Теперь возьмём случай, где значения $\rho$ сильнее влияют на уровень входа и прибыль:

$$\lambda = 1, \quad a = 6{,}65, \quad \alpha = \begin{pmatrix}0{,}15 \\ 0{,}15\end{pmatrix}, \quad \mu = 0, \quad \Sigma = \begin{pmatrix}0{,}015 & \rho\sqrt{\Sigma_{11}\Sigma_{22}} \\ * & 0{,}015\end{pmatrix} \tag{6.3}$$

и $r = 1$.

Напомним ограничение $a < \frac{1}{\alpha_1} \wedge \frac{1}{\alpha_2}$. В примере 3 верхняя граница $\operatorname{Corr}(X_1, X_2)$ как функции $\rho \in (-1, 1)$ равна 0,395 по (6.1); эта граница стремится к 1 при $a \to \frac{1}{\alpha_k}$. Поскольку здесь $a \approx \frac{1}{\alpha_1} = \frac{1}{\alpha_2}$, пример представляет мониторинг двух спредов $X_1 \overset{D}{=} X_2$, одинаковых по закону при каждом фиксированном $\rho$, причём $X_1$ и $X_2$ сходятся потраекторно при $\rho \to 1$. В силу симметрии все компоненты оптимальных уровней входа равны, поэтому оптимизация ведётся по единому $d$.

Здесь оптимальная ожидаемая прибыль растёт с 0,032 до 0,040 при снижении $\rho$ с 0,99 до 0, что означает 26-процентный прирост. Случай $\rho = 0{,}99$ приближённо соответствует одномерному парному трейдингу (предел при $\rho \to 1$). Поскольку прибыль выше при $\rho$, заметно меньшем 1, результаты демонстрируют ситуацию, где двумерный парный трейдинг существенно прибыльнее торговли по сути одним спредом и где корреляция играет большую роль.

Эти результаты согласуются с интуицией. Мониторинг нескольких одинаково распределённых спредов даёт дополнительные возможности войти в сделку раньше, что повышает ожидаемую прибыль относительно мониторинга одного спреда, а большая ставка дисконтирования существенно вознаграждает ранний вход. Таким образом, выбор некоррелированных пар (случай $\rho = 0$) значительно прибыльнее и одномерного трейдинга, и выбора сильно коррелированных спредов.

7. Заключение

Мы представили каркас Монте-Карло для оценки стратегий парного трейдинга, где спред с возвратом к среднему следует LDOUP. Мы численно показали, как разные параметры влияют на оптимальный торговый уровень и функцию ценности и как они улавливают различные аспекты торговой стратегии. Каркас гибок и вмещает широкий класс LDOUP при условии, что их можно подогнать и симулировать, а также различные способы торговли спредом. Например, методы подгонки и симуляции одномерных LDOUP с темперированными устойчивыми и нормальными обратными гауссовскими стационарными распределениями даны у Вальдивьесо и соавторов (2009). Предложенные контрольные переменные для снижения дисперсии также применимы к схожим задачам.

Одно из полезных направлений будущих исследований — включение транзакционных издержек в торговые задачи. В этой связи До и Фафф (2012) исследуют прибыльность парного трейдинга с учётом издержек, а Люн и Ли (2015) анализируют подход оптимальной остановки с издержками и стоп-лоссом; эту работу можно распространить на спреды, следующие LDOUP. Другая возможность — учесть крупные скачки цен акций, вызывающие немедленную ликвидацию из-за необходимости вернуть заимствованные бумаги. Дополнительные расширения включают задачи оптимизации портфеля при торговле несколькими спредами и отбор спредов по статистическим и иным характеристикам. Теоретических результатов по парному трейдингу в моделях LDOUP очень мало, и работа в этом направлении была бы полезной. Однако с LDOUP такие задачи сложны и вряд ли допускают аналитические решения, поэтому подходы на основе симуляции могут быть одновременно математически интересными и практически полезными.

Приложение A. Эквивалентность контрольных переменных и линейной регрессии

Пусть имеется несколько контрольных переменных $C = (C_1, \ldots, C_p)$ для оценки $\mathbb{E}[P]$, причём $(C, P)$ симулируются совместно, так как мы хотим, чтобы контрольные переменные коррелировали с $P$. Как поясняется у Глассермана (2003, раздел 4.1.2), оценка с контрольными переменными есть

$$\hat{P}_C = \bar{Y} - \hat\beta_C'\left(\bar{X} - \mu_C\right)$$

где $Y$ — вектор $m$ симулированных значений $P$, $\bar{Y}$ — его выборочное среднее, $X_1, \ldots, X_p$ — векторы симулированных значений $C_1, \ldots, C_p$, $\bar{X}$ — вектор их выборочных средних, $\mu_C = \mathbb{E}[C]$, $\hat\beta_C = S_{XX}^{-1}S_{XY}$, где $S_{XX}$ — матрица выборочных ковариаций $\widehat{\operatorname{Cov}}(X_i, X_j)$, а $S_{XY}$ — вектор с $\widehat{\operatorname{Cov}}(X_i, Y)$.

Рассмотрим модель линейной регрессии $Y = X\beta + \epsilon$, где матрица плана $X$ включает свободный член и контрольные переменные, а $\hat\beta$ — МНК-оценка. Предсказание этой регрессии в точке $x = (1, \mu_C)$ равно

$$\hat{Y} = \hat\beta'x = \bar{Y} + \hat\beta_C'\left(\mu_C - \bar{X}\right) = \hat{P}_C$$

Таким образом, оценка $\hat{P}_C$ с контрольными переменными есть предсказание этой линейной регрессии. Этот факт хорошо известен и упоминается у Глассермана (2003, раздел 4.1.1) для одной контрольной переменной; неудивительно, что он верен и для нескольких. Нельсон (1990) даёт иную, но эквивалентную формулировку, где регрессорами выступают $C - \mu_C$.

Благодарности и раскрытие

Кевин Лу благодарит Департамент прикладной математики Университета Вашингтона, где была выполнена существенная часть его работы над статьёй. Авторы благодарят анонимного рецензента за полезные комментарии. Авторы сообщают об отсутствии конкурирующих интересов.

Оригинал статьи: Leung, T., Lu, K. W., «Monte Carlo Simulation for Trading Under a Lévy-Driven Mean-Reverting Framework», arXiv:2309.05512