Маркетмейкинг на споте драгоценных металлов

5/10

Ключевые слова: маркетмейкинг; драгоценные металлы; дилемма интернализация–экстернализация; хеджирование; стохастическое оптимальное управление; уравнения Риккати; аппроксимации в замкнутой форме.

Аннотация

Главная трудность маркетмейкинга на споте драгоценных металлов — работа с ликвидностью, которая сосредоточена преимущественно во фьючерсах. Спред Exchange for Physical (EFP), то есть разница цен фьючерса и спота, играет центральную роль и демонстрирует несколько мод релаксации, соответствующих разным торговым горизонтам участников рынка. В этой статье мы моделируем EFP-спред вложенным процессом Орнштейна–Уленбека в духе двухфакторной модели Халла–Уайта для процентных ставок. Показано, что такой фреймворк подходит для максимизации ожидаемого P&L маркетмейкера при одновременной минимизации инвентарного риска и по споту, и по фьючерсу. Вычислительно эффективная аппроксимация решения уравнения Гамильтона–Якоби–Беллмана соответствующей задачи стохастического оптимального управления позволяет пересчитывать стратегию по требованию почти в реальном времени и строить алгоритмический маркетмейкинг, использующий коинтеграционные свойства сектора драгоценных металлов.

Введение

Последние десятилетия финансовые рынки глубоко изменились — главным образом из-за повсеместной электронизации. Параллельно появились новые инструменты принятия решений для маркетмейкеров и систематический маркетмейкинг почти по всем классам активов. Случай акций, торгуемых через центральный лимитный стакан, разобран подробно (см. [10] как хороший пример стохастического оптимального управления), но OTC-рынки тоже рассматривались в рамках моделирования Авельянеды и Стойкова [1] (см., например, [3] для FX). Эти модели помогают дилерам управлять инвентарным риском через стратегическое хеджирование и скьюинг котировок. В одноинструментных моделях оптимальные котировки обычно монотонно зависят от текущего инвентаря и определяются риск-аверсией, ценовой чувствительностью клиентов и ликвидностью на внешних площадках. Дилеры стремятся максимизировать интернализацию клиентского потока, чтобы снизить стоимость внешнего исполнения и рыночное воздействие, и хеджируются только когда инвентарь превышает пороги, зависящие от франшизы (о дилемме интернализация–экстернализация см. [2] и [6]).

Мультиактивные расширения моделей маркетмейкинга построены, чтобы управлять риском на уровне портфеля (см. [3] и [4]). Маркетмейкеры часто ведут большие портфели инструментов очень разной ликвидности. Неликвидные активы трудно интернализовать и дорого исполнять на рынке. Однако риск по неликвидному активу иногда частично компенсируется позициями в более ликвидных инструментах, оставляя время закрыть неликвидный актив с меньшими издержками. На FX неликвидные инструменты можно торговать через более ликвидные ноги — это и усложняет, и открывает возможности для дилера (см. [3] и [7]). Большинство существующих моделей рассматривает динамику цен как коррелированные броуновские движения.

Отходя от подхода, который опирается только на коррелированную динамику цен, наша модель использует преимущества хеджирования коинтегрированными активами — независимо от того, котирует ли маркетмейкер эти активы клиентам. Коинтеграция даёт доступ к более глубоким пулам ликвидности и к возврату к среднему. Это особенно уместно, когда спотовый дилер хеджирует позицию фьючерсами, как на рынке драгоценных металлов. Межбанковский спот существует, но фьючерсы на драгметаллы заметно ликвиднее: уже спреды и выше объёмы. Поскольку разница цен фьючерса и спота — так называемый спред Exchange for Physical (EFP) — определяется в основном своп-ставками, которые относительно стабильны на внутридневном горизонте риска маркетмейкера, предположение о коинтеграции спота и фьючерса естественно.¹

Наш фреймворк опирается на классическую основу [1] и [8] (подробное обсуждение — в [9]). Цена одного базового инструмента (спота) моделируется арифметическим броуновским движением. Интенсивности прихода и распределение размеров клиентских сделок задаются ядрами интенсивности. Выходя за рамки ранней академической литературы и опираясь на недавние результаты, мы рассматриваем дилера, который котирует спот и может хеджироваться (с издержками) и на споте, и во фьючерсах. Новизна — в моделировании EFP вложенным процессом Орнштейна–Уленбека (далее вложенный OU), подсказанным наблюдением нескольких времён релаксации на рынке — от часов до дней, — возможно связанных с разными горизонтами разных типов участников, как показано на рисунке 1. Модель в духе двухфакторной модели Халла–Уайта для процентных ставок [5]. Однако наблюдаемая волатильность EFP существенно превышает волатильность лежащих в основе ставок, так что механизм определяется не только ставками, но и стоимостью физической поставки, помимо спекуляции. Тем самым статья расширяет уже классический фреймворк стохастического оптимального управления для маркетмейкинга, включая существование коинтегрированных и ликвидных активов. Это закрывает пробел в литературе и даёт новый класс динамики цен, совместимый с техниками аппроксимации из [4].

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

Далее мы вводим модель и ключевые уравнения, определяющие оптимальные стратегии маркетмейкера на споте драгметаллов, обсуждаем достоинства и ограничения вложенных OU-процессов, показываем применимость метода [4] к нашей постановке и завершаем подробным численным разбором рынка золота.

Модель

Переменные состояния и задача оптимального управления

Рассмотрим спотового маркетмейкера по данному драгоценному металлу. Обозначим через $(S_t)_{t\geq 0}$ референсную спотовую цену и предположим, что маркетмейкер непрерывно стримит клиентам ценовую лестницу на биде, $S^b(t,z)=S_t-\delta^b(t,z)$, и на аске, $S^a(t,z)=S_t+\delta^a(t,z)$, где $z$ — размеры в унциях (oz). Вероятность сделки зависит только от расстояния предложенных цен до референсного спота. Вводим две функции интенсивности для бида и аска: $(z,\delta)\mapsto\Lambda^b(z,\delta)$ и $(z,\delta)\mapsto\Lambda^a(z,\delta)$. Предполагаем, что $\Lambda^b$ и $\Lambda^a$ имеют вид²

Маркетмейкер может хеджировать позицию, торгуя на различных площадках спотом, фьючерсом или обоими. Скорости исполнения моделируются процессами $(v^S_t)_{t\geq 0}$ и $(v^F_t)_{t\geq 0}$ для спота и фьючерса соответственно.

Обозначим через $(F_t)_{t\geq 0}$ процесс цены фьючерсного контракта и через $(E_t)_{t\geq 0}$ процесс EFP, то есть для всех $t\geq 0$ имеем $F_t=S_t+E_t$.³ Далее рассматриваем броуновскую динамику для $(S_t)_{t\geq 0}$ и вложенную OU-динамику⁴ для $(E_t)_{t\geq 0}$:

и

с

где $(W^S_t,W^E_t,W^D_t)_{t\geq 0}$ — трёхмерное броуновское движение с корреляционной матрицей $R$. Через $\Sigma$ обозначаем ковариационную матрицу $\mathrm{diag}(\sigma_S,\sigma_E,\sigma_D)\,R\,\mathrm{diag}(\sigma_S,\sigma_E,\sigma_D)$.

Инвентарные процессы маркетмейкера — $(q^S_t)_{t\geq 0}$ и $(q^F_t)_{t\geq 0}$ для спота и фьючерса. Динамика $(q^S_t)_{t\geq 0}$ формализуется случайными мерами $J^b(dt,dz)$ и $J^a(dt,dz)$, описывающими моменты и размеры OTC-сделок на биде и аске:

а динамика инвентаря во фьючерсе

Денежный процесс $(X_t)_{t\geq 0}$ маркетмейкера имеет вид

где члены $L^S(v^S_t)$ и $L^F(v^F_t)$ учитывают издержки спреда и временное ценовое воздействие при экстернализации.⁵ Функции $L^S$ и $L^F$ обычно неотрицательны, строго выпуклы и асимптотически сверхлинейны. Здесь

Маркетмейкер максимизирует ожидаемую полезность mark-to-market стоимости портфеля в конце периода $[0,T]$ минус штраф за оставшийся инвентарь. Предполагаем CARA-полезность и максимизируем

выбором двух $\mathcal{P}\otimes\mathcal{B}(\mathbb{R}^*_+)$-измеримых процессов⁶ $\delta^b$, $\delta^a$, ограниченных снизу, и двух $\mathcal{P}$-измеримых процессов $v^S$, $v^F$, с

где $\gamma$ — риск-аверсия маркетмейкера, а $K^S,K^F\geq 0$ — коэффициенты штрафа.

Решение

Обозначим через $u:[0,T]\times\mathbb{R}^6\to\mathbb{R}$ функцию ценности этой задачи стохастического управления. Связанное уравнение Гамильтона–Якоби–Беллмана:

с терминальным условием $u(T,x,q^S,q^F,S,E,D)=-\exp\bigl(-\gamma\bigl(x+q^S S+q^F(S+E)-K^S(q^S)^2-K^F(q^F)^2\bigr)\bigr)$, где

Уравнение упрощается анзацем

где $\theta:[0,T]\times\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}$ дифференцируема и $\theta(T,q^S,q^F,E,D)=-K^S(q^S)^2-K^F(q^F)^2$.

Уравнение в частных производных для $\theta$:

где $\widetilde\Sigma$ — подматрица $\Sigma$, полученная удалением первой строки и первого столбца, а гамильтонианы

и

с $H:(z,p)\in(0,+\infty)\times\mathbb{R}\mapsto\sup_{\delta}\frac{f(\delta)}{\gamma z}\bigl(1-e^{-\gamma z(\delta-p)}\bigr)$ и

При классических предположениях на интенсивности (здесь — на функцию $f$, см. [9]) можно показать, что при гладком решении уравнения (2) оптимальные управления даются⁷

где $\bar\delta(z,p)=f^{-1}\bigl(\gamma z H(z,p)-\partial_p H(z,p)\bigr)$.

Замечания о вложенных OU-процессах

Оптимальные котировки и хеджирование в нашей модели зависят от текущих инвентарей и текущих значений процессов $(E_t)_{t\geq 0}$ и $(D_t)_{t\geq 0}$. EFP и инвентари наблюдаемы напрямую, а $(D_t)_{t\geq 0}$ — нет; это создаёт трудность для практической реализации.

Если зафиксировать $(D_t)_{t\geq 0}$ как в простом OU, где $k_D=\sigma_D=0$, маркетмейкеры занимаются чрезмерно уверенным статистическим арбитражем: стратегии сильно полагаются на возврат EFP к постоянному значению процесса $(D_t)_{t\geq 0}$. Чтобы внести осторожность, модель вводит изменчивость $(D_t)_{t\geq 0}$, полагая $k_D$ и $\sigma_D$ положительными. Эти параметры можно рассматривать как гиперпараметры, которыми маркетмейкер модулирует уверенность. При таком взгляде текущее значение $(D_t)_{t\geq 0}$ можно оценивать или выбирать прагматически.

Более строгая точка зрения: статистически оценить все параметры и фильтровать сигнал, чтобы в каждый момент получить приближение процесса $(D_t)_{t\geq 0}$. Для этого можно взять корреляционную структуру

Тогда все параметры оцениваются классическим методом максимального правдоподобия (без наблюдения $(D_t)_{t\geq 0}$), потому что $(E_t)_{t\geq 0}$ — гауссовский процесс с ковариационной функцией в замкнутой форме. После оценки параметров фильтрация даёт

где

и

задают трёхмерное броуновское движение, адаптированное к естественной фильтрации процессов $(S_t)_{t\geq 0}$ и $(E_t)_{t\geq 0}$, с корреляционной структурой ранга 2

Стандартная байесовская фильтрация показывает, что $(\nu_t^2)_{t\geq 0}$ на самом деле детерминирован и удовлетворяет

Если спот и фьючерс наблюдались долго, $\nu_t^2$ можно заменить асимптотическим значением

Задачу маркетмейкинга тогда решают так, как если бы $(D_t)_{t\geq 0}$ наблюдался, заменяя ненаблюдаемый процесс наблюдаемым $(\widehat D_t)_{t\geq 0}$, с заменой⁸ в уравнении (2) матрицы $R$ на $\widehat R$ и $\sigma_D$ на

Техника аппроксимации

Численная аппроксимация решения $\theta$ уравнения (2) сеточными методами затруднена высокой размерностью пространства состояний и сложной геометрией часто посещаемых при оптимуме инвентарных состояний. Чтобы обойтись без сеток, мы используем методологию, близкую к [4]: уравнение (2) заменяется близким уравнением, решение которого $\check\theta$ — квадратичный полином и служит аппроксимацией исходной функции ценности $\theta$. Затем $\check\theta$ подставляется вместо $\theta$ в (3) и даёт почти оптимальные стратегии.

Вместо $L^S$ и $L^F$ берём квадратичные аппроксимации $\check L^S(v)=\eta^S v^2$ и $\check L^F(v)=\eta^F v^2$. Затем $\mathcal{H}^S$ и $\mathcal{H}^F$ в (2) заменяются на

Следуя [4], функцию $H$ аппроксимируем квадратичной

Получаем уравнение

с терминальным условием $\check\theta(T,q^S,q^F,E,D)=-K^S(q^S)^2-K^F(q^F)^2$; его решение $\check\theta$ и есть наша аппроксимация $\theta$.

Интерес аппроксимации в том, что решение (4) — полином степени 2 по $q^S$, $q^F$, $E$ и $D$. Анзац:

где $A:[0,T]\to\mathcal{S}_4(\mathbb{R})$, $B:[0,T]\to\mathbb{R}^4$ и $C:[0,T]\to\mathbb{R}$ дифференцируемы и

Подстановка полиномиального анзаца в (4) даёт систему ОДУ для $A$, $B$ и $C$:⁹

где

где $M^A$ — блочно-диагональная матрица $4\times 4$ с верхним левым блоком $\mathrm{diag}\bigl(4\alpha_2\int_0^{+\infty}z\lambda(z)\,dz+1/\eta^S,\; 1/\eta^F\bigr)$ и нижним правым блоком $-2\gamma\widetilde\Sigma$;

Эту систему ОДУ легко решить численно и получить $\check\theta$. Замена $\theta$ на $\check\theta$ в (3) даёт следующие аппроксимации оптимальных управлений:

где $e^S=(1,0,0,0)^{\top}$ и $e^F=(0,1,0,0)^{\top}$.

Замечание 1. Важно, что в (5) мы используем исходные функции $\bar\delta$, $\mathcal{H}^S$ и $\mathcal{H}^F$ без квадратичных аппроксимаций. Аппроксимируется только $\theta$, заменяемая на $\check\theta$. В терминах обучения с подкреплением это эквивалентно аппроксимации истинной функции ценности и затем выбору жадных действий по этой аппроксимации. В частности, эффекты спреда, внесённые функциями $L^S$ и $L^F$, учитываются полностью.

Численные результаты и обсуждение

Для иллюстрации рассматриваем маркетмейкинг на спотовом золоте (XAUUSD) с доступом к фьючерсной ликвидности.

Типичная дискретизация лестницы размеров: 100, 200, 500, 1000, 2000 и 5000 oz. Стандартная интенсивность клиентских сделок

где параметры ценовой чувствительности $\alpha=-0{,}8$ и $\beta=5\,\mathrm{bp}^{-1}$. Волатильности спота золота и EFP: $\sigma_S=140\,\mathrm{bp}\cdot\mathrm{day}^{-1/2}$ и $\sigma_E=5\,\mathrm{bp}\cdot\mathrm{day}^{-1/2}$. Корреляция спот–EFP обычно мала и в этом примере полагается нулевой. Скорость релаксации EFP: $k_E=8\,\mathrm{day}^{-1}$. Сначала как бенчмарк берём простой OU с $k_D=\sigma_D=0$ и $\bar D$ фиксированным в нуле. Стандартная зависимость мгновенного рыночного воздействия от скорости исполнения: $L^S(v)=\psi^S|v|+\eta^S v^2$ и $L^F(v)=\psi^F|v|+\eta^F v^2$ с $\psi^S=0{,}4$ б.п., $\psi^F=0{,}2$ б.п., $\eta^S=7\cdot 10^{-8}\,\mathrm{bp}\cdot\mathrm{day}\cdot\mathrm{oz}^{-1}$ и $\eta^F=3\cdot 10^{-8}\,\mathrm{bp}\cdot\mathrm{day}\cdot\mathrm{oz}^{-1}$.¹⁰ Горизонт $T=1$ час обеспечивает сходимость к стационарным котировкам и скоростям хеджирования в момент $t=0$. Терминальные коэффициенты штрафа нулевые, если не указано иное.

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

Рисунок 2 показывает, как оптимальные управления маркетмейкинга зависят от спотового инвентаря. Когда фьючерсов в книге нет, равновесная спотовая позиция равна нулю, и дилер скьюит котировки, чтобы привлечь клиентский поток в сторону этого равновесия. Как и в других работах о дилемме интернализация–экстернализация (см. [2]), существует зона чистой интернализации, где скьюинг считается единственным способом снижения риска. Более крупные позиции, однако, требуют и хеджирования на рынке. Порог включения хеджа фьючерсами наступает раньше, чем для спота, и соответствующая скорость исполнения выше для фьючерса, чем для спота. Это полностью объясняется разницей в ликвидности (и, следовательно, в стоимости торговли). Ненулевая позиция во фьючерсах сдвигает квазиравновесие на споте, что соответствует EFP-позиции (каждый фьючерс спарен с противоположным спотом).

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

Рисунок 3 иллюстрирует ожидаемую релаксацию инвентаря после относительно крупной OTC-сделки на 1000 oz при $\gamma=3\cdot 10^{-4}$. Расчёт — симуляция Монте-Карло ($2\cdot 10^4$ траекторий) модели при начальном условии и оптимальных управлениях с терминальным штрафом¹¹ $K^S=K^F=10^{-3}$. Часть риска хеджируется фьючерсами очень быстро. Оставшийся избыточный спотовый риск снимается скьюингом (привлечение встречного клиентского потока) и спотовым исполнением. Рисунок 2 показывает, что при таком уровне риск-аверсии скью может быть довольно агрессивным, с офферами лучше mid. По сути, на этой быстрой стадии релаксации дилер создаёт EFP-позицию, которая затем очень медленно закрывается. Рисунок 4 — распределение вероятностей инвентаря, извлечённое из достаточно длинной траектории Монте-Карло ($10^7$ секунд).¹² Как и ожидалось, система проводит большую часть времени вдоль низкорисковой EFP-диагонали.

Возврат EFP к среднему влияет на оптимальные управления. Отклонение EFP от ожидаемого среднего сдвигает равновесный инвентарь вместе с порогами исполнения и скью котировок, как показано на рисунках 5 и 6. Понятно, что при отрицательном отклонении дилер склонен накапливать длинную EFP-позицию, и наоборот. Рисунок 5 демонстрирует, что при сильной риск-аверсии возврат EFP к среднему даёт лишь редкие возможности прямого арбитража. Это связано со стоимостью оппортунистического входа в EFP-позицию (нужно пересечь два спреда). Дилер вместо этого скьюит котировки в нужную сторону (см. рисунок 6) и ждёт, пока возможность материализуется, зарабатывая спред. При меньшей риск-аверсии аппетит капитализировать возврат EFP к среднему растёт, что приводит к оппортунистическому исполнению при экстремальных отклонениях (где верхний порог исполнения фьючерса ниже нижнего порога исполнения спота и, симметрично, где нижний порог фьючерса выше верхнего порога спота). Скью переназначается с управления EFP-риском на оппортунистический скью по отклонению EFP, как показано на рисунке 6.

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

Вложенные OU-процессы введены в этой статье именно чтобы смягчить такое переназначение, которое в основном вызвано чрезмерной уверенностью простой OU-модели. Неопределённость среднего отклонения EFP через стохастический процесс $(D_t)_{t\geq 0}$ создаёт дополнительный риск, который учитывается через риск-аверсию, и дилер менее склонен держать EFP-позицию. Рисунок 7 показывает влияние $\sigma_D$ на склонность капитализировать возврат EFP к среднему. Здесь $k_D=0{,}2\,\mathrm{day}^{-1}$, $\gamma=3\cdot 10^{-4}$, остальные параметры как выше. Как и ожидалось, чем больше $\sigma_D$, тем меньше скью и тем выше порог арбитража.

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

Выбор риск-аверсии в конечном счёте за дилером. Рисунок 8 показывает влияние риск-аверсии на долю объёма хеджирования, P&L и риск. В этом конкретном примере снижать $\gamma$ ниже $10^{-4}$ сомнительно: ожидаемый риск растёт гораздо быстрее, чем P&L. Аналогично, повышать $\gamma$ выше $10^{-3}$ неэффективно.

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

Рисунок 9 иллюстрирует работу оптимальной стратегии за один торговый день на реальных рыночных данных, но с симулированным клиентским потоком (равномерная интенсивность в течение дня). EFP-позиция явно отражает возврат EFP к среднему: дилер стремится держать EFP-риск против направления отклонения EFP. Доля объёма исполнения во фьючерсах существенно превышает долю спота из-за меньшей стоимости. Введение хеджирования фьючерсами в управление риском OTC-спота улучшает коэффициент Шарпа как минимум на 30% (не показано), несмотря на дополнительную стоимость кругового оборота во фьючерсах. Оно также позволяет давать лучшие цены тейкерам ликвидности, как показано на рисунке 10, где сравниваются котируемые bid–ask спреды при отсутствии и наличии фьючерсного рынка.

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

Заключительные замечания

Мы расширили фреймворк стохастического оптимального управления для OTC-маркетмейкинга, включив коинтегрированную ликвидность для хеджирования. Вычислительно эффективная техника аппроксимации позволяет оптимизировать стратегию по требованию почти в реальном времени — потенциально и для электронных, и для голосовых трейдеров. Подробно разобран пример спотового золота: эффективное управление риском выигрывает от доступа к существенно более ликвидным фьючерсам на золото с меньшими транзакционными издержками и одновременно капитализирует возврат EFP к среднему. В духе двухфакторной модели Халла–Уайта для процентных ставок EFP-спред моделируется вложенным процессом Орнштейна–Уленбека, описывающим наблюдаемые несколько мод релаксации, соответствующих разным торговым горизонтам участников. Интересно, что вложенные OU-процессы также служат способом робастификации чистых OU-стратегий при неопределённости параметров возврата к среднему — часто встречающийся случай. Они могут найти применение в обобщении большинства оптимизационных задач с классическими OU-процессами (см., например, торговую задачу [12]).

Заявление и благодарность

Результаты этой статьи — часть исследовательских работ в рамках HSBC Research Initiative. Высказанные взгляды принадлежат авторам и не обязательно отражают взгляды или практики HSBC. Авторы благодарны Ричарду Энтони, Джеймсу Дональдсону и Мануэлю Абельян-Лопесу (HSBC) за полезные обсуждения и поддержку на протяжении проекта.

Сноски

1. Те же математические идеи применимы и к другим классам активов. На FX можно думать, например, о маркетмейкинге с непоставляемыми форвардами (NDF) и оншорной спотовой ликвидностью. ↩
2. Обобщения не вызывают трудностей. ↩
3. Мы рассматриваем десезонализированные цены фьючерсов с вынесенной зависимостью процентных ставок от срока до погашения, потому что внутридневная волатильность ставок очень низка (см. рисунок 1). ↩
4. Вложенную динамику можно расширить более чем на один уровень, если есть статистическая или практическая необходимость. ↩
5. Постоянное рыночное воздействие здесь не рассматривалось ради простоты. Можно предположить, что и спотовые, и фьючерсные внешние сделки (процессы $(v^S_t)_{t\geq 0}$ и $(v^F_t)_{t\geq 0}$) одинаково влияют на спотовую цену, не изменяя EFP-спред. При линейном постоянном воздействии модель остаётся работоспособной. Подробнее о рыночном воздействии см. недавнюю статью [11] о важности хорошей модели импакта. ↩
6. Здесь $\mathcal{P}$ — $\sigma$-алгебра $\mathbb{F}$-предсказуемых подмножеств $\Omega\times[0,T]$, а $\mathcal{B}(\mathbb{R}^*_+)$ — борелевские множества $\mathbb{R}^*_+$. ↩
7. Поскольку $q^S$ не является непрерывным процессом, в (3) берётся левый предел $q^S$ в момент $t$, обозначаемый $q^S_{t-}$. ↩
8. При фильтрации мы остаёмся в том же семействе процессов, поэтому уравнение Гамильтона–Якоби–Беллмана сохраняется с точностью до значений этих коэффициентов. ↩
9. Приводим только уравнения для $A$ и $B$: $C$ не нужна для вычисления оптимальной стратегии. ↩
10. Параметры выбраны по подмножеству маркетмейкинговой франшизы HSBC. Их не следует считать репрезентативными для HSBC; скорее они типичны для институционального спотового дилера золота. Дневной оборот в этой постановке — около 1 млрд USD. Для изменений цены используется соглашение в базисных пунктах; на горизонте задачи это приближение практически незначимо (см. [2]). ↩
11. Эффект терминального штрафа виден только вблизи $T$, поэтому выбор $K^S$ и $K^F$ не очень важен. Однако на менее ликвидных рынках это может измениться. ↩
12. Поскольку эффект терминального штрафа довольно локален, это практически эквивалентно симуляции на протяжении нескольких дней. ↩

Литература

• Avellaneda, M. and Stoikov, S., High-frequency trading in a limit order book. Quant. Finance, 2008, 8(3), 217–224. ↑
• Barzykin, A., Bergault, P. and Guéant, O., Market-making by a foreign exchange dealer. Risk, September 2022. ↑
• Barzykin, A., Bergault, P. and Guéant, O., Dealing with multi-currency inventory risk in foreign exchange cash markets. Risk, March 2023. ↑
• Bergault, P., Evangelista, D., Guéant, O. and Vieira, D., Closed-form approximations in multi-asset market making. Appl. Math. Finance, 2021, 28(2), 101–142. ↑
• Hull, J. C. and White, A., Numerical procedures for implementing term structure models II: Two-factor models. J. Deriv., 1994, 2(2), 37–48. ↑
• Butz, M. and Oomen, R., Internalisation by electronic FX spot dealers. Quant. Finance, 2019, 19(1), 35–56. ↑
• Cartea, Á., Jaimungal, S. and Jia, T., Trading foreign exchange triplets. SIAM J. Financ. Math., 2020, 11(3), 690–719. ↑
• Cartea, Á., Jaimungal, S. and Ricci, J., Buy low, sell high: A high frequency trading perspective. SIAM J. Financ. Math., 2014, 5(1), 415–444. ↑
• Guéant, O., The Financial Mathematics of Market Liquidity: From optimal execution to market making, vol. 33, 2016 (CRC Press). ↑
• Guilbaud, F. and Pham, H., Optimal high-frequency trading with limit and market orders. Quant. Finance, 2013, 13(1), 79–94. ↑
• Hey, N., Bouchaud, J.-P., Mastromatteo, I., Muhle-Karbe, J. and Webster, K., The cost of misspecifying price impact. Risk, January 2024. ↑
• Lipton, A. and Lopez de Prado, M., A closed-form solution for optimal Ornstein–Uhlenbeck driven trading strategies. Int. J. Theor. Appl. Finance, 2020, 23(08), 2050056. ↑

Оригинал статьи: Barzykin, Bergault and Guéant, «Market Making in Spot Precious Metals», arXiv:2404.15478 · лицензия CC BY 4.0