Оптимальные комиссии за предоставление ликвидности в AMM

6/10

Стивен Кэмпбелл, Филипп Берго, Джейсон Милионис, Марсель Нуц · Columbia / … · 12 августа 2025 (arXiv: 11 августа 2025)

Оригинал: Campbell, S., Bergault, P., Milionis, J. and Nutz, M. «Optimal Fees for Liquidity Provision in Automated Market Makers», 2025 — arxiv.org/abs/2508.08152 (PDF).

Код: github.com/JasonSome/cpmm-trading — параллельная симуляция CPMM, готова к HPC.

Оригинал на arXiv по лицензии arXiv nonexclusive-distrib 1.0 (не Creative Commons); перевод для личной коллекции, не для публикации.

Ключевые слова: AMM; CFMM; Uniswap; LVR; комиссии; CEX–DEX; пассивный LP; динамические fees.

Аннотация

Пассивные LP в AMM теряют на adverse selection (LVR); статические комиссии на практике часто это не закрывают. Reduced-form модель: AMM параллельно с CEX, трейдеры маршрутизируют туда, где цена лучше, арбитражёры снимают расхождения. Крупные симуляции и калибровка на рынке. Компромисс: комиссия должна быть низкой, чтобы тянуть объём, и высокой, чтобы зарабатывать и гасить арбитраж. В норме оптимум конкурентен с издержками CEX и удивительно стабилен; при очень высокой воле высокая комиссия защищает LP. Рекомендация: пороговая динамическая шкала.

1. Введение

DEX — пул, не стакан; CFMM задаёт курс инвариантом. Пассивный LP не крутит позицию, как в LOB, и берёт долю комиссий. Цена: stale quotes снимают те, кто смотрит CEX в реальном времени. Даже после хеджа остаётся LVR / convexity cost (Milionis et al. [31]; Cartea et al. [14, 15]). На практике доходности LP часто отрицательны, особенно в воле [11, 17, 18] — угроза устойчивости пассивной ликвидности (Hasbrouck et al. [23]). Лекарства в литературе: динамические fees от волы (Cao et al. [12]), частота блоков [30], аукционы арбитража LP (Adams et al. [1], am-AMM), плюс индустриальные LVR-фиксы [3, 16, 20, 26, 27]. Нет симуляционного, model-agnostic каркаса PnL LP — его и строят.

Вопросы: PnL как функция комиссии, волы и объёма; какая $\eta^1$ максимизирует ожидание; как PnL падает, если комиссия не оптимум, потому что рынок уехал. Мотивация — динамические fees (Uniswap v4 hooks: вола и объём как best practice [32]).

Не равновесие с эндогенными условиями, а reduced-form: условия — входы. Гиперповерхность параметров; динамический рынок — кривая по ней. Короткий прогон с константами — кирпич для склейки режимов.

Модель (набросок). Нумерар $X$ и рисковый $Y$ на CEX и CPMM (Uniswap v2; Angeris et al. [4]). CEX-цена экзогенна, пропорциональная издержка $\eta^0$ — все затраты CEX (комиссия, спред, …). AMM: один LP, без mint/burn, комиссия $\eta^1$ ему. Арбитражёры закрывают round-trip после fees. Фундаментальные трейдеры имеют внешний спрос и маршрутизируют каждую маржу на площадку с лучшей ценой после fees (агрегатор). Часть потока выравнивает AMM с CEX ещё до прибыльного арбитража. PnL LP = комиссии + изменение marked-to-CEX стоимости резервов.

Отличие от литературы: там CEX обычно без трения, на AMM ходят только «худшая» сторона информированных плюс noise traders, без которых LP никогда не в плюсе. Здесь noise traders в базовой модели нет. Фундаментальные знают CEX и выбирают площадку. LP может зарабатывать, потому что CEX тоже не бесплатен: маржинальный покупатель идёт на AMM, если $S^1(1+\eta^1)\lt S^0(1+\eta^0)$. Это консервативная оценка: KYC, контрагентский риск и «просто не хочу CEX» только улучшат LP (шум — §6).

v3/v4 не берут: слишком много параметров, труднее sanity-check по отношению цен (§5).

Результаты. Код параллельный, публичный. CEX — GBM без дрейфа, одна $\sigma$ (на вход годится любой ряд). PnL падает с волой, растёт с фундаментальным спросом (раньше спрос почти не смотрели). Механика: распределение $R_t=S^1_t/S^0_t$ (adverse selection на сделку) × объём AMM (комиссии). Вола раздувает $R$; спрос сужает его — односторонний поток даёт reverting drift до порога арбитража. Если вола растёт вместе со спросом, нетто по PnL может быть плоским; но $\sigma\to\infty$ всегда убивает LP.

Комиссия AMM: выше — больше с сделки и защита от AS, меньше объём, липче цена, арбитраж требует большего расхождения. Оптимум в «норме» единственный и подрезает $\eta^0$: слиппедж AMM = fee + импакт, на CEX — только fee. Предыдущие модели давали 125–250 bps (He et al. [25]); здесь ниже, ближе к популярным пулам 5 bps. Regret умеренный, пока вола ниже порога, на котором LP хочет $\eta^1=\infty$ (остановить торговлю). Порог сдвигается, если вместе с волой вырос спрос.

Эмпирика (§5): минутные ETH/USDC Binance + Uniswap v2, январь 2025. Три параметра $(\sigma,\eta^0,\bar\Delta)$ калибруют распределение $\log R_t$. Калиброванная $\eta^0$ около posted taker; на истории fee ниже эффективной CEX улучшает PnL LP.

§6: шум, частота, разные fees для arb vs фундаментальных, дрейф цены. Литература: Capponi–Jia, Lehar–Parlour, Hasbrouck et al., Aoyagi–Ito (informed выбирают площадку, но LP в равновесии в нуле), LVR-линия Milionis, динамические fees Baggiani et al. [7].

2. Модель

Два актива, два веню, горизонт $[0,T]$, $N$ шагов $\delta t=T/N$. Агенты: арбитражёры, фундаментальные, LP (+ шум в §6).

CEX. Цена $S^0_t$ экзогенна. База — GBM без дрейфа: \[ \log(S^0_t/S^0_0)=-\tfrac12\sigma^2 t+\sigma W_t. \] Пропорциональная $\eta^0\gt 0$, без импакта (CEX жидже DEX). Своп $y$ единиц $Y$ стоит $y S^0$ плюс $\eta^0 y S^0$ в $X$.

DEX / CPMM. $X_t Y_t=k$, маржинальная $S^1_t=X_t/Y_t$. Своп $\Delta$ (плюс = покупка $Y$): \[ P_t[\Delta]=\frac{X_t}{Y_t-\Delta},\quad X\leftarrow X+P_t[\Delta]\cdot\Delta,\quad Y\leftarrow Y-\Delta, \] новая цена $(Y/(Y-\Delta))^2 S^1$. Комиссия $\eta^1 P_t[\Delta]|\Delta|$ в $X$ сразу LP. Без mint/burn резервы двигают только свопы. Код модульный (G3M и др.).

Порядок шага (рис. 2): (1) тик CEX; (2) арбитраж, если round-trip после fees прибылен; (3) монетка — сначала покупатели или продавцы фундаментала, каждый кусок на лучшую площадку; (4) LP хеджирует инвентарь на CEX.

Пороги по отношению $R_t=S^1_t/S^0_t$ — табл. 1: фундаментальный покупатель идёт на AMM, если $R$ достаточно мало относительно $(1+\eta^0)/(1+\eta^1)$; арбитраж покупает $Y$ на AMM при $R\le 1/(1+\eta^1)$, и т.д. Прибыльность сделки для LP (marked-to-CEX) зависит от того, покрывает ли $\eta^1$ разрыв цен. Рост $\eta^1$ раздвигает arb-пороги, но может вытолкнуть buy/sell-зоны из прибыльной области.

3. Определители прибыльности LP

Метрика — ожидание хеджированного терминального PnL (гистограммы по $10^5$ симуляций, рис. 3). При фиксированных 15 bps AMM: поверхность по спросу и $\sigma$ (рис. 4) — PnL растёт со спросом, падает с волой.

Распределение $\log R_t$ перед сделкой (рис. 6) — центр бенчмарка $\eta^1=15$, $\eta^0=20$ bps. Выше AMM-fee — шире «мёртвая» зона, липче цена. Выше $\sigma$ — толще хвосты (больше AS). Выше спрос — уже распределение: односторонний поток mean-reverts $R$ до арбитража.

Объём фундаментала на AMM (рис. 7) почти везде падает с $\eta^1$, кроме очень малых fees/высокой волы. Объём арбитража (рис. 8) растёт с $\sigma$ и с $\eta^1$ (липкость), пока fee не душит всё.

4. Оптимальные комиссии

Поверхность $\mathbb E[\mathrm{PnL}](\eta^1,\sigma)$ (рис. 9): для широкого диапазона волы внутренний максимум строго ниже $\eta^0$; пик сдвигается вместе с $\eta^0$. «Подрезка» — не headline Binance, а эффективные издержки (тиры, rebates, алго). При высокой воле внутренний max исчезает, PnL отрицателен на всех разумных fees → оптимум $\eta^1=\infty$. Большой спрос сглаживает чувствительность к fee.

Рис. 10: оптимальная $\eta^1(\sigma)$ при разном спросе. При низком спросе — U-образная: при $\sigma=0$ почти вся выручка $\eta^1(\Delta B+|\Delta S|)S$ при $\eta^1\uparrow\eta^0$; малая вола требует чуть снизить fee, чтобы не потерять поток, затем снова поднимать защиту. В «нормальном» режиме (бенчмарк §4.3–4.4) оптимум стабильно чуть ниже CEX. На правом панели, где маркер на 40 bps и PnL везде отрицателен, истинный оптимум — бесконечность.

Regret: в норме держать одну хорошо выбранную fee ниже CEX почти не больно. Выше порога волы константная fee сильно проигрывает «выключить пул».

5. Эмпирика

Минутки январь 2025: резервы Uniswap v2 ETH/USDC (Dune), implied DEX из $k=XY$; fee 30 bps; старт $\approx 23$ млн USDC и $6903$ ETH. Параллельно минутки Binance ETH/USDC. TVL за месяц почти плоский (рис. 13) — пассивный LP на горизонте ок.

Калибровка: эмпирическая гистограмма $r_t=\log R_t$; $\eta^1=30$ bps фиксирована; ищут $(\sigma,\eta^0,\bar\Delta)$ минимизацией $L^2$ между эмпирическим и симулированным распределением. Историческая vol завышена из-за кластеров — берут model-implied. Качественно то же на 2020–21, когда v2 был жиже.

Рабочие числа симуляции: $\eta^0=9.18$ bps (середина двух калибровок), $\bar\Delta=14\,704$ ETH/день. Оптимум около $\eta^1=5.42$ bps — чуть ниже эффективной CEX. Кривые PnL vs fee на исторических ценах совпадают по форме с GBM вокруг калиброванной $\sigma$ (рис. 15) — стилизованной волы хватает для дизайна fee.

Два прогона на минутках Binance: 30 bps (как v2) — широкие arb-полосы, редкие сделки, хеджированный и нехеджированный PnL отрицательны. $5.42$ bps — уже полосы, больше исполнений, PnL заметно лучше, особенно с хеджем инвентаря. Модель консервативна по объёму: все агенты знают цены и маршрутизируют идеально.

6. Расширения

Частота. Больше $N$ при том же $T$ — мельче шаг, больше шансов arb на мелком тике; качественно оптимум «подрезать CEX» жив.

Noise traders. Всегда на AMM → прямой трансфер комиссий LP, сдвигает порог «выключить пул» вправо. Базовый вывод без шума — нижняя оценка.

Разные fees. $\eta^A$ для арбитражёров vs fee фундаментальных: меняются пороги маршрутизации (формулы в оригинале §6.3). Смысл практики: retail vs flow arb / агрегаторы.

Дрейф / OU. $\mu\in[-0.04,0.04]$ и mean-reversion $\kappa$ двигают уровень PnL, но максимум по $\eta^1$ ниже эффективной CEX остаётся (рис. 22).

7. Заключение

Reduced-form CEX–DEX: PnL и оптимум fee как функции волы и спроса; калибровка воспроизводит $\log R$. В «офисные» дни AMM должен конкурировать с издержками CEX — часто ниже 30 bps v2, в духе пулов 5 bps (на 30 июня 2025 ETH-USDC Uniswap v4: 130,6 млн USD TVL на 5 bps vs 5,3 млн на 30 bps; v3: 94 vs 51 млн). Оптимум в норме стабилен. В экстремальной воле пассивному LP нужна высокая fee или пауза. Практический дизайн: Uniswap v4 hook с двумя уровнями — «конкурируем с CEX» и «режим бури».

Благодарности. Chang, Drissi, Jia, Lee, Wan; Fields Institute, UChicago; гранты Columbia CFDT, NIH/NYSTAR HPC, NSERC, NSF, Onassis, Leventis. Раскрытие: Милионис консультирует блокчейн-компании, в т.ч. связанные с AMM; остальные — без конфликта. Не инвестрекомендация.

Литература

Перевод: §§1–7. Приложения и рис. 1–22 — в PDF и коде. · arXiv:2508.08152 · лицензия arXiv nonexclusive-distrib 1.0