Оптимальная торговля при мгновенном и персистентном price impact, предсказуемых доходностях и многомасштабной стохастической волатильности

6.5/10

Ключевые слова: optimal trading, price impact, return predictability, multiscale stochastic volatility.

Аннотация

Мы рассматриваем задачу динамической оптимизации портфеля, включающую предсказуемые доходности, мгновенные транзакционные издержки, price impact и стохастическую волатильность, — расширяя классические результаты Gârleanu and Pedersen (2013), где волатильность постоянна. Построение оптимальной портфельной стратегии в этой общей постановке затруднено нелинейностью возникающих уравнений Гамильтона–Якоби–Беллмана (ГЯБ). Для решения предлагается многомасштабное разложение по волатильности, захватывающее динамику стохастической волатильности на разных временных масштабах: сингулярное возмущение для быстрого mean-reverting фактора волатильности и регулярное — для медленного. Также введена аппроксимация для малого price impact с демонстрацией численной точности. Формально выведены асимптотические приближения до второго порядка; симуляции Монте-Карло показывают, как включение этих поправок улучшает Profit and Loss (PnL) результирующей портфельной стратегии.

1. Введение

Tractable-каркас для динамической оптимизации портфеля при рыночных трениях предложили Gârleanu and Pedersen (2013, 2016): они вывели торговые стратегии в замкнутой форме с учётом предсказуемости доходностей, мгновенных и персистентных транзакционных издержек. Модель учитывает мгновенные издержки от механики лимитного стакана и персистентные — price impact в литературе, — отражающие длительное влияние сделок на цену актива. Опираясь на литературу по price impact, Webster (2023) даёт обзор современной теории с обширными ссылками на optimal execution и market impact и практическими соображениями по реализации.

В этой работе мы расширяем эту линию исследований, вводя стохастическую волатильность в задачу динамической торговли. Конкретно — многомасштабную модель стохастической волатильности с медленным и быстрым факторами по Fouque et al. (2011). Работа также даёт дополнительные инсайты в структуру и решение системы уравнений, возникающей даже при постоянной волатильности в наиболее общей постановке с персистентными и мгновенными издержками. Gârleanu and Pedersen (2013) не выводят явные решения в этом случае, лишь утверждая существование единственного решения при подходящих условиях. Мы показываем, что при относительно малом price impact система допускает численно tractable аппроксимации. Сходный асимптотический подход использован в Ekren and Muhle-Karbe (2019), где оба вида трения — мгновенное и персистентное — малы, что приводит к решению через алгебраическое уравнение Riccati.

В отличие от случая постоянной волатильности у Gârleanu and Pedersen (2013), при стохастической волатильности уравнение ГЯБ становится нелинейным. Однако метод асимптотической аппроксимации Fouque et al. (2011) показывает, что задача остаётся tractable как возмущение вокруг полностью решаемого решения при постоянной волатильности. Ниже — ключевые аспекты построения нашей динамической оптимизационной постановки.

Предсказуемость доходностей. Одна из главных задач трейдера — прогнозировать движение актива и извлекать прибыль из прогнозов. Прогнозы не ограничиваются простыми краткосрочными проекциями, а часто включают сложные модели с mean-reversion и momentum.

Транзакционные издержки. При исполнении стратегий через изменение позиций возникает трение: bid-ask спред, комиссии. Инвесторы хотели бы следовать теоретически «оптимальному» портфелю, но издержки вызывают отклонение от портфеля, вычисленного без трений. В литературе их называют мгновенными: после сделки они не влияют на цену актива.

Price impact. Ключевой фактор при выборе стратегии: влияние торговых решений на цену. Первые модели появились в 1980-х; значимость быстро признали в академии и индустрии. В литературе price impact иногда называют персистентными транзакционными издержками.

Стохастическая волатильность. Играет ключевую роль в ценообразовании активов, объясняя volatility smile и другие эмпирические факты. Chacko and Viceira (2005) подчёркивают важность многофакторного моделирования — мы опираемся на эту идею, поскольку анализ high-frequency и low-frequency данных даёт существенно разные результаты.

Мы объединяем все перечисленные элементы в одной постановке динамической оптимизации портфеля. Задача остаётся столь же tractable, как у Gârleanu and Pedersen, хотя модель волатильности расширена от простого постоянного случая до двухфакторной многомасштабной стохастической волатильности. Явные поправочные члены вызывают отклонение оптимальной скорости торговли от случая постоянной волатильности; эти поправки существенно улучшают PnL портфеля, что мы количественно оцениваем симуляциями Монте-Карlo в численном разделе. Вклад работы также в том, что многомасштабные модели стохастической волатильности ранее применялись в безтрictionных задачах вроде оптимизации портфеля Merton (Fouque et al., 2017b), а здесь — в постановке с рыночными трениями.

Кроме того, для широкого класса practically relevant моделей стохастической волатильности (Heston, exponential OU, 3/2-model) поправки к стратегиям постоянной волатильности выводятся в замкнутой форме и соответствуют рациональному экономическому поведению.

В частности, при быстрой динамике трейдерам рекомендуется снижать плечо, когда текущая волатильность превышает долгосрочное среднее, независимо от корреляции доходность–волатильность. При медленной динамике корреляция играет более существенную роль: при положительной корреляции инвестор оптимально снижает скорость торговли, ожидая, что более высокая ожидаемая доходность сопровождается более высокой волатильностью. Мы также показываем, что влияние медленной стохастической волатильности сильнее, чем быстрой, в контексте нашей бесконечно-горизонтной задачи optimal trading: ведущий член разложения по быстрой волатильности тождественно обращается в нуль, и для захвата основных эффектов нужно вычислять второй порядок.

Более свежие работы фокусируются на динамике price impact. Carmona and Webster (2019) показали локальную вогнутость propagator в sophisticated моделях для общего стакана, подтвердив численные результаты Bouchaud et al. (2009). Muhle-Karbe et al. (2024b) демонстрируют, что случайность уровня impact эффективно захватывает эффект вогнутости, давая простую линейную time-varying модель. Brokmann et al. (2025) предлагают аппроксимировать нелинейный price impact линейными торговыми стратегиями.

Недавние исследования включают machine и deep learning в оптимизацию портфеля: Buehler et al. (2019) — hedging path-dependent payoffs нейросетями при торговом трении; Han et al. (2018) — deep learning для high-dimensional forward-backward SDE в нелинейном стохастическом управлении; Heaton et al. (2017) — deep portfolios для сложной структуры взаимодействий активов. Deep learning и robust control применяются к model uncertainty: Pham et al. (2022) — robust dynamic mean-variance при drift ambiguity; Lin et al. (2022) — multiagent deep RL для portfolio management; Cai and Yu (2025) — Bayesian learning под minimax rule. Muhle-Karbe et al. (2024a) сравнивают решения Gârleanu and Pedersen с neural network методами: при оптимальной калибровке линейных impact-параметров к underlying nonlinear impact модели политика конкурентна с NN, кроме крайне illiquid рынков. Abi Jaber and Neuman (2022) и Neuman and Voß (2022) включают predictive finite-variation signals в propagator-модели с transient и temporary impact.

Асимптотическая аппроксимация при многомасштабном моделировании стохастической волатильности применялась в optimal investment и derivative pricing. По Fouque et al. (2011), singular и regular perturbation methods эффективно аппроксимируют линейные задачи ценообразования опционов. Наш анализ сходен с этой линией, но отличается в ключевых аспектах: мы явно включаем транзакционные издержки и price impact; рассматриваем mean-variance оптимизацию на бесконечном торговом горизонте; даём явное вычисление членов до второго порядка поправки по быстрой стохастической волатильности.

Обзор. В таблице 1 суммированы модели динамической торговли в литературе. Type — continuous/discrete; Cont./Disc.; (g)BM — (geometric) Brownian motion; SV — stochastic volatility; pred. — predictability; Lrr — linear rebalancing rules.

1.1. Структура работы

В разделе 2 представлена непрерывно-временная модель с многомасштабной стохастической волатильностью; выведено уравнение ГЯБ и аналитическое решение при постоянной волатильности. В подразделе 2.5 — случай постоянной волатильности Gârleanu and Pedersen; в 2.6 — аппроксимация для относительно малого price impact. Далее, для управляемости изложения, анализируем два фактора отдельно. Раздел 3 — быстрый фактор волатильности (singular perturbation для ГЯБ). Раздел 4 — медленный фактор (regular perturbation). Раздел 5 — объединение быстрых и медленных результатов при многомасштабной стохастической волатильности. Раздел 6 — численные примеры. Раздел 7 — заключение и направления расширения.

2. Модель рыночной торговли

2.1. Рыночное трение

При исполнении рыночных заявок возникает издержка от влияния торговых решений на ликвидность и, следовательно, на цену. В литературе эта издержка обычно моделируется квадратичной по скорости торговли (Gârleanu and Pedersen, 2016). Обозначим $q_t$ — позицию (число акций) в момент $t$:

где $u_t$ — скорость торговли. Издержка вводится при допущении, что после исполнения ликвидность возвращается к исходному уровню и не оказывает lasting impact на цену. Её называют мгновенной (instantaneous) или temporary transaction cost:

где $K > 0$ — константа уровня транзакционных издержек. При $u_t > 0$ цена исполнения превышает unaffected price, разница пропорциональна скорости торговли.

Кроме temporary costs при исполнении, учитываем персистентную (transient) транзакционную издержку — price impact: покупка или продажа сдвигает цену вверх или вниз, эффект сохраняется после сделки, поскольку ликвидность может не восстанавливаться мгновенно.

Вводим unperturbed price $P_t$ и perturbed price $S_t$ (Webster, 2023):

где $(l_t)_{t\ge 0}$ — накопленный price impact. По Gârleanu and Pedersen (2016) и Webster (2023), impact эволюционирует линейно по изменению позиции и экспоненциально затухает:

где $\beta, \lambda > 0$. Webster (2023) называет $\beta$ decay rate impact и $\lambda$ — мерой рыночной ликвидности. Для простоты параметры постоянны во времени.

2.2. Функция богатства трейдера

Функция богатства состоит из трёх компонент: позиция в акции, штраф за риск и транзакционные издержки. Процентная ставка нулевая. Трейдер следует self-financing стратегии для максимизации финансового gain от позиции:

Из (3): $q_t\,dS_t = q_t(dP_t + dl_t) = q_t\,dP_t - (\beta q_t l_t - \lambda q_t u_t)\,dt$.

Далее — член risk aversion: трейдер максимизирует прибыль и минимизирует risk exposure. Динамика цены одного актива с одним return predictor $x_t$:

где $B_t$ — стандартное броуновское движение, $Y_t, Z_t$ — факторы стохастической волатильности. Без потери общности drift $\alpha_t$ (alpha signal) разлагаем на константу $\bar\alpha$ и zero-mean intraday компонент $x_t$: $\alpha_t := \bar\alpha + x_t$. Сигнал $x_t$ — процесс Ornstein–Uhlenbeck:

где $W_t^{(0)}$ независимо от $B_t$. Risk aversion — штраф в objective:

где $\gamma$ — параметр risk aversion. С учётом temporary cost из (2) трейдер выбирает $(u_t)_{t\ge 0}$ для максимизации discounted expected excess returns с штрафом за риск и издержки:

где $\rho > 0$ — discount factor. При совместной марковости $(x_t, Y_t, Z_t)$ определяем функцию ценности

где $\mathbb{E}_{q,l,x,y,z}[\cdot] = \mathbb{E}[\cdot \mid q_0=q, l_0=l, x_0=x, y_0=y, z_0=z]$, $(q,l,x)\in\mathbb{R}^3$.

2.3. Многомасштабная стохастическая волатильность

Работаем в каркасе multiscale stochastic volatility (Fouque et al., 2011, 2017b): один быстрый и один медленный фактор волатильности. Волатильность — функция $\sigma(Y_t, Z_t)$; факторы:

где $W_t^{(0)}, W_t^{(1)}, W_t^{(2)}$ — стандартные броуновские движения на filtered probability space с мгновенными корреляциями

при $|ρ_i| < 1$, $|ρ_{12}| < 1$ и положительной определённости ковариационной матрицы трёх BM. Brownian motions независимы от $B_t$. Модель задаётся коэффициентами $\bar\alpha, \kappa, \eta, \sigma, a, b, c, g$; малые $\varepsilon, \delta$ характеризуют быструю и медленную вариацию факторов $Y$ и $Z$.

Предполагаем $Y_t \stackrel{d}{=} Y_{t/\varepsilon}^{(1)}$, где $Y^{(1)}$ — ergodic процесс с инвариантным распределением $\Phi$, не зависящим от $\varepsilon$. Аналогично $Z_t \stackrel{d}{=} Z_{\delta t}^{(1)}$ — diffusion с drift $c$ и diffusion $g$; для slow-scale asymptotics при $\delta\downarrow 0$ ergodicity $Z^{(1)}$ не требуется.

2.4. Уравнение Гамильтона–Якоби–Беллмана

Без потери общности полагаем $\bar\alpha = 0$. Supremum — по admissible стратегиям: $F_t$-progressively measurable, square-integrable, с единственным strong solution для (6), (8), (9). Dynamic programming даёт уравнение ГЯБ:

с операторами

$\mathcal{L}_0$ и $\mathcal{M}_2$ — infinitesimal generators процессов $Y^{(1)}$ и $Z^{(1)}$. Максимизация по $u$ квадратична; оптимальная скорость торговли

подстановка даёт нелинейное PDE (10), не решаемое напрямую аналитически или численно. Подход — perturbation вокруг случая постоянной волатильности (Gârleanu and Pedersen, 2013).

2.5. Решение при постоянной волатильности

При постоянной $\sigma$ функция ценности $v(q,l,x)$ не зависит от $y, z$. Уравнение ГЯБ упрощается:

По Gârleanu and Pedersen (2013), ansatz:

Подстановка в (11) даёт алгебраическую систему для коэффициентов $A$ (уравнения (13)–(19) оригинала). Система нелинейна и сложнее случая без price impact ($\lambda=\beta=0$). В общем случае замкнутого решения нет, но при достаточно большом $\gamma$ существует единственное положительное решение (Gârleanu and Pedersen, 2013). При $\lambda=\beta=0$ — замкнутая форма для $A_{qq}, A_{xx}, A_{qx}, A_0$, остальные нулевые.

Решая подсистему (13), (14), (16) для $A_{qq}, A_{ql}, A_{ll}$, получаем квартическое уравнение для $A_{ql}$; корни дают кандидаты, остальные уравнения линейны и решаются последовательно.

Оптимальная торговая стратегия. Оптимальная скорость:

В терминах target portfolio и tracking speed (Gârleanu and Pedersen, 2013, 2016):

где

при $r_c \ne 0$. Трейдер отслеживает time-varying target $\mathrm{aim}_t^c$ со скоростью $r_c$. Зависимость от $\sigma$ будет расширена в случае стохастической волатильности.

2.6. Аппроксимация малого price impact

Система (13)–(19) для leading order нелинейна. Предлагаем аналитический метод упрощения. Эмпирически (Webster, 2023) price impact мал относительно размера позиции. Вводим scaling parameter $\theta$ в dynamics impact:

$\theta$ мало. Обозначим $A^\theta$ — решение системы с заменами $\beta \mapsto \theta\beta$, $\lambda \mapsto \theta\lambda$. Разложение:

Подстановка даёт полином по $\theta$; коэффициенты при каждой степени обращаются в нуль, что позволяет решать рекурсивно.

2.6.1. Член нулевого порядка $\theta^0$

При $\theta=0$ — результат Gârleanu and Pedersen (2013) без price impact:

с $A_{ql}^{(0)} = A_{ll}^{(0)} = A_{xl}^{(0)} = 0$. Решение:

2.6.2. Член первого порядка $\theta^1$

Линейная система для $A^{(1)}$; ключевые результаты:

Член второго порядка — в приложении A. Точность первого порядка демонстрируется численно в разделе 6.

3. Один быстрый фактор

Сначала анализируем задачу при одном быстром факторе волатильности $\sigma = \sigma(Y_t)$. PDE функции ценности $v(q,l,x,y)$:

Singular perturbation при $\varepsilon\downarrow 0$; асимптотическое разложение:

3.1. Член нулевого порядка $v^{(0)}$

Порядок $\varepsilon^{-1}$: $\mathcal{L}_0 v^{(0)} = 0$ — $v^{(0)}$ не зависит от $y$. Порядок $\varepsilon^{-1/2}$: $v^{(1)}$ также не зависит от $y$. Порядок $\varepsilon^0$:

Условие разрешимости (Fredholm alternative):

где $\langle h\rangle = \int h(y)\,\Phi(dy)$ — expectation под инвариантным распределением $Y^{(1)}$. Это PDE случая постоянной волатильности с $\sigma$ заменённой на $\langle\sigma\rangle$; $v^{(0)}$ — квадратичная форма как в (12).

Вычитая (24) из (23):

Poisson equation с решением

Пример 1. $\sigma^2(y)=y$, CIR: $b(y)=\chi(\mu-y)$, $a(y)=\psi\sqrt{y}$. Тогда $v^{(2)} = -\frac{\gamma}{2\chi}(y-\mu)q^2$.

Пример 2. Exponential OU (Masoliver and Perelló, 2006): $\sigma(y)=me^y$, $b(y)=-\theta y$, $a(y)=\hat\sigma$. Интеграл $\int_0^\infty P_t h(y)\,dt$ не имеет простой замкнутой формы; для малых флуктуаций вокруг среднего — аппроксимация через incomplete gamma functions.

3.2. Член первого порядка $v^{(1)}$

Порядок $\sqrt{\varepsilon}$ даёт Poisson equation для $v^{(3)}$; условие разрешимости — линейное однородное PDE для $v^{(1)}$, допускающее тривиальное решение $v^{(1)}\equiv 0$. Следовательно, $v^{(3)}$ также не зависит от $y$.

3.3. Член второго порядка $v^{(2)}$

На порядке $\varepsilon$, с $v^{(1)}=0$, получаем линейное однородное уравнение для $C$; без потери общности $C\equiv 0$. Ведущая поправка к функции ценности — (26).

3.4. Оптимальная торговая стратегия

С поправкой управление:

В терминах tracking:

Главная поправка к оптимальной скорости: $u^{(2)}(q,y) = -\frac{q}{K}\varphi(y)$.

Пример 1 (продолжение). CIR: $u^{(2)}(q,y) = -\frac{\gamma}{\theta K}q(y-\mu)$ — снижать exposure при волатильности выше long-term average. Скорректированные параметры: $r_f = r_c + \varepsilon\frac{\gamma}{\theta K}(y-\mu)$; $\mathrm{aim}_t^f = \mathrm{aim}_t^c\left(1 - \varepsilon\frac{\gamma}{\theta(A_{qq}-\lambda-\lambda A_{ql})}(y-\mu)\right)$. Скорость $r_f$ растёт с $y$; target portfolio уменьшается при $y$ выше среднего. Эффекты ослабляются большим $K$ или меньшим $\gamma$.

4. Один медленный фактор

Рассматриваем случай одного slow-scale фактора. PDE $v(q,l,x,z)$:

Разложение:

4.1. Член нулевого порядка $\delta^0$

При $\delta=0$ — PDE как (11) с явной $z$-зависимостью $\sigma$. Решение — параметризованный случай постоянной волатильности:

4.2. Член первого порядка

На порядке $\sqrt{\delta}$:

Ansatz $v^{(1)}(q,l,x,z) = B_q(z)q + B_l(z)l + B_x(z)x$. Приравнивание коэффициентов при $q,l,x$ даёт линейную систему для $B_q, B_l, B_x$ с

При $\lambda=\beta=0$: $\Gamma(z)>0$ для $\sigma(z)>0$. При малом price impact предполагаем $\Gamma(z)>0$. Решение $B_q(z), B_l(z), B_x(z)$ — формулы (28) оригинала (длинные выражения через производные $A$ и $g(z)$).

4.3. Оптимальная торговая стратегия

С первой поправкой:

В терминах tracking: $u_t^* = r_s(Z_t)(\mathrm{aim}_t^s - q)$ с

При малом price impact $B_q$ и $\rho_2$ имеют противоположные знаки при монотонно возрастающей $\sigma$ по $Z_t$. При положительной корреляции $\rho_2$ между волатильностью и доходностями инвестор оптимально снижает скорость торговли; при отрицательной — увеличивает. Производные для $B$-членов — приложение B; второй порядок для одного медленного фактора — приложение C.

5. Многомасштабная двухфакторная модель волатильности

Обогащённая модель с быстрым и медленным факторами. PDE — (10) с $v^{\varepsilon,\delta}$. Разложение по обоим масштабам:

$v^{(0)}$ — решение случая постоянной волатильности с $\bar\sigma^2(z) := \langle\sigma^2(\cdot,z)\rangle$. Поправки из раздела 3:

Первая поправка по медленному масштабу на порядке $\sqrt{\delta}$: $v^{(0,1)}(q,l,x,z) = B_q(z)q + B_l(z)l + B_x(z)x$ с коэффициентами из (28), где $A$ определены при $\bar\sigma^2(z)$.

Оптимальная торговая стратегия. С поправками до порядков $\varepsilon$ и $\delta$:

Или $u^* = r_m(\mathrm{aim}_t^m - q)$ с

Замечание 5.1. И target, и tracking speed затронуты multiscale stochastic volatility в представлении выше.

6. Примеры и численные решения

Численные примеры демонстрируют эффективность вычисления асимптотической аппроксимации в practically relevant моделях и улучшение PnL симуляциями Мonте-Carlo. Цель — оценить различие PnL при исполнении с постоянной скоростью и с corrected optimal rate.

6.1. Численная аппроксимация price impact

Для Monte Carlo в slow-scale режиме используем метод приложения B. Полное решение нелинейной системы на каждом шаге и траектории computationally prohibitive; применяем first-order аппроксимацию из §2.6 для всех коэффициентов $A$. Сравниваем с exact solutions и вычисляем normalized error по широкому диапазону $\sigma$ (рисунок 1).

Также вычисляем normalized error для четырёх главных производных коэффициентов, необходимых для $B_q$ и $B_l$ (рисунок 2). На обоих рисунках ошибки порядка $O(\theta^2)$, что подтверждает использование first-order аппроксимации в Monte Carlo. Normalized error быстро убывает с ростом $\sigma$ для всех коэффициентов и их производных.

6.2. Пример быстрого фактора

Динамика цены и волатильности — модель Heston: $\sigma(y)=\sqrt{y}$, $b(y)=\chi(\mu-y)$, $a(y)=\psi\sqrt{y}$ при Feller condition $\psi^2 < 2\mu$. Оптимальная стратегия с second-order поправкой (§3):

На рисунке 3 — trading speed и aim portfolio как функции $K$. Сплошная линия ($y=\mu$) — скорость без поправки $r_c$. При волатильности выше $\mu$ поправка увеличивает adjusted speed $r_f$; ниже $\mu$ — уменьшает. Для target portfolio $\mathrm{aim}^f$ — противоположный эффект.

Горизонт $T=2$ года; Monte Carlo сравнивает PnL (i) constant-rate optimal strategy и (ii) corrected strategy с fast mean-reverting SV (рисунок 4). Second-order поправка существенно улучшает performance: средний прирост 53.27 bps относительно constant volatility strategy при $Y_0=0.4$. Дисперсия PnL ниже в corrected case: 0.6286 против 0.6515.

6.3. Пример медленного фактора

Kraft (2005): $\sigma(z)=\sqrt{z}$, CIR для $Z_t$: $c(z)=m-z$, $g(z)=\beta\sqrt{z}$ при Feller $\beta^2 < 2m$. Trading speed в этом режиме не меняется; сравниваем aim portfolio (рисунок 5). При положительной корреляции BM доходностей и фактора $Z$ target $\mathrm{aim}_t^s$ больше, чем при constant volatility; при отрицательной — меньше.

Monte Carlo при $T=2$ года (рисунок 6): empirical PDFs PnL gains при разных начальных $Z_0$. Статистика — таблица 2. Хотя $\delta$ в slow-factor setting меньше $\varepsilon$ в fast-scale примере, PnL gains сопоставимы по величине — slow factor сильнее корректирует constant volatility strategy.

7. Заключение

Эмпирические исследования показывают, что стохастическую волатильность эффективно моделируют два фактора — быстрый и медленный (Fouque et al., 2011). Мы расширяем классическую задачу optimal execution при постоянной волатильности (Gârleanu and Pedersen, 2013) этим multiscale volatility framework.

Влияние стохастической волатильности на optimal execution систематически изучается асимптотическими аппроксимациями, сохраняющими tractability оптимальной стратегии. Выведены первые два члена асимптотического разложения функции ценности Gârleanu and Pedersen (2013) отдельно для одного быстрого и одного медленного фактора; в §5 показано объединение при general multiscale SV. Rigorous accuracy analysis для option pricing — Fouque et al. (2011); для Merton problem — Fouque et al. (2022); для нашей постановки — future work.

Предложен метод small parameter approximations для системы Gârleanu and Pedersen (2016) при relatively small price impact. Численные примеры и Monte Carlo показывают, что resulting strategies ведут к более эффективному portfolio management и улучшению PnL при volatility fluctuations на distinct time scales.

Направления расширения:

1. Stochastic liquidity. Almgren (2012): $\lambda$ варьируется в течение дня (пики на open/close). Реалистичное расширение — time-varying $\lambda$ с joint dynamics.
2. Nonlinear price impact. Более sophisticated propagator models vs tractability optimal strategy.
3. Partial information and expert opinions. Return signal полностью observable как OU; на практике — partial observation (Fouque et al., 2017a; Muhle-Karbe et al., 2023).

Приложения A, B и C

Приложение A содержит полные формулы second-order small price impact approximation (§2.6). Приложение B — метод вычисления производных коэффициентов $A$ для slow-scale correction. Приложение C — explicit formulas second-order approximation для одного медленного фактора. Технические доказательства и длинные алгебраические выкладки опущены в этом переводе. См. оригинал: arxiv.org/pdf/2507.17162.

Литература

• Abi Jaber, E. and Neuman, E. Optimal liquidation with signals: The general propagator case. SIAM Journal on Financial Mathematics, 13(2):451–479, 2022.
• Almgren, R. Optimal trading with stochastic liquidity and volatility. SIAM Journal on Financial Mathematics, 3(1):163–181, 2012.
• Bichuch, M. and Sircar, R. Optimal investment with transaction costs and stochastic volatility. Social Science Research Network Working Paper Series, 2014.
• Bouchaud, J.-P., Farmer, J. D. and Lillo, F. How markets slowly digest changes in supply and demand. In Handbook of Financial Markets: Dynamics and Evolution, pages 57–160. Elsevier, 2009.
• Brokmann, X., Itkin, D., Muhle-Karbe, J. and Schmidt, P. Tackling nonlinear price impact with linear strategies. Mathematical Finance, 35(2):422–440, 2025.
• Buehler, H., Gonon, L., Teichmann, J. and Wood, B. Deep hedging. Quantitative Finance, 19(8):1271–1291, 2019.
• Cai, X. and Yu, G. Bayesian learning in dynamic portfolio selection under a minimax rule. OR Spectrum, 47:287–324, 2025.
• Carmona, R. and Webster, K. An alternative approach to the obizhaeva–wang model with local concavity. Finance and Stochastics, 23(3):643–676, 2019.
• Chacko, G. and Viceira, L. M. Dynamic consumption and portfolio choice with stochastic volatility in incomplete markets. Review of Financial Studies, 18(4):1369–1402, 2005.
• Collin-Dufresne, P., Daniel, K. and Sağlam, M. Liquidity regimes and optimal dynamic asset allocation. Journal of Financial Economics, 136(2):379–406, 2020.
• Cox, J. C., Ingersoll Jr, J. E. and Ross, S. A. A theory of the term structure of interest rates. Econometrica, pages 385–407, 1985.
• Curato, G., Gatheral, J. and Lillo, F. Optimal execution with non-linear transient market impact. Quantitative Finance, 17(1):41–54, 2017.
• Ekren, I. and Muhle-Karbe, J. Portfolio choice with small temporary and transient price impact. Mathematical Finance, 29(4):1066–1115, 2019.
• Fouque, J.-P., Papanicolaou, G., Sircar, R. and Sølna, K. Multiscale stochastic volatility for equity, interest rate, and credit derivatives. Cambridge University Press, 2011.
• Fouque, J.-P., Papanicolaou, A. and Sircar, R. Perturbation analysis for investment portfolios under partial information with expert opinions. SIAM Journal on Control and Optimization, 55(3):1534–1566, 2017a.
• Fouque, J.-P., Sircar, R. and Zariphopoulou, T. Portfolio optimization & stochastic volatility asymptotics. Mathematical Finance, 27(3):704–745, 2017b.
• Fouque, J.-P., Hu, R. and Sircar, R. Sub- and super-solution approach to accuracy analysis of portfolio optimization asymptotics in multiscale stochastic factor markets. SIAM Journal on Financial Mathematics, 13(1):1–32, 2022.
• Gârleanu, N. and Pedersen, L. H. Dynamic trading with predictable returns and transaction costs. The Journal of Finance, 68(6):2309–2340, 2013.
• Gârleanu, N. and Pedersen, L. H. Dynamic portfolio choice with frictions. Journal of Economic Theory, 165:487–516, 2016.
• Han, J., Jentzen, A. and E, W. Solving high-dimensional partial differential equations using deep learning. PNAS, 115(34):8505–8510, 2018.
• Heaton, J., Polson, N. and Witte, J. Deep learning for finance: deep portfolios. Applied Stochastic Models in Business and Industry, 33(1):3–12, 2017.
• Kraft, H. Optimal portfolios and Heston's stochastic volatility model: an explicit solution for power utility. Quantitative Finance, 5(3):303–313, 2005.
• Lin, Y.-C., Chen, C.-T., Sang, C.-Y. and Huang, S.-H. Multiagent-based deep reinforcement learning for risk-shifting portfolio management. Applied Soft Computing, 114:108080, 2022.
• Liu, H. and Loewenstein, M. Optimal portfolio selection with transaction costs and finite horizons. Review of Financial Studies, 15(3):805–835, 2002.
• Masoliver, J. and Perelló, J. Multiple time scales and the exponential Ornstein–Uhlenbeck stochastic volatility model. Quantitative Finance, 6(5):423–433, 2006.
• Merton, R. C. Optimum consumption and portfolio rules in a continuous-time model. Journal of Economic Theory, 3(4):373–413, 1971.
• Moallemi, C. C. and Saglam, M. Dynamic portfolio choice with linear rebalancing rules. SSRN Working Paper Series, 2012.
• Muhle-Karbe, J., Sefton, J. A. and Shi, X. Dynamic portfolio choice with intertemporal hedging and transaction costs. SSRN preprint, 2023.
• Muhle-Karbe, J., Brokmann, X., Gonon, L., He, G. and Itkin, D. Efficient trading with price impact. SSRN preprint, 2024a.
• Muhle-Karbe, J., Wang, Z. and Webster, K. Stochastic liquidity as a proxy for nonlinear price impact. Operations Research, 72(2):425–870, 2024b.
• Neuman, E. and Voß, M. Optimal signal-adaptive trading with temporary and transient price impact. SIAM Journal on Financial Mathematics, 13(2):451–479, 2022.
• Obizhaeva, A. A. and Wang, J. Optimal trading strategy and supply/demand dynamics. Journal of Financial Markets, 16(1):1–32, 2013.
• Passerini, F. and Vazquez, S. E. Optimal trading with alpha predictors. arXiv:1501.03756, 2015.
• Pham, H., Wei, X. and Zhou, C. Portfolio diversification and model uncertainty: A robust dynamic mean–variance approach. Mathematical Finance, 32(2):349–404, 2022.
• Webster, K. T. Handbook of Price Impact Modeling. CRC Press, 2023.

Оригинал статьи: Chan, Sircar and Zimbidis, «Optimal Trading under Instantaneous and Persistent Price Impact, Predictable Returns and Multiscale Stochastic Volatility», arXiv:2507.17162