Перформативный маркетмейкинг

8/10

Аннотация

Экономические модели, которыми пользуются торговые агенты, не просто анализируют рынки — они их активно формируют. Этот эффект, называемый перформативностью, возникает, когда стратегии следуют устоявшимся экономическим теориям и коллективно меняют рыночную динамику, создавая самосбывающиеся пророчества. Хотя явление обсуждается в экономической социологии, в финансовых рынках у него не было математической формулировки. Статья закрывает этот пробел: каноническое разделение диффузионных процессов на «описание среды» и «модели агентов» снимается, модели встраиваются в сам процесс, замыкается обратная связь, и цены сдвигаются к большему соответствию господствующим финансовым моделям. В замкнутой форме показано, как агент должен лучше всего отвечать на текущие доминирующие стратегии других участников и эксплуатировать их, сохраняя конкурентные действия и лучшую результативность. Доказано существование перформативно устойчивого состояния, в котором агентам нет стимула искать новые стратегии для отклонения. Перформативность подчёркивается как естественно возникающее явление на рынках.

1. Введение

Теория игр дала интуитивные и аналитические результаты для формального изучения стратегического поведения агентов. Однако среда, в которой агенты действуют, в этих моделях отделена от принимаемых ими стратегий. На финансовых рынках это допущение проблематично: действия агентов (заявки) активно меняют среду (цену актива) и в конечном счёте выплаты. Экономические модели настолько глубоко встроены в современную практику, что решающим образом формируют рынки, которые должны предсказывать. Это явление — перформативность — оспаривает ортодоксальный научный взгляд, разделяющий наблюдаемый «мир» и «язык», которым его описывают. В «чистой», также называемой барнсовской, форме финансовая перформативность определяется как

практическое использование аспекта экономики, которое делает экономические процессы более похожими на их изображение экономикой [15].

В отличие от большинства научных областей, где теории стремятся лишь описать внешнюю реальность, широкое применение финансовых моделей создаёт мощные петли обратной связи с рынками, на которые они действуют. Хотя перформативность хорошо задокументирована в экономической социологии и недавно формализована в обучении с учителем, количественной формулировки в контексте финансового маркетмейкинга не было [22], [24]. Эта работа закрывает пробел, встраивая модель-индуцированную динамику прямо в стохастические процессы, управляющие эволюцией цены.

Вклад

Мы изучаем перформативность в высокочастотном маркетмейкинге, ломая каноническое разделение между диффузией цены и моделями агентов. Маркетмейкеры выставляют двусторонние заявки (покупка и продажа) в надежде заработать на спреде. Это базовая стратегия предоставления ликвидности. На практике заявки обычно скьюятся и создают сдвиги распределения, отражающие либо убеждения маркетмейкеров о будущем движении цены, либо эндогенную динамику управления внутренними ограничениями — например, избыточным инвентарём от исполненных заявок. Стратегия рискованна: инвентарный риск, потери от неверной модели и эндогенные нестабильности на уровне рынка. Вклад работы:

• Математический фреймворк. Формальная модель, в которой mid-цена $s_t$ возвращается к среднему — референсному процессу $r_t$, представляющему оценку, подразумеваемую доминирующими финансовыми моделями. Насколько нам известно, это первая количественная модель перформативности на финансовых рынках.
• Перформативный лучший ответ. Замкнутые решения для «осознающего перформативность» агента. Он может вывести и эксплуатировать предсказуемый дрейф цены, порождённый конкурентами, не учитывающими перформативность (например, стандартные стратегии Авельянеды–Стойкова [1], далее A&S), сохраняя лучшую результативность.
• Перформативная устойчивость. Существование устойчивого состояния — неподвижной точки, в которой принятые стратегии сдвигают распределение цены так, что модель остаётся оптимальной.
• Эмпирическая проверка. Симуляции показывают, что стратегии, учитывающие перформативность, устойчиво превосходят классические базисы при росте перформативной чувствительности $\epsilon$.

Ставя финансовые модели в центр ценообразования, мы подчёркиваем перформативность как естественно возникающее явление, которое фундаментально меняет теоретико-игровой ландшафт современных рынков.

Технический обзор

Эволюцию mid-цены $s_t$ считаем зависящей от референсного процесса $r_t$ — оценки, подразумеваемой господствующими стратегиями:

где $\epsilon\gt 0$ задаёт интенсивность петли обратной связи.¹ В отличие от стандартных диффузий, предполагающих разделение среды и моделей агентов, этот фреймворк встраивает модель-индуцированные оценки прямо в динамику цены.

Фреймворк инстанцируется для маркетмейкинга оператором оптимизации $\mathrm{OptMM}(\cdot)$, который отображает воспринимаемый ценовой процесс в оптимальную стратегию котирования при линейной или экспоненциальной полезности. Теоретические результаты — решения уравнений Гамильтона–Якоби–Беллмана (ГЯБ) для индуцированных распределений цены. Перформативная оптимальность — одношаговая переоптимизация против фиксированной референсной стратегии $r^*$; перформативная устойчивость — неподвижная точка $r^*_{PS}=\mathrm{OptMM}(r^*_{PS})$, где стратегия инвариантна при повторной оптимизации ГЯБ.

Смежные работы

Перформативность в финансах. Понятие в социальных предсказаниях описано в [20] и [9]; более широкая концептуальная трактовка — [2]. Анализ Маккензи Чикагской биржи опционов [16] и последующий обзор [15] рассмотрели перформативность в финансовой экономике. Недавний обзор [24] охватывает 6741 работу, упоминающую перформативность, и не находит количественных фреймворков в финансовой математике.

Перформативность в машинном обучении. В обучение с учителем понятие ввёл [22], породив работы о том, как предсказания влияют на свои цели [3], [18], [19], [21]. Расширения — обучение с подкреплением [17] и мультиагентные среды [8]. В разделе 7 намечается, как наш фреймворк дополняет эти усилия, когда AI-модели всё сильнее формируют рыночное поведение.

Маркетмейкинг. Задача маркетмейкинга в лимитном стакане формализована и популяризирована [1] по мотивам работы о оптимальном ценообразовании дилера [12]. Ядро — классические инструменты стохастического оптимального управления. Это породило длинную линию литературы [4], [5], [7], [11], [27] с вариациями и аналитическими решениями; учебное изложение — [6], [10]. Маркетмейкинг также изучался методами RL, например [14], чаще всего с модельным описанием динамики среды [13], [23], [25], [26]. Успех и широкое использование фреймворка Авельянеды и Стойкова делает его естественным кейсом для изучения перформативности в HFT.

2. Предварительные сведения: модель маркетмейкинга

Рассматриваем непрерывный рынок одного актива на конечном горизонте $[0,T]$ на фильтрованном вероятностном пространстве $(\Omega,\mathcal{F},(\mathcal{F}_t)_{t\in[0,T]},\mathbb{P})$, удовлетворяющем обычным условиям [28].

Динамика цены. Mid-цена $(s_t)_{t\in[0,T]}$ — среднее лучших бида и аска. Как обычно в литературе, она следует диффузии Ито

где $b(t,s_t)$ — дрейф, $(W_t)_t$ — стандартное броуновское движение, адаптированное к $(\mathcal{F}_t)_t$. При $b\equiv 0$ ценовой процесс — мартингал, что согласуется с гипотезой слабой эффективности рынка.

Котировки и резервационная цена. Маркетмейкер (MM) предоставляет ликвидность, непрерывно котируя ask $p^a_t$ и bid $p^b_t$, обычно выше и ниже mid $s_t$. Состояние MM в момент $t$ — кортеж $(x_t,s_t,q_t)$, где $x_t\in\mathbb{R}$ — кэш, $s_t$ — mid, $q_t\in\mathbb{Z}$ — инвентарь. Премии: $\delta^a_t=p^a_t-s_t$ и $\delta^b_t=s_t-p^b_t$, котируемый спред $\delta_t=\delta^a_t+\delta^b_t$. Резервационная цена — середина котировок

Она отражает внутреннюю оценку актива MM — инвентарные соображения и направленные убеждения.

Приход заявок. Рыночные покупки и продажи приходят как независимые пуассоновские процессы $(N^a_t)_t$ и $(N^b_t)_t$ с интенсивностями

где $A,k\gt 0$ — частота заявок и глубина книги²; более тесные котировки дают более высокую интенсивность исполнения.

Состояние и P&L. Инвентарь и кэш:

Богатство, или P&L:

Цель. MM выбирает предсказуемые управления $(\delta^a_t,\delta^b_t)_{t\in[0,T]}$, максимизируя ожидаемую полезность терминального богатства. Для $\phi:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$

где $\mathcal{A}$ — допустимые управления: $\mathcal{F}$-предсказуемые процессы, ограниченные снизу.

Пример 2.1 (спецификации полезности). Линейная полезность $\phi(x,s,q)=x+qs$ сводит задачу к максимизации ожидаемого терминального P&L с ликвидацией инвентаря по $s_T$. Экспоненциальная $\phi(x,s,q)=-\exp\{-\gamma(x+qs)\}$ с $\gamma\gt 0$ учитывает инвентарный риск и индуцирует риск-чувствительное котирование.

3. Фреймворк перформативности

Формализуем перформативность, позволяя эволюции экономической переменной зависеть от референсной модели, которую сами производят агенты на рынке.

3.1. Перформативная динамика цены

Определение 3.1 (перформативный ценовой процесс). Пусть $(r_t)_{t\in[0,T]}$ — адаптированный стохастический процесс, представляющий референсную оценку, порождённую господствующей экономической моделью или стратегией. Mid-цена следует перформативному процессу, если

где $\epsilon\gt 0$ — параметр перформативности, $\sigma\gt 0$ — волатильность. При $\epsilon=0$ цена — экзогенный мартингал; при росте $\epsilon$ цена всё сильнее соответствует референсной оценке. Процесс $r_t$ интерпретируется не как фундаментальная стоимость, а как оценка, подразумеваемая стратегиями агентов. Перформативность возникает, потому что широкое использование одной модели сдвигает цены к оценкам, которые сама модель порождает.

Решение. При $t\lt T$ и интегрируемом адаптированном $(r_u)_{u\in[t,T]}$

Следовательно, $s_T$ нормально распределён с

Будущая цена — выпуклая комбинация текущей цены и экспоненциально взвешенного среднего референсной оценки. При росте $\epsilon$ влияние референсной модели доминирует и среднее, и дисперсию. В пределе сильной перформативности цены быстро соответствуют оценке господствующей стратегии.

Замечание 1 (свойство мартингала). Если не $r_t\equiv s_t$, перформативный процесс не является мартингалом. Эндогенный дрейф $\epsilon(r_t-s_t)$ вносит предсказуемые компоненты и зависящий от стратегии направленный снос. Это систематическое отклонение от эффективности рынка, которое могут эксплуатировать агенты, учитывающие перформативность.

3.2. Перформативная оптимальность

Перформативность меняет задачу оптимизации: распределение цены, на которое отвечают агенты, само формируется развёрнутыми стратегиями. Поэтому оптимальность определяется относительно эндогенного ценового процесса, индуцированного референсной моделью.

Пусть в неперформативной постановке оптимальная стратегия MM задана резервационной ценой $r^*$, полученной при экзогенном ценовом процессе. Систематическое развёртывание $r^*$ — из-за скученности стратегий или монополистического влияния — возвращается в ценообразование:

Агент, осознающий эту обратную связь, оптимизирует уже не исходную задачу, а задачу против динамики, индуцированной $r^*$. Результат — перформативный оптимум.

Определение 3.2 (перформативная оптимальность). Пусть $\mathrm{OptMM}(r)$ — задача оптимизации MM, когда стратегия котирования $r$ индуцирует динамику цены, с которой сталкивается агент. При референсной стратегии $r^*$ стратегия $r^*_{PO}$ перформативно оптимальна, если

В общем случае $r^*_{PO}$ не совпадает с $r^*$. Экономически $r^*_{PO}$ — стратегия агентов, которые выводят и эксплуатируют перформативное воздействие $r^*$ на цены, либо доминирующих агентов, которые интернализуют эффект собственной стратегии на ценообразование. При $\epsilon=0$ цена экзогенна, и перформативная оптимальность сводится к обычной оптимальности стохастического управления.

Теоретико-игровая интерпретация. Типичное теоретико-игровое моделирование маркетмейкеров предполагает экзогенную диффузию (2). При рыночных силах лучшие ответы, посчитанные в этой модели, не максимизируют выплаты: правильная диффузия — (7). Типичное моделирование игнорирует петли обратной связи между принятыми стратегиями и средой игры.

3.3. Перформативная устойчивость

Если $r^*_{PO}\neq r^*$, систематическое развёртывание $r^*_{PO}$ индуцирует новый ценовой процесс и снова меняет задачу. Итеративная переоптимизация мотивирует понятие устойчивости.

Определение 3.3 (перформативная устойчивость). Стратегия $r^*_{PS}$ перформативно устойчива, если она перформативно оптимальна относительно процесса, который сама индуцирует. То есть при

выполняется

Устойчивая стратегия — неподвижная точка процесса переоптимизации: экономическая модель, чьё развёртывание сдвигает распределение цены так, что модель остаётся оптимальной. Как показано далее, перформативно оптимальные стратегии, полученные переоптимизацией, в общем случае не совпадают с устойчивыми.

Замечание 2 (оператор $\mathrm{OptMM}$). При процессе $(s_t)$ MM выбирает предсказуемые котировки, максимизируя ожидаемую терминальную полезность. Функция ценности удовлетворяет ГЯБ

с терминальным условием $H(T,x,s,q)=\phi(x,s,q)$. $\mathcal{L}$ — инфинитезимальный генератор ценового процесса. При стандартной регулярности ГЯБ имеет единственное решение и даёт оптимальные управления в терминах резервационной цены $r^*$. Эту зависимость абстрагируем оператором $\mathrm{OptMM}(\cdot)$.

4. Перформативный маркетмейкинг при эндогенных убеждениях

Инстанцируем фреймворк в простой постановке, где перформативное влияние MM возникает из её эндогенных убеждений о будущей динамике цены. Цель раздела трояка: (i) показать, как перформативную оптимальность и устойчивость считать в замкнутой форме; (ii) показать, что стратегии, учитывающие перформативность, могут превосходить классические оптимумы; (iii) мотивировать устойчивость как согласованную долгосрочную концепцию решения.

4.1. Базис: оптимальный маркетмейкинг при направленных убеждениях

Предположим, что в момент $t$ MM верит, что mid следует арифметическому броуновскому движению

где $\mu\in\mathbb{R}$ — воспринимаемая средняя доходность. Полезность линейная: $\phi(x,s,q)=x+qs$.

Лемма 4.1 (оптимальная резервационная цена при направленных убеждениях). При динамике (13) и линейной полезности

где $k\gt 0$ — параметр глубины книги, ср. (4). Доказательство: при линейной полезности MM риск-нейтральна, резервационная цена совпадает с условным ожиданием терминальной цены; интегрирование (13) даёт $S_T=s+\mu(T-t)+\sigma(W_T-W_t)$. Выражения для премий следуют из стандартной задачи маркетмейкинга с экспоненциальными интенсивностями [6], [7].

MM котирует симметрично вокруг $r^*$, а не вокруг текущего mid $s$. При $\mu\gt 0$ возникает направленный скью: bid ближе к $s$, ask дальше — убеждение, что актив подорожает.

4.2. Перформативная оптимальность при эндогенных убеждениях

Стратегия, суммированная $r^*$, систематически развёрнута и возвращается в ценообразование:

MM, осознающая перформативность, оптимизирует относительно (14), а не (13).

Предложение 4.2 (перформативно оптимальная стратегия). При процессе (14) и линейной полезности

Доказательство: (14) — арифметическое броуновское движение с зависящим от времени дрейфом; интегрирование даёт $S_T=s+\epsilon\mu(T-t)^2/2+\sigma(W_T-W_t)$. При линейной полезности резервационная цена — условное ожидание при индуцированной динамике.

Экономическая интерпретация. Перформативно оптимальная стратегия интернализует тот факт, что собственное котирование MM индуцирует дрейф цен. В зависимости от $\epsilon$ и горизонта перформативно оптимальная MM может оптимально продавать там, где классическая стратегия покупает: эксплуатация эндогенного ценового давления, порождённого агентами, не учитывающими перформативность.

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

При малом $\epsilon$ стратегия, учитывающая перформативность, сильнее склонна продавать, хотя классическая $r^*$ смещена к покупке из-за положительного дрейфа $\mu$: агент правильно ожидает, что собственный импакт слаб, и продаёт против восходящего давления наивных стратегий. При росте $\epsilon$ эффект сильнее: при достаточно большом $\epsilon$ MM сначала агрессивнее котирует на биде, накапливая инвентарь в ожидании более сильного эндогенного удорожания. В критический момент, отмеченный на рисунке 1 пересечением $p^{a,b}_{PO}=p^{a,b}_*$, происходит фазовый переход: стратегия смещается к продаже, ставя ask ближе к mid, чтобы разгрузить инвентарь по завышенным ценам. Большие $\epsilon$ откладывают этот переход.

Учёт эндогенной обратной связи может обратить или существенно перестроить оптимальные торговые стимулы относительно классических формулировок. Это мотивирует концепцию устойчивости: систематическое развёртывание $r^*_{PO}$ само изменит динамику цены и запустит новые раунды переоптимизации.

4.3. Перформативная устойчивость при эндогенных убеждениях

Развёртывание $r^*_{PO}$ индуцирует новый процесс и последовательность стратегий $\{r^{(n)}\}_{n\geq 1}$, где $r^{(n+1)}=\mathrm{OptMM}(r^{(n)})$.

Наблюдение 1. Повторное применение $\mathrm{OptMM}(\cdot)$ в общем случае не даёт сходящейся стратегии. Пока не достигнута неподвижная точка, каждый шаг меняет индуцированную динамику, так что среда отличается от предполагавшейся на предыдущем шаге.

Теорема 4.3 (перформативно устойчивая стратегия при эндогенных убеждениях). При линейной полезности и динамике вида (2), если $\mathbb{E}_{t,s}[S_T]$ аффинно по $s$, задача маркетмейкинга допускает субоптимальное решение для функции ценности $H$ с резервационной ценой $r^*_{PS}$, которая перформативно устойчива тогда и только тогда, когда $r^*_{PS}(t,s)=\mathbb{E}_{t,s}[S_T]$ при динамике $ds_u=\epsilon(r^*_{PS}(u,s_u)-s_u)\,du+\sigma\,dW_u$. Эквивалентно, $r^*_{PS}=\mathrm{OptMM}(r^*_{PS})$. Аналитическое выражение:

Эскиз доказательства: при линейной полезности резервационная цена совпадает с условным ожиданием терминальной цены. Устойчивость требует, чтобы убеждение, из которого формируется это ожидание, было согласовано с динамикой, индуцированной самой резервационной ценой. Аффинное представление $r^*_{PS}(t,s)=\alpha(t)+\beta(t)s$ после подстановки и сопоставления коэффициентов даёт $\beta(t)=1$, $\alpha(t)=0$ для всех $t$. Полный вывод — в приложении A.1 оригинала.

Экономическая интерпретация. Перформативная устойчивость устраняет арбитраж между агентами, не учитывающими и учитывающими перформативность. Она выделяет стратегии, чьи индуцированная динамика, убеждения и оптимальные ответы взаимно согласованы. Повторная переоптимизация без устойчивости ведёт к эндогенной нестабильности и затуханию прибылей, движимому убеждениями.

1. Повторная переоптимизация встраивает скорректированный по времени член убеждения в динамику цены; агенты, учитывающие перформативность, могут его систематически эксплуатировать. Возникает эндогенная стратегическая гонка вооружений.
2. В этой постановке устойчивая стратегия совпадает с мартингальным базисом (нулевое убеждение о дрейфе). Любое направленное убеждение становится детектируемым через перформативный импакт и арбитражится. В более общих моделях (раздел 5) устойчивое решение не обязано совпадать с тривиальным мартингалом.

5. Перформативный маркетмейкинг при эндогенных ограничениях

Главный источник риска MM — накопление инвентаря через исполненные заявки. Стратегии должны включать алгоритмический механизм контроля инвентаря. Даже без направленных убеждений о цене само правило управления инвентарём может индуцировать перформативный эффект и подвергать MM рискам, порождённым её собственными эндогенными ограничениями.

5.1. Базис: маркетмейкинг при ограничениях на инвентарь

Классическая модель Авельянеды–Стойкова [1] с экспоненциальной полезностью $\phi(x,s,q)=-\exp\{-\gamma(x+qs)\}$ при стандартном броуновском движении

то есть без направленных убеждений: $\mathbb{E}_{t,s}[S_T]=s_t$.

Теорема 5.1 (оптимальная резервационная цена при ограничениях на инвентарь [1]). При динамике (16) и экспоненциальной полезности

Оптимальные котировки симметричны вокруг $r^*$, но в общем скьюены относительно mid из-за инвентаря. При $q\gt 0$ имеем $r^*\lt s$ — более конкурентный ask и склонность продавать; при $q\lt 0$ — $r^*\gt s$, ужесточение бида и стимул покупать.

5.2. Перформативная оптимальность при эндогенных ограничениях

Господствующая стратегия на рынке следует A&S из теоремы 5.1. Тогда

Член возврата к среднему определяется инвентарной компонентой $g(u)=-\gamma\sigma^2 q_u(T-u)$ резервационной цены A&S. Условное ожидание терминальной цены

Поскольку инвентарь эволюционирует как $dq_t=dN^b_t-dN^a_t$, ожидание в (18) в общем не имеет простого замкнутого решения. Вводим приближение.

Допущение 1 (линейная аппроксимация инвентаря). Точечные процессы имеют симметричные интенсивности $\lambda^a(\delta^a_t)=\lambda^b(\delta^b_t)=Ae^{-k\delta}$ на $(t,T]$, и потому $\mathbb{E}_{t,s}[q_u]=q_t$.³ Тогда

Агент, учитывающий перформативность, с параметром риска $\gamma_{perf}$ и инвентарём $q_{perf}$ оптимизирует относительно распределения (17), индуцированного господствующим A&S.

Предложение 5.2 (перформативно оптимальная стратегия). При допущении 1, линейной аппроксимации (4)⁴ и процессе (17) агент с экспоненциальной полезностью, риск-аверсией $\gamma_{perf}$ и инвентарём $q_{perf}$ имеет

Доказательство: при (17) и допущении 1 условное ожидание (19) аффинно по $s$; условия оператора $\mathrm{OptMM}$ для экспоненциальной полезности выполнены (теорема A.1 приложения оригинала). Прямая подстановка даёт указанные выражения.

Интерпретация политики. Инвентарь $q_{perf}$ агента зависит от его собственных котировок $\delta^{a,b}_{PO}$, а господствующий инвентарь $q$ входит в оптимизацию только как экзогенная поправка резервационной цены. Направление котирования определяется знаком поправки резервационной цены. В базисном A&S предпочтение определяется только знаком $q$. Для агента, учитывающего перформативность, знак поправки задаётся членом $\epsilon\gamma q(T-t)/2+\gamma_{perf}q_{perf}$. Решение зависит и от $q$, и от $q_{perf}$. Это индуцирует критические пороги $q_{perf}$, при которых происходит стратегический фазовый переход, управляемый затухающим по времени членом $-|q|\epsilon\gamma(T-t)/(2\gamma_{perf})$, как на рисунке 2. Пороги задают области, где агент либо выравнивается с господствующим A&S, либо торгует против него.

Когда господствующий инвентарь индуцирует предсказуемый дрейф, агент может намеренно накапливать инвентарь в ожидании этого дрейфа и затем разгружать позицию, когда движение материализуется. Так предсказуемая динамика, порождённая правилами контроля инвентаря, создаёт транзиентные арбитражные возможности.

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

Пример 5.3. Пусть $q\leq 0$ и $q_{perf}\geq 0$. Несмотря на уже неотрицательный инвентарь, перформативная MM продолжает его накапливать до точки $|q|\epsilon\gamma(T-t)/(2\gamma_{perf})$. Одновременно A&S тоже покупает — но из-за нехватки инвентаря ($q\leq 0$ значит, что ранее она шортила). За этой точкой поведение перформативной MM становится ещё более стратегическим: она ожидает положительный детерминированный дрейф, индуцированный A&S (сигнал покупать при $q\leq 0$), и держит достаточно инвентаря, чтобы продавать и зарабатывать на растущем спросе. Пока цена растёт из-за желания других MM покупать, перформативная MM продаёт. Она арбитражит цену, пока та не перестанет расти. Симметричные наблюдения — для $q_{perf}\leq 0$ и $q\geq 0$.

Эти результаты формализуют качественные инсайты о перформативности на финансовых рынках [15]: самосбывающаяся обратная связь между котировками и ценами порождает временные арбитражные возможности для агентов, учитывающих перформативность.

5.3. Перформативная устойчивость при эндогенных ограничениях

В этом контексте существует нетривиальная перформативно устойчивая стратегия.

Теорема 5.4 (перформативно устойчивая стратегия при эндогенных ограничениях). При экспоненциальной полезности, динамике вида (2) и аффинности $\mathbb{E}_{t,s}[S_T]$ по $s$, при допущении 1 задача допускает субоптимальное решение с резервационной ценой $r^*_{PS}$, перформативно устойчивой тогда и только тогда, когда

при динамике $ds_u=\epsilon(r^*_{PS}(u,s_u)-s_u)\,du+\sigma\,dW_u$. Полный вывод — в приложении A.4 оригинала. Проверка устойчивости: подстановка этой стратегии в процесс даёт аффинное условное ожидание; оператор $\mathrm{OptMM}$ возвращает ту же резервационную цену, то есть $r^*_{PO}=\mathrm{OptMM}(r^*)=r^*$.

Экономическая интерпретация.

1. Совместимость стимулов и равновесие. Устойчивость — состояние согласованности: убеждение MM о эволюции цены идеально выровнено с динамикой, индуцированной её собственной стратегией. Нет стимула дальше переоптимизировать.
2. Устранение эксплуатируемого дрейфа. В отличие от перформативно оптимальной стратегии, которая эксплуатирует предсказуемый дрейф неосведомлённых агентов, устойчивая стратегия устраняет эти транзиентные арбитражи, интернализуя импакт управления инвентарём через член $(e^{\epsilon(T-t)}-1)/\epsilon$.
3. Разрешение стратегической гонки вооружений. Без неподвижной точки итеративная переоптимизация ведёт к эндогенной нестабильности и затуханию прибылей. Теорема 5.4 доказывает, что уникальная неподвижная точка существует даже при сложных инвентарных ограничениях.
4. Роль чувствительности. Параметр $\epsilon$ в устойчивом решении означает: чем сильнее рынок соответствует модели, тем агрессивнее MM должна скьюить котировки, чтобы сохранить тот же уровень риск-скорректированной оптимальности, чем в классической неперформативной постановке.

6. Симуляции

Этот раздел⁵ сосредоточен на результатах раздела 5: базис — модель [1], стандарт и в академии, и в индустрии. Цель — эмпирически сравнить фактический P&L исходной A&S ($r^*_{A\&S}$) и её лучший ответ из предложения 5.2 ($r^*_{PO}$) при перформативных эффектах первой.

6.1. Формирование цены

Дискретная форма процесса $ds_u=\epsilon(r^*_{A\&S}-s_u)\,du+\sigma\,dW_u$:

где $s_n=s(t_n)$, $\Delta t=t_{n+1}-t_n$, $Z_n\sim\mathcal{N}(0,1)$ н.о.р. Первые два члена — детерминированная часть, третий — шум.

На рисунке 3 — 50 траекторий цены по (22) при $\epsilon=10$ и 50 траекторий чистого броуновского шума ($\epsilon=0$). Перформативный эффект стратегии A&S и её управления инвентарём — главный драйвер затенённых красных траекторий: соответствие резервационной цене A&S. Эти перформативные колебания неосведомлённые MM, особенно в HFT, могут принять за шум. Они не случайны: их определяет господствующая финансовая модель — инвентарная подстройка A&S; игнорирование ведёт к систематическим потерям. Агент, учитывающий перформативность, отделяет импакт модели от настоящего шума и систематически зарабатывает.

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

6.2. Постановка симуляций

Параметры: $T=10$, $\sigma=0{,}4$, $A=15$, $k=1{,}6$, $\Delta t=0{,}05$, $q_0=0$. Три профиля риск-аверсии: $\gamma=\gamma_{perf}=0{,}2$ (высокий риск), $0{,}5$ (средний) и $0{,}8$ (низкий). Риск-профиль исходной A&S влияет на инвентарное давление и тем самым на саму цену. Для $\epsilon$ — 20 точек на $[0,20]$, от слабого до очень сильного возврата к среднему.

На каждом шаге $t$ (эквивалентно $n$) стратегия считает котировки $\delta^a_n$, $\delta^b_n$, состояние обновляется на $t+\Delta t$. Исполнение вероятностное по интенсивностям (4). Если исполнен $\delta^a_n$, инвентарь уменьшается на единицу, кэш растёт на $s+\delta^a_n$; симметрично для бида. Агенты могут шортить ($q\lt 0$). P&L: $\mathrm{PnL}_{n+1}=x_{n+1}+q_{n+1}\cdot s_n$. Теоретически решение $\mathrm{OptMM}$ допускает $\delta^a,\delta^b\leq 0$; в симуляции это означает рыночную заявку. Сравниваются три стратегии:

• Инвентарная ($r^*_{A\&S}$): резервационная цена и спред из теоремы 5.1.
• Симметричная ($r_{sym}$): котировки симметрично вокруг mid без мнения об оценке актива ($r_{sym}=s$). Спред $\frac{2}{\gamma}\ln(1+\gamma/k)+\gamma\sigma^2(T-t)$ — тот же, что у A&S и у перформативного оптимума, для честного сравнения.
• Учитывающая перформативность ($r^*_{PO}$): уравнения предложения 5.2.

Метрики: профиль P&L (среднее, дисперсия, коэффициент Шарпа) и терминальный инвентарь (желательно близкий к нулю). По 1000 симуляций на каждую комбинацию параметров.

6.3. Результаты

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

Для простоты все стратегии имеют одинаковый $\gamma$.⁶ Во всех случаях перформативная стратегия показывает лучший профиль P&L. Относительно базиса A&S это происходит при $\epsilon\gt 4$: отношение сигнала к шуму перформативного импакта A&S становится достаточно сильным, чтобы его эксплуатировать. Чем больше перформативности на рынке, тем сильнее мисспецифицирована лежащая в основе модель (здесь A&S), которая её индуцирует. $r^*_{PO}$ обгоняет симметричную стратегию после точки отрыва. Чем ниже $\gamma$, тем больше возможный максимум P&L перформативного агента — A&S торгует больше. P&L $r^*_{PO}$ растёт (почти) линейно с $\epsilon$, тогда как A&S деградирует, а симметричная стратегия постоянна: модель не просто пассивно копит инвентарь, а действует стратегически, как заключено в разделе 5.

Таблица 1 (из приложения B оригинала) приводит P&L, Шарп и терминальный инвентарь при $\gamma=0{,}5$ и представительных $\epsilon$. Для каждого $\epsilon$, кроме $\epsilon=5$, либо суммарная прибыль, либо Шарп стратегии, учитывающей перформативность, превосходит симметричную и A&S. До $\epsilon=10$ терминальный инвентарь сопоставим с A&S по среднему и стд. и всегда меньше, чем у симметричной, по среднему или дисперсии.

7. Заключение и направления дальнейшей работы

Мы ввели формальный математический фреймворк перформативности на финансовых рынках. Пересмотрев традиционное использование диффузионных процессов, установили, что финансовые модели не просто анализируют рынки, а активно формируют их через замкнутую петлю обратной связи. Фреймворк инстанцирован в задаче маркетмейкинга с концепциями перформативной оптимальности и перформативной устойчивости.

Перформативно устойчивая стратегия существует как неподвижная точка, в которой модель инвариантна при переоптимизации. Это состояние устраняет стратегическую «гонку вооружений», когда агенты непрерывно подстраиваются под сдвиги распределения, вызванные их собственными моделями. Симуляции подтверждают: агенты, учитывающие эндогенные петли обратной связи, существенно превосходят базисы, не учитывающие перформативность, эксплуатируя предсказуемую динамику цены.

Работа открывает направления на стыке экономики и вычислений. Первое — перформативный механизм-дизайн: как проектировать правила матчинга, чтобы снизить манипулятивный потенциал агентов, учитывающих перформативность, или индуцировать социально желательные устойчивые состояния. Второе: устойчивость показана для доминирующего агента; сходимость нескольких конкурирующих осведомлённых агентов остаётся открытым вопросом алгоритмической теории игр. Третье: по мере того как AI-модели формируют ликвидность, важно понять, как меняется динамика цены, когда $r(t)$ зависит от параметров ML-модели или политики RL-алгоритма. Наконец, фреймворк можно инстанцировать для других инструментов — например, ценообразования опционов — чтобы изучить системные эффекты перформативности по классам активов.

Сноски

1. Структура уравнения (1) напоминает общий вид процесса Орнштейна–Уленбека с зависящим от времени дрейфом, обычный в моделировании процентных ставок. Мотивация и интерпретация другие: член возврата к среднему воплощает влияние господствующих финансовых моделей на ценообразование, а не внешне заданную цель ставки и скорость возврата. ↩
2. Глубина книги — объём покоящейся buy/sell-ликвидности (живых заявок) на рынке. ↩
3. Можно было бы заметить, что $(q_t)$ — процесс с нулевым возвратом к среднему, и моделировать его так. Это резко усложнило бы $\mathrm{OptMM}$: пришлось бы менять уравнение ГЯБ, и аналитическое решение стало бы гораздо сложнее. Как показывают симуляции, допущение 1 существенно не бьёт по качеству выведенной перформативно оптимальной стратегии. ↩
4. Первый порядок разложения Тейлора интенсивностей: $e^{-k\delta^{a,b}}=1-k\delta^{a,b}+\cdots$. Каноническое допущение оператора $\mathrm{OptMM}$, см. [1], [6], [7], [10]. ↩
5. Код для воспроизводимости: github.com/kleitsikas/Performative-Market-Making. ↩
6. Для более резких различий в результативности можно отдельно подобрать параметр риска $\gamma_{perf}$. ↩

Литература

• Avellaneda, M. and Stoikov, S., High Frequency Trading in a Limit Order Book. Quant. Finance, 2008, 8, 217–224. ↑
• Barnes, B., Social Life as Bootstrapped Induction. Sociology, 1983, 17(4), 524–545. ↑
• Brown, G., Hod, S. and Kalemaj, I., Performative Prediction in a Stateful World. In Proc. 25th AISTATS, PMLR 151, 2022, 6045–6061. ↑
• Cartea, Á., Donnelly, R. and Jaimungal, S., Algorithmic Trading with Model Uncertainty. SIAM J. Financ. Math., 2017, 8(1), 635–671. ↑
• Cartea, Á., Jaimungal, S. and Ricci, J., Buy Low, Sell High: A High Frequency Trading Perspective. SIAM J. Financ. Math., 2014, 5(1), 415–444. ↑
• Cartea, Á., Jaimungal, S. and Penalva, J., Algorithmic and High-Frequency Trading, 2015 (Cambridge University Press). ↑
• Fodra, P. and Labadie, M., High-frequency market-making with inventory constraints and directional bets, 2012. ↑
• Piliouras, G. and Yu, F.-Y., Multi-agent Performative Prediction: From Global Stability and Optimality to Chaos, 2022. ↑
• Grunberg, E. and Modigliani, F., The Predictability of Social Events. J. Polit. Econ., 1954, 62(6), 465–478. ↑
• Guéant, O., The Financial Mathematics of Market Liquidity: From Optimal Execution to Market Making, 2016 (CRC Press). ↑
• Guéant, O., Lehalle, C.-A. and Fernandez-Tapia, J., Dealing with the inventory risk: a solution to the market making problem. Math. Financ. Econ., 2012, 7(4), 477–507. ↑
• Ho, T. and Stoll, H. R., Optimal dealer pricing under transactions and return uncertainty. J. Financ. Econ., 1981, 9(1), 47–73. ↑
• Jerome, J., Sánchez-Betancourt, L., Savani, R. and Herdegen, M., Mbt-gym: Reinforcement learning for model-based limit order book trading. In ICAIF ’23, 2023, 619–627. ↑
• Lim, Y.-S. and Gorse, D., Reinforcement Learning for High-Frequency Market Making, 2018. ↑
• MacKenzie, D., An Engine, Not a Camera: How Financial Models Shape Markets, 2006 (MIT Press). ↑
• MacKenzie, D. and Millo, Y., Constructing a Market, Performing Theory: The Historical Sociology of a Financial Derivatives Exchange. Amer. J. Sociology, 2003, 109(1), 107–145. ↑
• Mandal, D., Triantafyllou, S. and Radanovic, G., Performative Reinforcement Learning. In ICML, PMLR 202, 2023, 23642–23680. ↑
• Mendler-Dünner, C., Ding, F. and Wang, Y., Anticipating Performativity by Predicting from Predictions. In NeurIPS, 2022, 31171–31185. ↑
• Mendler-Dünner, C., Perdomo, J., Zrnic, T. and Hardt, M., Stochastic Optimization for Performative Prediction. In NeurIPS, 2020, 4929–4939. ↑
• Merton, R. K., The Self-Fulfilling Prophecy. The Antioch Review, 1948, 8(2), 193–210. ↑
• Miller, J. P., Perdomo, J. C. and Zrnic, T., Outside the Echo Chamber: Optimizing the Performative Risk. In ICML, PMLR 139, 2021, 7710–7720. ↑
• Perdomo, J. C., Zrnic, T., Mendler-Dünner, C. and Hardt, M., Performative Prediction, 2021. ↑
• Spooner, T. and Savani, R., Robust Market Making via Adversarial Reinforcement Learning, 2020. ↑
• Unal, S. N., Polillo, S., Caliskan, K. and MacKenzie, D., The modes of performativity: A meta-theoretical review. Finance and Society, 2025, 1–24. ↑
• Wang, Z., Ventre, C. and Polukarov, M., Robust Market Making: To Quote, or not To Quote. In ICAIF ’23, 2023, 664–672. ↑
• Wang, Z., Ventre, C. and Polukarov, M., Multi-Agent Reinforcement Learning for Market Making: Competition without Collusion. ACM, 2025, 814–822. ↑
• Cartea, Á. and Jaimungal, S., Order-Flow and Liquidity Provision, 2015. ↑
• Øksendal, B., Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications, 6th ed., 2003 (Springer). ↑

Оригинал статьи: Kleitsikas, Leonardos and Ventre, «Performative Market Making», arXiv:2508.04344 · лицензия CC BY 4.0