Робастная оценка реализованной корреляции: откуда внутридневные колебания рыночных бет

4.5/10

Петер Рейнхард Хансен, Ияо Ло · University of North Carolina at Chapel Hill / University of Mississippi · 1 ноября 2023

Оригинал: Hansen, P. R. and Luo, Y. «Robust Estimation of Realized Correlation: New Insight about Intraday Fluctuations in Market Betas», 2023 — arxiv.org/abs/2310.19992 (PDF).

Рисунки 1–11 — в PDF. Оригинал по лицензии CC BY 4.0; перевод выполнен на её условиях.

Ключевые слова: корреляция; Пирсон; Кендалл; субсэмплинг; робастность; состоятельность; эффект Эппса; высокочастотные данные; микроструктура; скачки.

Аннотация

Меняющаяся волатильность делает стандартные оценки корреляции несостоятельными. Квадрантная оценка состоятельна, но очень неэффективна. Авторы предлагают субсэмплированную квадрантную оценку $Q_S$: эффективность выше, состоятельность и робастность на месте. На большой панели акций США внутридневные рыночные беты раскладывают на корреляцию и относительную волу. Вывод: внутридневная вариация бет идёт в основном от внутридневной корреляции, не от относительной волы.

1. Введение

Корреляцию чаще всего считают выборочной (Пирсон $r$). Классика: квадрант, $\tau$ Кендалла, Спирмен, Gaussian rank (Kruskal 1958). Компромисс робастность/эффективность зависит от распределения; для экономики критична гетероскедастичность.

Новая оценка заточена под гетероскедастичные ряды и HF-данные. Меняющаяся вола и микроструктурный шум ломают стандартные оценки. Среди классики только квадрант робастен к гетероскедастичности; остальные несостоятельны кроме специальных случаев. Квадрант неэффективен — субсэмплинг возвращает точность, не ломая состоятельность. Теория плюс симуляции под эмпирический HF. Реализованная корреляция может быть сильно смещена.

Применение: 22 акции + SPY. Новая оценка точнее, в основном за счёт смещения. Корреляции × относительная вола = внутридневная рыночная бета (Andersen et al. 2021, ATT). Беты внутри дня сильно гуляют: у части бумаг растут, у части падают. Результат ATT подтверждается на другом методе и более узком окне. Разложение: вариация бет — в основном корреляции. Относительно рынка у всех активов корреляции к концу дня растут, относительные волы падают. Падение волы похоже по бумагам: последний час активной торговли — обычно 50–75% относительной волы первого часа. Корреляции с рынком различаются сильнее: у многих 2–5 раз больше в последний час, чем в первый — почти линейно растущие беты. У высококоррелированных бумаг корреляция за день растёт меньше чем на 100% — беты в среднем падают. Обе компоненты вносят вклад, но разброс между активами задают корреляции.

Меняющаяся вола в HF: Andersen–Bollerslev (1998b). Шум ломает realized vol: Zhou; Zhang–Mykland–Aït-Sahalia; Bandi–Russell; Hansen–Lunde. Шум = наблюдаемая цена минус «истинная» (мартингальные свойства). Асинхронность наблюдений даёт эффект Эппса: выборочная корреляция падает с частотой (Epps 1979). Hayashi–Yoshida; Voev–Lunde; Griffin–Oomen. Скачки — truncation (Mancini; Raymaekers–Rousseeuw).

Разреженная выборка: 5-минутные доходности (Andersen–Bollerslev 1998a) — компромисс bias/variance. Больше информации: subsampled RV (Zhang et al.), realized kernel (Barndorff-Nielsen et al.), pre-averaging (Jacod et al.) — один класс с точностью до end-effects (BN 2011b). Реализованные корреляции часто из многомерных оценок (Malliavin–Mancino, BN–Shephard, Christensen et al., Aït-Sahalia et al.). Если вола на окне оценки меняется — оценка несостоятельна, кроме спецслучаев (§3).

План: §2 бенчмарки и $Q_S$; §3 эффективность, состоятельность, робастность; §4 симуляции Lévy/Heston с шумом и скачками; §5 эмпирика; заключение.

2. Популяционные и выборочные меры

2.1. Популяция

Пирсон $\rho=\sigma_{XY}/(\sigma_X\sigma_Y)$. Квадрант: \[ \tau=\mathbb E\bigl[\mathrm{sgn}\{(X-\xi_X)(Y-\xi_Y)\}\bigr], \] $\xi$ — медианы; $\tau=\Pr(Z\gt 0)-\Pr(Z\lt 0)$, $Z=\tilde X\tilde Y$. Для сферических непрерывных $\tau=2q-1$. Кендалл $\tau_K=\mathbb E[\mathrm{sgn}\{(X_1-X_2)(Y_1-Y_2)\}]$; для эллиптических $\tau=\tau_K$. Спирмен $\eta=12\{\mathbb E[F(X)G(Y)]-1/4\}$ в сравнение не берут — неконкурентны здесь.

Для эллиптических $\tau(\rho)=(2/\pi)\arcsin\rho$, обращение Грейнера (1909; уже у Sheppard 1899): \[ \rho=\sin\bigl(\tfrac\pi2\tau\bigr). \] Верно для симметричных эллиптических с определённой корреляцией, включая $t$ с $\nu\gt 2$ (предл. A.1). Скос нечётных моментов не ломает связь (Kendall 1949). Рис. 1: Грейнер vs «Uniform» и «Exponential» при $\rho=-0.5$ — аппроксимация хорошая, но можно построить распределение с другим линком.

2.2. Пирсон, квадрант, Кендалл

Переменные уже центрированы (среднее для $P$, медиана для $Q$/$K$): \[ P=\frac{\sum_i x_i y_i}{\sqrt{\sum_i x_i^2\sum_i y_i^2}},\qquad \hat\tau_Q=\frac1n\sum_i\mathrm{sgn}(x_i y_i),\qquad \hat\tau_K=\frac{2}{n(n-1)}\sum_{i\lt j}\mathrm{sgn}([x_i-x_j][y_i-y_j]). \] $Q=\sin(\tfrac\pi2\hat\tau_Q)$, $K=\sin(\tfrac\pi2\hat\tau_K)$. Не требуют конечных моментов и оценок дисперсий. Для неэллиптических линк Грейнера может дать смещение; на разреженных финансовых доходностях гауссовость частично оправдана.

2.3. Субсэмплированный квадрант $Q_S$

$\Delta_\delta X_t=X(t)-X(t-\delta)$. Нормировка дня $[0,1]$, $\delta=1/n$, пары $(\Delta_{1/n}X_{i/n},\Delta_{1/n}Y_{i/n})$. $N$ — число доходностей на максимальной частоте, $S=N/n$. Сдвиг старта $t_s=s/(Sn)$, $s=0,\ldots,S-1$: вместе $N-S+1$ разреженных пар. Пример: 6,5 часа, 5-минутные — $n=78$; сдвиг по минуте даёт $S=5$ и 386 пятиминуток. \[ Q_S=\sin\bigl(\tfrac\pi2\hat\tau_S\bigr),\qquad \hat\tau_S=\frac1{N-S+1}\sum_{j=S}^{N}\mathrm{sgn}(\Delta_{\delta}X_{j/N}\Delta_{\delta}Y_{j/N}). \] Если $N$ делится на $S$, это среднее $S$ квадрантов по разным сеткам. Родственник subsampled RV / Bartlett–Newey–West / jackknife (Politis et al.; Zhou 1996; Zhang et al. 2005). Плюсы: робастность квадранта, выше точность, состоятельность при меняющейся воле, бинарные знаки — легко на больших панелях.

Нулевые приращения (тик, stale): считают только ненулевые произведения, \[ \hat\tau_S=\frac1{N_1-S+1}\sum_{j=S}^{N}\mathrm{sgn}(\cdots),\quad N_1=\#\{j:\Delta X\Delta Y\neq 0\}. \] В эмпирике основная частота $\delta=3$ мин; нули редки ниже 1 мин.

3. Свойства оценок

3.1. Идеальный случай: BM с постоянной волой

Допущение 1. $(X_t,Y_t)\sim N_2(0,t\Sigma)$. Тогда интрадей-доходности iid нормальны; $P$ — ММП по $n$ парам. $Q_S$ использует сдвинутые сетки — больше данных.

Теорема 1. При допущении 1 и фиксированном $S\in\mathbb N$ \[ \sqrt n(Q_S-\rho)\xrightarrow{d} N(0,V_S(\rho)), \] \[ V_S(\rho)=(1-\rho^2)\frac1S\sum_{s=-S}^{S}\bigl[\arcsin^2(w_s)-\arcsin^2(w_s\rho)\bigr],\quad w_s=\frac{S-|s|}{S}. \] $V_S$ убывает по $S$; предел $S\to\infty$ — $(1-\rho^2)[2\arcsin^2(1)-2\sqrt{1-\rho^2}\,\rho\arcsin(\rho)-\arcsin^2(\rho)]$ (как в тексте).

Предложение 1. Те же условия: \[ V_P=(1-\rho^2)^2,\quad V_K=(1-\rho^2)\bigl[(\pi/3)^2-4\arcsin^2(\rho/2)\bigr],\quad V_Q=(1-\rho^2)\bigl[(\pi/2)^2-\arcsin^2(\rho)\bigr]. \] $S=1$ даёт $V_{Q_S}=V_Q$. При достаточно большом $S$ $Q_S$ точнее $K$; при малых $\rho$ уже $S\ge 5$ бьёт $K$. При большом $S$ близко к $P$: $Q_S$ чуть лучше на малых $\rho$, $P$ — на больших. На 5-минутках внутри интервала много наблюдений — $S$ можно брать большим. Рис. 2 — асимптотические дисперсии.

3.2. Меняющаяся волатильность

Допущение 2. Броуновский семимартингал \[ \begin{pmatrix}X_t\\ Y_t\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}X_0\\ Y_0\end{pmatrix}+\int_0^t\sigma(u)\,dW(u), \] $\mathrm{cor}(dW_x,dW_y)=\rho$, $\sigma(u)=\mathrm{diag}(\sigma_x(u),\sigma_y(u))$ — квадратично интегрируемый CADLAG. Корреляцию сначала считают постоянной.

Теорема 2. При допущении 2 $Q_S\xrightarrow{p}\rho$ при $\delta\to 0$, тогда как \[ P\xrightarrow{p}\lambda\rho,\qquad \lambda=\frac{\int_0^1\sigma_x(u)\sigma_y(u)\,du}{\sqrt{\int_0^1\sigma_x^2\int_0^1\sigma_y^2}}, \] \[ K\xrightarrow{p}\sin\Bigl(\int_0^1\int_0^1\arcsin(h(u,v)\rho)\,du\,dv\Bigr), \] \[ h(u,v)=\frac{\sigma_x(u)\sigma_y(u)+\sigma_x(v)\sigma_y(v)}{\sqrt{\sigma_x^2(u)+\sigma_x^2(v)}\sqrt{\sigma_y^2(u)+\sigma_y^2(v)}}. \] Единственная состоятельная среди трёх — $Q_S$. $P$ и $K$ состоятельны только в спецслучае.

Следствие 1. Если $\sigma_y(u)=c\sigma_x(u)$, $c\gt 0$, то $P\xrightarrow{p}\rho$ (коллинеарные волы). Рис. 3: смещение $P$ и $K$ растёт, когда волы расходятся; $Q_S$ остаётся на $\rho$.

Influence functions (предл. 2, прил.): $Q$/$Q_S$ ограничены; $P$ неограничен — выбросы и скачки бьют Пирсона.

4. Симуляции

Дизайны под HF: постоянная вола, Lévy, Heston; слой гауссова шума; скачки. Signature plots: среднее и RMSE vs частота от 1 с до 15 мин. $P$ на высоких частотах сильно смещён (Эппс + шум). $K$ лучше, но при стохастической воле смещение остаётся. $Q_S$ ближе к истине на широком диапазоне частот; RMSE при большом $S$ конкурирует с $P$ в идеальном мире и выигрывает при шуме/Heston (рис. 4–6 и supplementary S.9–S.10).

5. Эмпирика

1 января 2015 — 31 декабря 2021, 1763 торговых дня. TAQ NYSE/NASDAQ через WRDS, чистка Barndorff-Nielsen et al. (2011a), previous-tick. Small Universe: SPY + 22 акции (две крупнейшие по капитализации в каждом из 11 GICS). Large Universe: S&P 100 минус PYPL (листинг после спин-оффа eBay в 2015) и RTX (слияние 2020).

Табл. 2: SPY, AAPL, FB — самые частые сделки (~2 с). AMD: много нулей (тик при цене ниже 10 USD в начале выборки) — 19% трёхминутных доходностей нулевые.

5.1. Дневные корреляции

Календарное время, 1 с — 15 мин. Signature plots (рис. 7): SPY, AAPL, AMD, LYB, NEM vs рынок. Если оценка несмещена на диапазоне частот — график плоский. $P$ падает на высоких частотах (Эппс). $Q_S$ стабильнее; чуть выше $K$ и $P$ (у тех лишняя дисперсия даёт ещё смещение к нулю). Дневные ряды корреляций с рынком — рис. 8.

5.2. Внутридневные корреляции, относительная вола, беты

Скользящее окно 60 мин; метка времени — конец окна; среднее по 1763 дням. $\beta_{i,t}=\rho_{i,t}\lambda_{i,t}$, $\lambda$ — относительная вола к SPY. Справа на рис. 9 — ещё регрессионная бета в духе ATT.

Четыре бумаги (AAPL, AMD, LYB, NEM): корреляции в среднем растут, относительные волы падают. Форма беты — кто выиграет. NEM: бета растёт (корреляция с ~0,05 до ~0,25, почти ×5). AMD: бета падает. AAPL — вверх-вниз. LYB относительно плоская: корреляция +50% (0,37→0,55). $Q_S$ глаже $K$ и $P$ и регрессии ATT — признак меньшей дисперсии. Все Small Universe — рис. S.3.

5.3. Разложение

Все оценки корреляций положительны: \[ \log\beta_{i,t}=\log\rho_{i,t}+\log\lambda_{i,t}. \] Large Universe, изменение = лог-разность последнего часа минус первый. Рис. 10: $\Delta\log\beta$ vs $\Delta\log\rho$ — почти линейно; vs $\Delta\log\lambda$ — слабая связь и мало кросс-секционного разброса относительной волы. Кластеры по GICS: по корреляциям сектора разделяются, по воле — разброс внутри каждого сектора. Капитализация и book-to-market с внутридневным паттерном почти не связаны (S.7). Рис. 11: внутридневные беты vs обычная дневная бета; к концу дня беты менее разбросаны, как у ATT.

6. Заключение

$P$ и $K$ несостоятельны при меняющейся воле; квадрант состоятелен, но слаб. $Q_S$ наследует состоятельность и забирает эффективность за счёт лишних HF-наблюдений. Семь лет ~100 бумаг подтверждают теорию и симуляции.

Рыночная бета = корреляция с рынком × относительная вола. Внутридневная вариация бет — в основном вариация корреляций.

$Q_S$ годится и для других рядов с меняющейся волой, выбросами и шумом; возможно — для непараметрического leverage (Kalnina–Xiu 2017). Расширения: аккуратнее нули (оба нуля vs один); многомерный $Q_S$.

Благодарности. Ron Gallant; семинары UNC, Duke; SoFiE 2023, Сеул.

Литература

Перевод: основной текст §§1–6, теоремы 1–2. Рисунки и приложения — в PDF оригинала. · arXiv:2310.19992 · лицензия CC BY 4.0