Стохастическая волатильность для тиковой цены: аппроксимация с mean-field взаимодействием

5.5/10

Ключевые слова: стохастическая волатильность; процессы Хоукса; мультифрактальность; mean-field; нелинейность; критичность.

AMS 2020: primary 60G55; secondary 60F05, 60G44, 91G45.

Аннотация

Рассматривается тиковая модель формирования цены, в которой заявки на покупку и продажу моделируются как самовозбуждающиеся точечные процессы (процессы Хоукса), по аналогии с [Bacry, Delattre, Hoffmann, Muzy, Quantitative Finance, 2013] и [El Euch, Fukasawa, Rosenbaum, Finance and Stochastics, 2018]. Принят агентный подход: изучается агрегация большого числа таких процессов с взаимным mean-field взаимодействием.

Финансовая интерпретация: на активе несколько маркированных агентов размещают заявки на покупку и продажу по этим процессам, влияя на цену. Mean-field взаимодействие вводит положительные корреляции между объёмами заявок разных агентов — стадное поведение и заразность. При вычислении предела крупномасштабной агрегированной цены, если параметры стоят в критической точке, возникает сингулярное явление: агрегированная модель сходится к модели стохастической волатильности с эффектом leverage и сверхлинейным (быстрее линейного) mean reversion процесса волатильности.

Сверхлинейное mean reversion подтверждается эконометрикой; в [Dai Pra, Pigato, Stochastic Processes and their Applications, 2015] оно связано с наблюдаемым мультифрактальным поведением цен активов и рыночных индексов. Это созвучно взгляду статистической физики: аномальные scaling-свойства ожидаются в критическом режиме.

1. Введение

Тиковая модель формирования цены: вариации цены вызваны заявками на покупку и продажу отдельных агентов, моделируемых самовозбуждающимися точечными процессами (Хоукс), взаимодействующими в mean-field смысле. Цель — дать микроскопическое обоснование моделям стохастической волатильности, где mean reversion волатильности быстрее линейного. По эконометрическим данным [6] используются модели с квадратичным mean reversion (опционы, в т.ч. на bitcoin [47, 41]); это drift в модели 3/2 [7]. В [19] сверхлинейное mean reversion связано с мультифрактальностью цен [38].

Здесь показано: процесс цены как разность суммарных чисел заявок на покупку и продажу, надлежащим образом перенормированный по числу агентов, сходится по распределению к цене модели стохастической волатильности с квадратичным mean reversion в волатильности.

Следуем принципу статистической физики: насколько макроскопическая финансовая динамика выводится как предел микроскопических агентных моделей [14, 18]. По [3, 22, 37, 4, 39] микродинамика заявок — процессы Хоукса. В [22] из высокочастотного предела рыночной модели, где вариации цены от заявок — Хоукс, получена «rough»-версия модели Heston с микроскопическим обоснованием leverage effect. В отличие от [22], где модель касается суммарного потока заявок, мы вводим агентную динамику заявок каждого игрока. Интенсивность заявок — функция взвешенного по времени интеграла от суммарных прошлых заявок; это простая форма mean-field взаимодействия. Достаточной статистикой оказываются суммарные числа заявок на покупку и продажу — их агрегированная динамика выражается без индивидуальных агентов (как в mean-field версиях Voter Model, Contact Process, стохастической модели Изинга).

Гидродинамическое масштабирование явно связано с размером популяции агентов — предельная модель стохастической волатильности хорошо аппроксимирует микродинамику в этом режиме. Модель допускает расширения: неоднородность популяции (информированные / неинформированные), мета-заявки через высокое самовозбуждение одного агента (раздел 2.1).

Нелинейность — главная особенность. Линейность, как в [22], — ключ к асимптотике там; мы показываем, что нелинейность (saturation effects) радикально меняет предел: по-прежнему стохастическая волатильность, но с нелинейным mean reversion. Сверхлинейные модели предложены и поддержаны [6, 47, 41, 7, 19]; впервые, насколько нам известно, дано обоснование в контексте динамики цены. Нелинейность требует иных аргументов, чем [22]. Память — строго экспоненциальная $\varphi(t)=e^{-\alpha t}$: марковское описание до предела и слабая сходимость к диффузиям. Нелинейность ведёт к квадратичному mean reversion — связь нелинейности интенсивностей до предела и нелинейности mean reversion волатильности в пределе.

Как в [22, 50, 10], работаем в режиме почти неустойчивости: параметры на границе области устойчивости — рынки в режиме near-critical endogeneity, большинство событий порождается обратной связью от прошлых [29, 30, 51]. Это параллель критическим моделям статмеха и self-organized criticality [5]; rigorously — в моделях типа sandpile [2] и Curie–Weiss [13]. SOC часто связана с мультифрактальностью [43] — stylized fact для индексов, акций, сырья, FX, ставок [38]. В [19] в классе Levy-driven SV мультифрактальность (multiscaling моментов, зам. 2.7) возможна только при сверхлинейном drift mean reversion — теорема 2.1 объясняет происхождение сверхлинейности; скачки могут быть экзогенными шоками.

Ниже критической точки цена сходилась бы к модели с линейным mean reversion, но при приближении к критической точке mean reversion исчезает (тривиальный предел). В критической точке время перенормируется, линейность теряется — аномальный critical scaling, созвучно аномальным флуктуационным теоремам [17, 8]; обзор [48], приложения [15].

Нелинейность и аномальный scaling усложняют доказательство предельной теоремы. При экспоненциальной памяти интенсивность до предела марковска — можно было бы ожидать предел через сильную сходимость инфinitesimal generators, но члены генератора расходятся при $N\to\infty$ и динамика «схлопывается» на низкоразмерное многообразие — как в perturbation theory операторов [20].

Модель сохраняет leverage effect из [22]: отрицательная корреляция доходностей и волатильности [23]; на макроуровне — следствие микроструктуры и явного взаимодействия агентов.

Благодарности. Mathieu Rosenbaum, Fabrizio Lillo, Alessandro Calvia — обсуждения. Поддержка Tor Vergata (E83C25000470005).

План. Раздел 2 — модель и основные результаты. Раздел 3 — доказательства и технический материал. Приложение — известные результаты и вспомогательные вычисления.

2. Описание модели и основные результаты

На рынке $N$ агентов размещают заявки на актив. Для агента $i$: $N_i^+$ — счётчик заявок на покупку, $N_i^-$ — на продажу. Вклад в лог-цену актива:

Формирование цены как следствие прихода заявок и их impact — [25, 42, 27, 34, 21]. Модель — декомпозиция на агентов модели [22, 3]; зам. 2.5 — интерпретация для индексов / портфелей.

Память $\varphi(t)=e^{-\alpha t}$. Две последовательности $\sigma$-конечных мер $\nu_N^\pm$ на $[0,+\infty)$:

$X_i^\pm(t)\ge 0$. Интеграл — взвешенная сумма прошлых скачков; меры $\nu_N^\pm$ — внешние сигналы («baseline» волатильность). Эмпирические средние:

— двумерный марковский процесс (лемма 3.1). Процессы $(N_i^\pm)_{i=1}^N$ условно независимы при фиксированных $(X_i^\pm)$. Интенсивность «вверх»:

«вниз»:

$f$ — возрастающая вогнутая функция класса $C^3$, $f(0)=0$, $f'(0)\gt 0$, $f''(0)\lt 0$, $f',f'',f'''$ ограничены; $\beta\ge 1$, $\gamma\in[0,1]$ — self и cross excitation (зам. 2.2–2.3). $(N_i^\pm)$ — процессы Хоукса; интенсивность одинакова для всех агентов (заразность, однородность).

Mean-field: заявки на покупку (рост лог-цены) возбуждают заявки того же типа у других агентов; $X_i^\pm$ — самовозбуждение $N_i^\pm$, плюс общий внешний сигнал $\nu_N^\pm$. Предполагаем:

$a_N^\pm$ задают интенсивности в $t=0$; $b_N^\pm$ — стационарные внешние сигналы. Перенормированная лог-цена:

Теорема 2.1. При условии критичности

процесс $\Pi_N$ сходится по распределению на $(0,T]$ к $\pi$, где $(\pi,y)$ решает СДУ

с начальными условиями

константы динамики:

$W,B$ — стандартные броуновские движения с корреляцией

Замечание 2.2. В (3)–(4) интенсивность — вогнутая функция от функционала прошлых скачков. $m_N^+$ — impact прошлых скачков вверх на $\lambda_N^+$; $\beta\gamma m_N^-$ — impact прошлых скачков вниз на $\lambda_N^+$. $\gamma\le 1$: «прошлый скачок вверх (вниз) сильнее влияет на $\lambda_N^+$ ($\lambda_N^-$), чем на $\lambda_N^-$ ($\lambda_N^+$)» — стадное поведение; равенство при $\gamma=1$. $\beta\ge 1$: больший impact скачков вниз — «excitatory power» падений цены [22]; при $\beta\ge 1$ leverage в пределе (зам. 2.4).

Замечание 2.3. Эффект усреднённых прошлых скачков на интенсивность медиируется вогнутой $f$ — saturation: большие прошлые скачки дают большую интенсивность, но с убывающей предельной чувствительностью. $y$ в (8) mean-reverting, т.к. $f''(0)\lt 0$.

Замечание 2.4 [Leverage]. При $\gamma\in[0,1]$, $\beta\ge 1$: $\langle B,W\rangle\in(-1/\sqrt{2},0]$. При $\beta\to\infty$: $\langle B,W\rangle\to -1/\sqrt{2}$. В [22] корреляция $(1-\beta)/\sqrt{2(1+\beta^2)}$ — получаем при $\gamma=1$. $\langle B,W\rangle\le 0$ — отрицательная связь доходностей и волатильности.

Замечание 2.5 [Индекс / портфель]. (6) и предел $(\pi_t)$ — индекс или портфель из $N$ активов; вариации индекса — среднее микровариаций компонент. Активы самовозбуждаются и возбуждают друг друга через mean-field. Диффузия — более медленный масштаб времени, чем стакан.

Замечание 2.6 [Критичность]. Рынки у границы устойчивости/неустойчивости; branching ratio $\approx 1$ [29, 30, 51]. Условие (7): параметр памяти $\alpha$ на критической точке — дальнейший рост обратной связи разрушит устойчивость в пределе теоремы 2.1.

Замечание 2.7 [Мультифрактальность / multiscaling моментов]. Для непрерывного мартингала $(X_t)$ с стационарными приращениями multiscaling: $\mathbb{E}(|X_{t+h}-X_t|^q)\sim h^{A(q)}$, $A(q)=2q$ при малых $q$, но $A(q)\lt 2q$ выше порога. В SV-модели $dV_t=-f(V_t)\,dt+dL_t$ multiscaling возможен iff характеристическая мера $L$ имеет power-law хвосты и $f$ — сверхлинейное mean reversion [19], в согласии с [6]. Теорема 2.1 — объяснение сверхлинейного mean reversion.

2.1. Расширения модели

Два расширения. Сначала — симметрия между агентами нарушена (неоднородная популяция). Затем — self-interaction: история агента сильнее влияет на его будущие действия, чем на других (мета-заявки, разбиение крупного ордера [44]). Последняя модель теряет свойство: $m_N^\pm(t)$ — двумерный марковский процесс (лемма 3.1). Доказательства — раздел 3.

Неоднородные агенты. Интенсивности зависят от агента:

Эмпирическая мера $\rho_N := \frac{1}{N}\sum_i \delta_{(\beta_i^N,\gamma_i^N)}$ сходится к $\rho$ на $[1,+\infty)\times[0,1]$; $\alpha_N\to\alpha$. Обозначение $\overline{g(\beta,\gamma)}^N := \frac{1}{N}\sum_i g(\beta_i^N,\gamma_i^N)$, $\overline{g(\beta,\gamma)} := \int g\,d\rho$.

Теорема 2.8. При критичности $\alpha_N=f'(0)(1+\overline{\beta\gamma}^N)$ для каждого $N$ процесс $\Pi_N$ сходится к $(\pi,y)$ с тем же видом (13)–(14), что (8)–(9), но константы через $\rho$ и усреднённые $\overline{a(\beta,\gamma)}$, $\overline{b(\beta,\gamma)}$; корреляция $W,B$ через $\overline{\gamma^2}$, $\overline{\beta\gamma}$ и т.д. (полные формулы — оригинал, уравнения 12–14).

Самовозбуждение (metaorders). Заменяем (3)–(4) на агент-зависимые интенсивности с

для константы $\kappa\gt 0$: история агента $i$ имеет impact порядка $1/\sqrt{N}$, других — $1/N$. При нелинейной $f$ агрегированные $m_N^\pm$ — не марковские (зам. 3.7), но в пределе марковское свойство восстанавливается; предел как в теореме 2.1, но с дополнительным линейным членом в drift волатильности.

Теорема 2.9. При (16) $\alpha=f'(0)(1+\beta\gamma)$ процесс $\Pi_N$ сходится к $(\pi,y)$ с

где $\theta_y = f'(0)\frac{1+\beta\gamma}{1+\beta}\kappa$; остальные параметры и начальные условия — как в теореме 2.1.

3. Доказательства

Доказательство теоремы 2.1 — два шага. (1) Микроскопический процесс волатильности $Y_N(t)$ сходится к второму уравнению в (8) — мартингальные методы; главная трудность — показать, что некоторые члены динамики $Y_N$ исчезают при $N\to\infty$. В критической динамике есть расходящийся член, который исчезает при (7). (2) Сходимость цены — сложнее: расходящийся член в динамике цены не исчезает на критичности. Обход — теорема о collapsing processes Comets & Eisele [17]. Используются теоремы A.1, A.2, лемма B.1, теорема B.2 (приложение). Константы $A,B,C$ не зависят от $N$.

3.1. Предварительные результаты

Семимартингальное представление для $m_N^\pm$ через независимые пуассоновские случайные меры $n_i^\pm(ds,du)$ с интенсивностью $ds\,du$.

Лемма 3.1.

где $M_N^\pm$ — ортогональные мартингалы с условной квадратичной вариацией $\frac{1}{N}\int_0^t \lambda_N^\pm(s)\,ds$. Пары $m_N^\pm(t)$ — двумерный марковский процесс.

Доказательство. При $\varphi(t)=e^{-\alpha t}$ интеграл по $X_i^\pm$ даёт (19): $X_i^\pm(t) = -\alpha\int_0^t X_i^\pm(s)\,ds + N_i^\pm(t) + \nu_N^\pm([0,t])$. Представление через PRM — стандартно. □

Замечание 3.2. Траектории $X_i^\pm$ однозначно определяются реализацией PRM: детерминированная эволюция до пересечения движущихся интервалов $[0,\lambda_N^\pm(t))$ с точками $n_i^\pm$.

3.2. Определение и сходимость процесса волатильности

Определяем

Тогда $\lambda_N^+(t)=f\bigl(\frac{1}{\sqrt{N}}Y_N(t/\sqrt{N})+\frac{1}{N}\frac{2\beta}{1+\beta}Z_N(t/\sqrt{N})\bigr)$ и аналогично для $\lambda_N^-$. $m_N^\pm\ge 0\Rightarrow Y_N\ge 0$. Оценка $|Z_N(t)|\le C(\beta,\gamma)Y_N(t)$ (21). $Y_N$ имеет нетривиальный предел; $Z_N$ сходится к нулю в подходящем смысле.

Лемма 3.3. Тождество для всех $t\ge 0$:

$E_N = \frac{1-\gamma}{2\sqrt{N}}(a_N^+-a_N^-)$, $F_N = \frac{1-\gamma}{2\sqrt{N}}(b_N^+-b_N^-)$. Доказательство — из леммы 3.1 и определения $Z_N$.

Для фиксированного $h\gt 0$: $\tilde Y_N(t):=Y_N(t)\wedge h$, $\tilde Z_N$ — решение (23) с $\lambda_N^\pm$ заменёнными на $\tilde\lambda_N^\pm$, зависящие от $\tilde Y_N,\tilde Z_N$. Компенсированные меры $\tilde n_i^\pm(dt,du):=n_i^\pm(dt,du)-dt\,du$.

Лемма 3.4. Для каждого $t\gt 0$: $\sup_N N^2\,\mathbb{E}[\tilde Z_N^4(t)]\lt +\infty$.

Доказательство (набросок). Из (23) и теоремы 31, гл. II [46] — рекурсия для четвёртых моментов; вогнутость и лipschitz $f$ дают $\lambda_N^\pm\le C/\sqrt{N}$ на множестве ограниченности $\tilde Y_N,\tilde Z_N$; доминируемая сходимость и Gronwall. □

Лемма 3.5. $\sup_N \mathbb{E}[\sup_{t\le T} Z_N(t)^2]\lt +\infty$ и $Z_N(t)\to 0$ по вероятности равномерно на компактах $(0,T]$ (после truncation argument и леммы 3.4).

Остановка $\tau_h^N := \inf\{t\gt 0: Y_N(t)\ge h\}$. С помощью теоремы A.2 (оценки супремума) и условия $\alpha-f'(0)(1-\gamma)\gt 0$ получаем uniform bounds для $\tilde Y_N$.

Пропозиция 3.6. При (43) $\alpha=f'(0)(1+\beta\gamma)$ последовательность $(Y_N(t))_{t\in[0,T]}$ сходится по распределению к единственному решению СДУ (44) для $y(t)$ с drift $\beta_y+\alpha_y f''(0)y^2$ и диффузией $\sigma_y\sqrt{f'(0)}\,y\,dB$. Доказательство — разложение Тейлора $f$ в представлении $Y_N$ из (18), критическое условие убирает расходящийся линейный член; остаётся квадратичный drift от $f''(0)$; сходимость — теорема A.1.

3.3. Сходимость совместного процесса цена–волатильность

Завершение доказательства теоремы 2.1. Из (6) и леммы 3.1:

Разложение $f$ вокруг нуля и представление (60):

расходящийся член с $Z_N$ компенсируется через (63) и collapsing argument [17]. Сходимость $(\Pi_N,Y_N)$ — теорема A.1: drift $\Pi_N$ даёт $\beta_\pi$; квадратичная вариация мартингала — $2f'(0)Y_N$; ковариация с $Y_N$ — через (56)–(61). Начальное условие $\pi(0)$ из (5) и negligibility $Z_N$ на $(0,T]$ (лемма 3.5).

3.4. Доказательство теоремы 2.8

Неоднородные $\beta_i^N,\gamma_i^N$: определяем усреднённые интенсивности через $\overline{\beta\gamma}^N$, $\overline{\gamma}^N$. Критичность (12) для каждого $N$. Процессы $\tilde Y_N,\tilde Z_N^4$ — те же леммы 3.3–3.5 с заменой констант на усреднённые; в (64)–(68) появляются суммы $\sum_i f(\cdots)$, оцениваемые через Lipschitz и concavity $f$ и сходимость $\rho_N\to\rho$. Разложение Тейлора $f$ в (66) — как в 3.3; divergent term обрабатывается identically через collapsing $Z_N$. □

3.5. Доказательство теоремы 2.9

Определяем

$Y_N=\frac{1}{N}\sum_i Y_N^i$, $Z_N=\frac{1}{N}\sum_i Z_N^i$. Интенсивности (71)–(72) с дополнительными членами $\kappa Y_N^i/\sqrt{N}$, $\kappa Z_N^i/\sqrt{N}$. Collapsing $Z_N$ — без изменений (первый порядок $f$). В динамике $Y_N$ (73) появляется сумма $\sum_i f'(0)Y_N^i/N = \kappa f'(0)Y_N$ — линейный член того же порядка, что квадратичный от $f''(0)Y_N^2$; отсюда $\theta_y y$ в (17). Пара $(Z_N,Y_N)$ не марковска при нелинейной $f$ (зам. 3.7): генератор $\mathcal{L}_N F(x)$ содержит $\sum_i \lambda_N^{i,s}(x)$, не функцию только от $m_N^\pm(x)$, если $f$ нелинейна.

Замечание 3.7. Из (70)–(72) $(Z_N,Y_N)$ не марковский процесс: $m_{i,N}^\pm(X(t))$ не марковский, т.к. $\sum_i \lambda_N^{i,s}$ не функция только $m_N^\pm$.

Приложение A. Полезные результаты

Теоремы соответствуют теореме VII, 4.1 [24] и предложению в приложении A [17].

Теорема A.1 (аппроксимация диффузией). Пусть $(X_N)_N$, $(B_N)_N$ — $\mathbb{R}^d$-процессы с càdlàg траекториями, $A_N=(A_N^{ij})$ — симметричная неотрицательная матрица. $M_N:=X_N-B_N$, $M_N^i M_N^j - A_N^{ij}$ — локальные мартингалы относительно $\mathcal{F}_t^N=\sigma(X_N(s),B_N(s),A_N(s):s\le t)$. $\tau_h^N:=\inf\{t\gt 0: |X_N(t)|\ge h\}$. При выполнении условий (74)–(79): сходимость $B_N$ и $A_N^{ij}$; существуют непрерывные $a=(a^{ij})$, $b:\mathbb{R}^d\to\mathbb{R}^d$ такие, что $(X_N)$ сходится к решению

Теорема A.2. Пусть $\{X_n(t)\}$ — последовательность положительных семимартингалов, $X_n(t)=C_n+\int_0^t b_n(s)X_n(s)\,ds + M_n(t)$, $|b_n|\le \alpha_n$, $M_n$ — локальный мартингал с $\langle M_n\rangle_t\le \int_0^t A_n(s)X_n(s)\,ds$, $|A_n|\le B\alpha_n$. Тогда для $\varepsilon\gt 0$ существуют $C_6,n_0$:

Приложение B. Вспомогательные вычисления

Лемма B.1. Пусть $\alpha\in(0,1)$, $y_m$ — решение $\dot y_m = A+By_m^\alpha - m y_m$, $y_m(0)=C\gt 0$. Тогда $\limsup_{m\to\infty} m\,y_m(t)\lt +\infty$ для всех $t\gt 0$. Доказательство — comparison principle и функция $\varphi(y)=A+By^\alpha-\frac{m}{2}y$.

Теорема B.2. СДУ $dX_t=2aX_t\,dW_t+(-bX_t^2+c)\,dt$, $X_0=x_0\gt 0$, $a,b,c\gt 0$ — слабое решение и pathwise uniqueness. При $0\lt c\lt a$ точка 0 достижима, отражение вверх; при $c\ge a$ — $X_t\gt 0$ a.s. Двумерная система (89) с $d\xi_t=w\,dt+v\sqrt{X_t}\,dW_t$, $\langle B,W\rangle=\rho$ — существование и единственность по [36]. □

Благодарности (повтор). Редактор и рецензент — за внимательное чтение.

Литература

• [1] Andreoli, A., Caravenna, F., Dai Pra, P. and Posta, G. Scaling and multiscaling in financial series. Advances in Applied Probability 44(4), 1018–1051, 2012.
• [2] Athreya, S.R. and Járai, A.A. Infinite volume limit for the stationary distribution of abelian sandpile models. Comm. Math. Phys. 249, 197–213, 2004.
• [3] Bacry, E., Delattre, M., Hoffmann, M. and Muzy, J.F. Modelling microstructure noise with mutually exciting point processes. Quantitative Finance 13(1), 65–77, 2013.
• [4] Bacry, E., Delattre, M., Hoffmann, M. and Muzy, J.F. Some limit theorems for Hawkes processes. Stochastic Processes and their Applications 123(7), 2475–2499, 2013.
• [5] Bak, P., Tang, C. and Wiesenfeld, K. Self-organized criticality. Physical Review A 38(1), 364, 1988.
• [6] Bakshi, G., Ju, N. and Ou-Yang, H. Estimation of continuous-time models with an application to equity volatility dynamics. Journal of Financial Economics 82(1), 227–249, 2006.
• [7] Baldeaux, J. Exact simulation of the 3/2 model. Int. J. Theor. Appl. Finance 15(05), 1250032, 2012.
• [8] Baldovin, F. and Stella, A.L. Central limit theorem for anomalous scaling due to correlations. Physical Review E 75(2), 020101, 2007.
• [9] Black, F. Studies of stock price volatility changes. Proceedings of the 1976 Meetings of the Business and Economical Statistics Section, 177–181, 1976.
• [10] Bouchaud, J.-P., Gefen, Y., Potters, M. and Wyart, M. Fluctuations and response in financial markets. Quantitative Finance 4(2), 176–190, 2004.
• [11] Brandi, G. and Di Matteo, T. Multiscaling and rough volatility. Int. Review of Financial Analysis 84, 102324, 2022.
• [12] Calvet, L. and Fisher, A. Multifractality in asset returns. Review of Economics and Statistics 84(3), 381–406, 2002.
• [13] Cerf, R. and Gorny, M. A Curie-Weiss model of self-organized criticality. Annals of Probability 44(1), 444–478, 2016.
• [14] Chakraborti, A., Toke, I.M., Patriarca, M. and Abergel, F. Econophysics review: II. Agent-based models. Quantitative Finance 11(7), 1013–1041, 2011.
• [15] Challet, D. and Marsili, M. Criticality and market efficiency. Phys. Rev. E 68, 036132, 2003.
• [16] Christie, A.A. The stochastic behavior of common stock variances. Journal of Financial Economics 10, 407–432, 1982.
• [17] Comets, F. and Eisele, T. Asymptotic dynamics for a geometric long-range interacting model. Comm. Math. Phys. 118(4), 531–567, 1988.
• [18] Cont, R. and Bouchaud, J.-P. Herd behavior and aggregate fluctuations. Macroeconomic Dynamics 4(2), 170–196, 2000.
• [19] Dai Pra, P. and Pigato, P. Multi-scaling of moments in stochastic volatility models. Stochastic Processes and their Applications 125(10), 3725–3747, 2015.
• [20] Dawson, D.A. Critical dynamics and fluctuations for a mean-field model. Journal of Statistical Physics 31(1), 29–85, 1983.
• [21] Durin, B., Rosenbaum, M. and Szymanski, G. The two square root laws of market impact. arXiv:2311.18283, 2023.
• [22] El Euch, O., Fukasawa, M. and Rosenbaum, M. The microstructural foundations of leverage effect and rough volatility. Finance and Stochastics 22(2), 241–280, 2018.
• [23] Engle, R. and Ng, V.K. Measuring and testing the impact of news on volatility. Journal of Finance 48(5), 1749–1778, 1993.
• [24] Ethier, S.N. and Kurtz, T.G. Markov processes: characterization and convergence. Wiley, 2009.
• [25] Farmer, J.D., Gillemot, L., Lillo, F., Mike, S. and Sen, A. What really causes large price changes? Quantitative Finance 4(4), 383–397, 2004.
• [26] French, K., Schwert, G. and Stambaugh, R. Expected stock returns and volatility. Journal of Financial Economics 19(1), 3–29, 1987.
• [27] Gatheral, J. No-dynamic-arbitrage and market impact. Quantitative Finance 10(7), 749–759, 2010.
• [28] Hagan, P.S., Kumar, D., Lesniewski, A.S. and Woodward, D.E. Managing smile risk. Wilmott Magazine, 84–108, 2002.
• [29] Hardiman, S.J., Bercot, N. and Bouchaud, J.-P. Critical reflexivity in financial markets. Eur. Phys. J. B 86(10), 442, 2013.
• [30] Hardiman, S.J. and Bouchaud, J.-P. Branching-ratio approximation for the self-exciting Hawkes process. Physical Review E 90(6), 062807, 2014.
• [31] Hens, T. and Steude, S.C. The leverage effect without leverage. Finance Research Letters 6(2), 83–94, 2009.
• [32] Hentschel, L. and Campbell, J. No news is good news. Harvard University Department of Economics, 1992.
• [33] Heston, S.L. A closed-form solution for options with stochastic volatility. Review of Financial Studies 6(2), 327–343, 1993.
• [34] Huberman, G. and Stanzl, W. Price manipulation and quasi-arbitrage. Econometrica 72(4), 1247–1275, 2004.
• [35] Hull, J.C. and White, A.D. The Pricing of Options on Assets with Stochastic Volatilities. Journal of Finance 42(2), 281–300, 1987.
• [36] Ikeda, N. and Watanabe, S. Stochastic differential equations and diffusion processes. North-Holland, 1981.
• [37] Jaisson, T. and Rosenbaum, M. Limit theorems for nearly unstable Hawkes processes. Annals of Applied Probability 25(2), 600–631, 2015.
• [38] Jiang, Z.-Q., Xie, W.-J., Zhou, W.-X. and Sornette, D. Multifractal analysis of financial markets: a review. Reports on Progress in Physics 82(12), 125901, 2019.
• [39] Law, B. and Viens, F. Hawkes Processes and Their Applications to High-Frequency Data Modeling. Wiley, 2016.
• [40] Lejay, A. and Pigato, P. A threshold model for local volatility. Int. J. Theor. Appl. Finance 22(4), 2019.
• [41] Lewis, A.L. Exact solutions for a gbm-type stochastic volatility model. Wilmott 2019(101), 20–41, 2019.
• [42] Lillo, F. Order flow and price formation. In Machine Learning and Data Sciences for Financial Markets. Cambridge University Press, 2023.
• [43] Marković, D. and Gros, C. Power laws and self-organized criticality in theory and nature. Physics Reports 536(2), 41–74, 2014.
• [44] Moro, E. et al. Market impact and trading profile of large trading orders. Physical Review E 80(066102), 2009.
• [45] Neuman, E. and Rosenbaum, M. Fractional Brownian motion with zero Hurst parameter. Electronic Communications in Probability 23, 2017.
• [46] Protter, P.E. Stochastic Integration and Differential Equations. Springer, 2nd ed., 2005.
• [47] Sepp, A. and Rakhmonov, P. Log-Normal Stochastic Volatility Model With Quadratic Drift. Int. J. Theor. Appl. Finance 26(08), 1–63, 2023.
• [48] Sornette, D. Critical Phenomena in Natural Sciences. Springer, 2013.
• [49] Stein, E.M. and Stein, J.C. Stock Price Distributions with Stochastic Volatility. Review of Financial Studies 4(4), 727–752, 1991.
• [50] Szymanski, G. and Xu, W. Mean-Field Limits for Nearly Unstable Hawkes Processes. arXiv:2501.11648, 2025.
• [51] Wehrli, A. Scale-, time- and asset-dependence of Hawkes process estimates. Quantitative Finance 21(5), 729–752, 2021.
• [52] Wu, P., Muzy, J.-F. and Bacry, E. From rough to multifractal volatility: the log S-fBM model. Physica A 604(C), 2022.

Оригинал статьи: Dai Pra & Pigato, «A stochastic volatility approximation for a tick-by-tick price model with mean-field interaction», arXiv:2504.03445 · лицензия arXiv nonexclusive-distrib 1.0