Возникновение корреляции и эффект Эппса в двух связанных лимитных стаканах

4/10

Крис Ангстманн · School of Mathematics and Statistics, University of New South Wales, Сидней

Тим Гебби · Department of Statistical Sciences, University of Cape Town · 12 июня 2026 (v2: 8 августа 2026)

Оригинал: Angstmann, C. and Gebbie, T. «Correlation emergence and the Epps effect in two coupled limit order books», 2026 — arxiv.org/abs/2606.14182 (PDF).

Аналитическое продолжение численной работы Bauer, Diana and Gebbie, arXiv:2408.03181.

Оригинал распространяется по лицензии CC BY-NC-SA 4.0 (некоммерческое использование, с указанием авторства и распространением производных на тех же условиях); перевод выполнен на её условиях.

Ключевые слова: лимитный стакан; реакция–диффузия; эффект Эппса; субординация; микроструктура.

Аннотация

Единый аналитический счёт возникновения корреляции и эффекта Эппса в двух связанных лимитных стаканах. Эффект Эппса — эмпирическое снижение измеренной кросс-корреляции лог-доходностей на коротких окнах агрегации (или, наоборот, набор корреляции при удлинении окна). Модель: дискретное случайное блуждание потока заявок на фиксированной сетке в операционном времени — создание, отмена, диффузия. Связка pair-trader на уровне создания заявок; календарное время — отдельные часы наблюдения. Операционная модель сводится к связанным уравнениям реакция–диффузия с движущейся реакционной границей = модельный лог-mid. Регуляризованный локальный отклик связки даёт приближённые замкнутые формулы реализованной корреляции как функции окна агрегации. Эффект Эппса из трёх механизмов: асинхронные событийные часы (субординация), конечное время отклика связки и их комбинация.

1. Введение

Рынки — связанные коллекции стаканов, lit и latent. Lit: видимые заявки, матч по price-time priority [23]. Hidden — уже поданные, но не полностью показанные. Latent book [29] фундаментальнее: потенциальный спрос/предложение, ещё не выраженный заявками. Donier et al. [12] — реакция–диффузия latent book. Gant [15] — стохастическая конечно-разностная схема [2, 1] и калибровка. Diana and Gebbie [10] — одностаканный DTRW с аномальной диффузией, неравномерным event time и симулированным импактом. Bauer et al. [5] связали два lit-стакана через pair-trader и численно показали, что корреляция и эффект Эппса возникают из связанной асинхронной динамики.

Эффект Эппса [14]: измеренная кросс-корреляция падает при укорочении окна агрегации. Эмпирика [28, 20]. Здесь — аналитическая reaction-front трактовка часов и отклика связки и их комбинации. Сначала реакционная граница в операционном времени, затем субординация в календарь.

Корреляция возникает из связки потока заявок, а не из заранее заданной зависимости типов событий или цен. В Хоуксе скалярная корреляция лог-доходностей появляется после отображения событий в цену, кросс задан таксономией и ядрами [3, 8]. Здесь механизм — мезоскопический pair-trader: эффект цены идёт через поля плотности заявок и движущиеся фронты.

Разделение динамики границы в операционном времени и асинхронных часов наблюдения отделяет затухание из-за неполного перекрытия часов от конечного отклика связки. Предельная модель — субординация, не численная интерполяция (связь с интерполяцией симуляций [5] — приложение F).

2. Связанные лимитные стаканы

Динамика стакана отделена от часов наблюдения. Сетка лог-цены $x_i=i\Delta x$, операционное время $u_n=n\Delta u$, $n\in\mathbb{N}$. $\Delta x\gt 0$ — шаг лог-цены, $\Delta u\gt 0$ — шаг операционного времени; $t$ — календарь. На шаге: создание, отмена, сдвиг на один уровень. Одна книга: дискретное случайное блуждание в лог-цене с killing и источником [1, 2, 10].

$\varphi_n^{i(j)}$ — знаковая плотность заявок в $x_i$ для актива $j$ на шаге $n$. $0\le r\le 1$, $|F_n^{(j)}|\le r$. Для континуума $r\gt 0$. Веса ближайших соседей $\tfrac12(r+F_n^{(j)})$ и $\tfrac12(r-F_n^{(j)})$; $F_n^{(j)}$ — знаковый bias прыжка. $K_{n-m}^{(\alpha_u)}$ — ядро памяти Сибуи порядка $0\lt\alpha_u\le 1$ [1]; $\nu_j$ — интенсивность отмен. $\alpha_u$ принадлежит динамике плотности в операционном времени; показатель календарных часов $\alpha_t$ вводится отдельно.

Полный прирост источника: $c_n^{i(j)}=s_n^{i(j)}+\delta_n^{i(j)}+\sum_{k\neq j}\ell_{\varepsilon,n}^{i(j,k)}$. $s^{(j)}$ — одностаканный источник, $\delta^{(j)}$ — внешний шок, $\ell_\varepsilon^{(j,k)}$ — ordered-pair источник на книгу $j$ в ответ на $k$, параметр регуляризации $\varepsilon$. Решёточное уравнение (4) в оригинале: свёртка Сибуи с выживанием отмен плюс $e^{-\nu_j\Delta u}\varphi_{n-1}^{i(j)}+c_{n-1}^{i(j)}\Delta u$. Общая отмена: $\nu_1=\nu_2=\nu$. Ненулевой bias в континууме дал бы адвекцию; ниже центрированный предел $F_n^{(j)}=0$.

2.1. Связанные источники

$\ell_\varepsilon^{(j,k)}$ меняет книгу $j$ в ответ на $k$. Граничные условия сохранения знаковой плотности удобны для lit-источников [15, 10, 5]:

\[ s^{(j)}(x,u)=-\lambda_j\mu_j\bigl(x-p^{(j)}(u)\bigr)\exp\bigl(-\mu_j(x-p^{(j)}(u))^2\bigr). \]

$p^{(j)}(u)$ — лог-цена реакционной границы, $\lambda_j$ — сила источника, $\mu_j$ — форма. Связка — внешний парный трейдер: смотрит две книги и ставит side-selective заявки по направленной разности лог-mid. Две книги; нотация обобщается.

2.2. Движущаяся граница и календарные часы

Операционный лог-mid — единственный ноль плотности: $p^{(j)}(u)=\{x:\varphi^{(j)}(x,u)=0\}$. Постоянные скорости аннигиляции $a^{(j)}(x,u)=\nu_j$. Полный источник

\[ c^{(j)}(x,u)=s^{(j)}(x,u)+\delta^{(j)}(x,u)+\sum_{k\neq j}\ell_\varepsilon^{(j,k)}(x,u). \]

Шоки $\delta^{(j)}$ калибруют импакт [10]: шок размера $Q$, измерение сдвига лог-цены. Lit-источники — нулевые границы; latent могут иметь конечные.

$T_j(u)$ — неубывающий процесс операционное → календарное время; обратные часы $E_j(t)=\inf\{u\ge 0:T_j(u)\gt t\}$. Календарные плотность и лог-цена pathwise: $\Phi^{(j)}(x,t)=\varphi^{(j)}(x,E_j(t))$, $P^{(j)}(t)=p^{(j)}(E_j(t))$. При единственности нуля $P^{(j)}(t)=\{x:\Phi^{(j)}(x,t)=0\}$. Общие часы: $E_1=E_2$. Разные часы $E_1\neq E_2$ нужны для отдельного механизма затухания из-за перекрытия.

3. От дискретного потока к континууму

Предел фиксированной сетки:

\[ D_{\alpha_u}=\lim_{\Delta x,\Delta u\to 0}\frac{r\,\Delta x^{2}}{2(\Delta u)^{\alpha_u}}. \]

По Angstmann et al. [1, 2] континуальная плотность удовлетворяет

\[ \partial_u\varphi^{(j)}=D_{\alpha_u}\partial_x^{2}\Bigl[\theta_j(u)\,{}^{RL}D_u^{1-\alpha_u}\frac{\varphi^{(j)}}{\theta_j(u)}\Bigr]-\nu_j\varphi^{(j)}+c^{(j)}(x,u), \]

где $\theta_j(u)=e^{-\nu_j u}$ — выживание отмен. Взвешивание нужно при $0\lt\alpha_u\lt 1$ и $\nu_j\gt 0$. При $\alpha_u=1$ память порядка ноль — обычная реакция–диффузия. При $\nu_j=0$ — невзвешенная дробная диффузия.

Реакционная граница $p^{(j)}(u)=\{x:\varphi^{(j)}(x,u)=0\}$ отделяет buy- и sell-доминируемые области. Одна фронт не разрешает лучший bid и ask по отдельности. Ноль — модельный лог-mid; экспонента — уровень цены и приближение реализованной сделки. Календарная проекция — (10).

Если $E_j$ — обратные стабильные часы порядка $0\lt\alpha_t\le 1$, для линейного операционного генератора есть замкнутое дробное уравнение в календаре. При state-dependent / нелинейных источниках связки субординированное поле определено (10), но замкнутое дробное PDE требует линеаризации, weak-limit или замыкания. $\alpha_t$ не выводится из $\alpha_u$; равенство $\alpha_u=\alpha_t$ — необязательное ограничение.

3.1. Регуляризованная аналитическая связка

Симуляции Bauer et al. [5] — конечно-сеточный side-selective pair-trader. Для аналитики — ограниченная регуляризация того же направленного механизма. Источники не поточечно тождественны (приложения D–E).

Локальная координата $y_j(x,u)=x-p^{(j)}(u)$, направленный спред $z_{jk}(u)=p^{(j)}(u)-p^{(k)}(u)=-z_{kj}(u)$. Ядро формы $q_j(y)=-\lambda_j\mu_j y e^{-\mu_j y^{2}}$, $\lambda_j,\mu_j\gt 0$; $q_j$ нечётное, интегрируемое, конечный первый момент.

\[ \ell_\varepsilon^{(j,k)}(x,u)=\gamma_{jk}z_{jk}(u)\,q_j(y_j)\,W(y_j,z_{jk};\varepsilon), \]

$\gamma_{jk}\ge 0$, $W$ ограничена. Гладкий выбор [24, 30]:

\[ W(y,z;\varepsilon)=\frac12\Bigl(1+\tanh\frac{yz}{\varepsilon}\Bigr),\qquad\varepsilon\gt 0. \]

$y$ и $z$ в единицах лог-цены, $\varepsilon$ — лог-цена в квадрате. При фиксированном $z\neq 0$ ширина перехода $w_\varepsilon(z)\sim\varepsilon/|z|$. Параметризация $\varepsilon=|z|_{\mathrm{ref}}w_{\mathrm{ref}}$, $\Delta x\ll w_{\mathrm{ref}}\ll L_{q,j}$, $L_{q,j}\sim\mu_j^{-1/2}$. $z_{jk}\gt 0$ выбирает сторону $y_j\gt 0$; $z_{jk}\lt 0$ — $y_j\lt 0$. Жёсткий порог: $W_0(y,z)=1_{\{yz\gt 0\}}$. Сырой первый пространственный момент гладкого и жёсткого источников совпадает (приложение E). Коэффициент отклика фронта — нормированное замыкание приложения B.

4. Аналитическое разложение эффекта Эппса

Календарная лог-доходность $R_{\Delta t}^{(j)}(t)=P^{(j)}(t+\Delta t)-P^{(j)}(t)$. Реализованная корреляция [4]:

\[ \rho_{\Delta t}=\frac{\mathrm{Cov}(R_{\Delta t}^{(1)},R_{\Delta t}^{(2)})}{\sqrt{\mathrm{Var}(R_{\Delta t}^{(1)})\,\mathrm{Var}(R_{\Delta t}^{(2)})}}. \]

Популяционный аналог estimator’а realized covariation [4]. При несинхронных событийных часах структура перекрытия родственна оценке несинхронной ковариации [17].

$\rho_u$ — мгновенная корреляция операционных инноваций; $\rho_\infty$ — уровень большой агрегации наблюдаемых лог-цен. Совпадают только в clock-only бенчмарке после того, как фактор перекрытия стремится к 1. В замкнутой двухлогарифмической SDE стационарный спред даёт единичную long-aggregation корреляцию. В нормированной оболочке $\rho_\infty$ оставляют феноменологическим крупномасштабным уровнем. Коэффициент $\kappa_{jk}$ — эффективная скорость, с которой coupling-induced поток из $k$ двигает реакционную границу $j$. Обе границы двигаются в противоположные стороны при ненулевом спреде — обе уменьшают тот же спред.

4.1. Только субординация

Лог-цены эволюционируют в операционном времени, наблюдаются независимыми часами: корреляция режется ограниченным перекрытием часов $\rho_{\Delta t}^{\mathrm{sub}}=\rho_u A_{12}(\Delta t)$. Для независимых пуассоновских refresh с pooled-rate в непрерывной экспоненциальной агрегации:

\[ \rho_{\Delta t}^{\mathrm{sub}}\simeq\rho_u\Bigl(1-\frac{1-e^{-\lambda_{12}^{\mathrm{clk}}\Delta t}}{\lambda_{12}^{\mathrm{clk}}\Delta t}\Bigr). \]

Для дробных часов экспонента заменяется функцией Миттаг-Леффлера [16]. $A_{12}(\Delta t)\to 1$ при $\Delta t\to\infty$, поэтому clock-only имеет $\rho_\infty=\rho_u$. Та же оболочка, что у Tóth and Kertész [28], но $\lambda_{12}^{\mathrm{clk}}$ — эффективная скорость перекрытия часов. Приложение A: независимые Poisson refresh $\lambda_1^{\mathrm{clk}},\lambda_2^{\mathrm{clk}}$, pooled $\lambda_{12}^{\mathrm{clk}}=\lambda_1^{\mathrm{clk}}+\lambda_2^{\mathrm{clk}}$; время до refresh любой книги — минимум двух экспонент.

4.2. Только связка

Общие часы и нормированная проекция фронта (приложение B):

\[ dP^{(1)}(t)=\sigma_1\,dB_1(t)-\kappa_{12}z_{12}(t)\,dt, \qquad dP^{(2)}(t)=\sigma_2\,dB_2(t)+\kappa_{21}z_{12}(t)\,dt, \]

$z_{12}=P^{(1)}-P^{(2)}$, $\kappa_{12},\kappa_{21}\gt 0$. Спред релаксирует со скоростью $\kappa=\kappa_{12}+\kappa_{21}$. Интеграл кросс-ковариационного ядра:

\[ \rho_{\Delta t}^{\mathrm{coup}}\simeq\rho_\infty\Bigl(1-\frac{1-e^{-\kappa\Delta t}}{\kappa\Delta t}\Bigr). \]

Снова оболочка Tóth–Kertész, но скорость — релаксация спреда реакционного фронта $\kappa$.

4.3. Комбинация

Ведущая сепарабельность (приложение C):

\[ \rho_{\Delta t}^{\mathrm{comb}}\simeq\rho_\infty A_{12}(\Delta t)\Bigl(1-\frac{1-e^{-\kappa\Delta t}}{\kappa\Delta t}\Bigr). \]

Корреляция набирается, когда книги семплируют перекрывающееся операционное время и отклик границы успел передать общее движение.

Рисунок G.1

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

Рисунок G.1 (приложение). Разделение часов и отклика связки. Чёрное — фактор перекрытия часов, синее — отклик связки, красное — сепарабельное произведение. Иллюстративные скорости $\lambda_{12}^{\mathrm{clk}}=0{,}1\,\mathrm{s}^{-1}$, $\kappa=0{,}025\,\mathrm{s}^{-1}$, $\rho_\infty=1$. Не фит численных симуляций [5].

5. Обсуждение

Три зрелых, но разрозненных куска литературы: реакция–диффузия стаканов, reduced-form эффект Эппса, дискретно-событийные модели торговли. Реакция–диффузия ловит replenishment и импакт одного актива, но обычно не связывает активы и не говорит о кросс-корреляциях [12, 29, 6]. Модели Эппса объясняют scale-dependent корреляцию асинхронным семплированием, lead–lag или bias оценки — на уровне наблюдаемых цен, не потока заявок [14, 19, 17, 20]. Здесь корреляция встроена в связанную реакция–диффузию нескольких книг.

Корреляция из явной связки потока, не из коррелированного шума цен и не из латентной многомерной диффузии. LOB-Хоукс типов сделок не задаёт скалярную корреляцию лог-доходностей напрямую: события надо отобразить в цену. Кросс всё же структурный в латентной событийной модели (пример: четырёхмерный Хоукс Chang et al. [8], кросс-ядро $\phi^{(c)}(t)=\alpha^{(c)}e^{-\beta t}1_{\{t\gt 0\}}$ — созависимость не emergent и не феноменологическая). Здесь механизм в $\gamma_{jk}$, эффект цены через поля плотности и фронты — из феноменологии торговли, не из заранее заданных связей типов событий.

Поэтому оценка Хоукса условна на реализации рынка: matching engine и правила обработки заявок искажают параметры [18]. Структурный вывод на открытом рефлексивном рынке условен на любой латентной модели [26]. Оценённая сеть возбуждения — не автоматически восстановленная механика площадки.

Реакционная граница несёт корреляцию. Лог-mid — движущаяся граница аннигиляции buy/sell плотностей. Связка возмущает плотность у границы: передача корреляции фильтруется конечным временем релаксации фронта. Микроструктурное объяснение Эппса, которого нет в reduced-form, где затухание списывают только на семплирование или lead–lag [28, 7]. Даже идеально синхронное наблюдение не убивает короткое затухание, если отклик связки медленный.

Tóth and Kertész [28] получают ту же экспоненциальную оболочку агрегацией экспоненциально затухающих лаговых корреляций и связывают масштаб с временем реакции участников. Здесь $\lambda_{12}^{\mathrm{clk}}$ — скорость событийных часов, $\kappa$ — скорость релаксации спреда фронта из связанной динамики книг. Часы и связка разделены; есть дробный и qualified combined случаи.

Оговорка: один фронт трактует ноль как лог-mid. Конечная ширина coarse-grain’ит дискретные уровни и часть неразрешённой внутристаканной структуры спреда, но не разрешает лучший bid/ask. Для этого нужны два движущихся фронта и ненулевые токи buy/sell.

$\alpha_u$ принадлежит закону плотности в операционном времени, $\alpha_t$ — часам наблюдения. $\alpha_u=\alpha_t$ только если два описания времён ожидания сознательно отождествлены [22, 27, 1]. Похожие оболочки Эппса могут иметь разные источники. Раньше отделяли асинхронность от lead–lag [20]; здесь старт — взаимодействующие стаканы, параметры часов и связки различны.

Конечно-сеточные связки численных симуляций отделены от регуляризованной аналитической. Численная модель следует практике agent-based [11] и симуляций стакана [10]: кусочные правила размещения. Для аналитики — локальная регуляризация, сохраняющая направленный механизм и гладкий side-response для линеаризации вокруг симметричного состояния. Регуляризация не «уже есть» в пределе дискрет → континуум; это аппроксимирующая конструкция для непрерывности. Так численное и аналитическое сравнивают, не смешивая артефакты дискретизации с континуальным поведением. Дополняет тезис, что Эппс отражает дискретно-событийную природу рынков [8]: как эта дискретность проявляется после диффузионного предела и какие дополнительные допущения нужны.

6. Заключение

Аналитическое объяснение возникновения корреляции и эффекта Эппса из конструкции discrete-to-continuum связанных стаканов и регуляризованной pair-trader связки. Разделение динамики реакционной границы в операционном времени и асинхронных часов наблюдения отличает затухание из-за неполного перекрытия часов от затухания из-за конечного отклика связки. Аналитический counterpart численных симуляций [5, 10].

Благодарности. Разговоры с Дериком Дианой, Байроном Джейкобсом и Домиником Бауэром.

Генеративный ИИ. ChatGPT 5.6 Sol для вычитки, структурной проверки и нотации; авторы несут ответственность за содержание.

Литература

Оригинал статьи: Angstmann and Gebbie, «Correlation emergence and the Epps effect in two coupled limit order books», arXiv:2606.14182 · лицензия CC BY-NC-SA 4.0 · численный предшественник: arXiv:2408.03181