Equilibrium Reward for Liquidity Providers in Automated Market Makers

6/10

Аннотация

Мы находим равновесный контракт, который автоматический маркетмейкер (AMM) предлагает стратегическим поставщикам ликвидности (LP), чтобы максимизировать поток заявок, обрабатываемый площадкой. Модель — стохастическая игра лидер–последователь: площадка — лидер, репрезентативный LP — последователь. Получены приближённые замкнутые равновесные решения и разобрана структура вознаграждения. При равновесном контракте LP добавляет ликвидность в пул только если большая глубина в среднем привлекает больше шумовой торговли. Контракт зависит от внешней цены, референсной цены пула и резервов. Каркас даёт ориентиры по дизайну AMM: максимизировать оборот, не разоряя LP.

Ключевые слова: automated market makers; design; fees; leader-follower games; Stackelberg equilibrium; optimal contract; noise trading; arbitrageurs; principal agent.

1. Введение

Автоматические маркетмейкеры — одна из недавних финансовых технологий: площадка с заранее заданными правилами торговли, где встречаются liquidity takers (LT) и liquidity providers (LP). Популярность пришла после Uniswap V2 в мае 2020; к 2025 объявлена уже четвёртая версия протокола, см. Adams et al. (2021, 2023).

Литература по AMM молода, но уже плотная. Механика: Chiu and Koeppl (2019); Angeris and Chitra (2020); Angeris et al. (2021); Capponi and Jia (2021); Lipton and Treccani (2021). Арбитраж между AMM и централизованными площадками — Cartea et al. (2023a,b); ценообразование в AMM — Capponi et al. (2024). Без комиссий агент, предоставляющий ликвидность в стандартном constant-function рынке (CFM) — где цена определяется только резервами — получает вогнутый payoff, хуже чем просто держать монеты вне пула: это непостоянные потери (impermanent loss, IL). Эмпирика Loesch et al. (2021) показывает, что даже с комиссиями LP в среднем убыточны. Хеджирование IL — Fukasawa et al. (2023); loss-versus-rebalancing — Milionis et al. (2022, 2023). Cartea et al. (2024a) вводят более общее понятие предсказуемых потерь и выводят оптимальные стратегии предоставления ликвидности. Смежные переводы на этом сайте: ценообразование и хеджирование LP в CFMM, оптимальные динамические комиссии, теоретический каркас комиссий.

Другая линия — сам дизайн AMM. Bergault et al. (2024a) предлагают механизм, где ценовая функция использует внешний курс: котировки обновляются не только после сделки, но и после сигнала оракула. Cartea et al. (2024b) вводят decentralized liquidity pools (DLP): оптимальная политика по выбранному критерию порождает новый дизайн; в зависимости от модели DLP может следить за внешней ценой или фильтровать поток в поиске фундаментальной стоимости. Adams et al. (2024) — auction-managed AMM: меньше потерь на информированном потоке, больше выручки с неинформированного. За исключением Adams et al. (2024), эти дизайны не ставят целью максимизировать торговую активность площадки.

В этой работе мы ищем оптимальный контракт, который CFM должен предложить стратегическим LP, чтобы привлечь максимальный поток заявок. Дизайн формулируется как решение стохастической игры лидер–последователь: площадка — лидер, репрезентативный LP — последователь (агрегат LP, как у Fukasawa et al., 2025). Ближайший аналог в централизованном стакане — El Euch et al. (2021) об оптимальных make-take комиссиях; см. также Baldacci et al. (2021) для многоагентной версии и Baldacci and Bergault (2024). Здесь контракт проектирует сам CFM. Получены приближённые замкнутые решения и структура вознаграждения, которая в равновесии тянет наибольший возможный поток на площадку.

Насколько нам известно, это первая статья, где дизайн AMM ставится как стохастическая игра лидер–последователь. LP максимизирует экспоненциальную полезность богатства, площадка — торговую активность. Как обычно в таких играх: при данной структуре вознаграждения считаем оптимальную стратегию LP (последователь), затем — оптимальную структуру вознаграждения площадки (лидер). Новый дизайн — «контракт», кодирующий вторую оптимизацию.

Если большая ликвидность в пуле не привлекает шумовую торговлю, LP не имеет стимула её добавлять. Если привлекает — оптимальный контракт стимулирует добавлять ликвидность, чтобы пользоваться шумовым потоком. Транзакционные издержки на внешнем рынке масштабируют объём, который репрезентативный LP кладёт в пул. В равновесии контракт зависит от внешней цены, референсной цены пула и резервов.

Дальше: раздел 2 — вероятностный каркас; 2.3 — задача LP, 2.4 — задача площадки. Решения — разделы 3 и 4. Раздел 5 — численные результаты. Доказательства — в приложении оригинала.

2. Модель

2.1. Вероятностный каркас

Пусть $T \gt 0$ — торговый горизонт (например, один день), $\Omega_c$ — множество непрерывных функций из $\mathcal{T}=[0,T]$ в $\mathbb{R}$, $\Omega_d$ — кусочно-постоянные каdlаг-функции из $\mathcal{T}$ в $\mathbb{N}$, и $\Omega=(\Omega_c)^2\times(\Omega_d)^2$ с борелевской $\sigma$-алгеброй $\mathcal{F}$. Наблюдаемое состояние — канонический процесс $(\chi_t)_{t\in\mathcal{T}}=(W_t,B_t,\hat N_t^+,\hat N_t^-)_{t\in\mathcal{T}}$ на $(\Omega,\mathcal{F})$.

Мера $\mathbb{P}$ такова, что $W$ и $B$ — броуновские движения, $\hat N^-$, $\hat N^+$ — пуассоновские процессы с интенсивностью $a_0\gt 0$; все четыре независимы (независимость $W$ и $B$ можно ослабить).

Торгуется пара активов $X$ и $Y$ (например, USDC и ETH) в constant-function рынке. Параллельно есть внешний стакан, где торгуются те же активы. $S=(S_t)_{t\in\mathcal{T}}$ — внешняя mid-цена $Y$ в единицах $X$. В CFM $X_t$ и $Y_t$ — количества активов в пуле. Торговая функция $f(x,y)=xy$ — constant product market (CPM). Уровневая функция $\varphi^c_t(y)$ удовлетворяет $\varphi^c_t(Y_t)=X_t$ при $c_t=f(X_{t-},Y_{t-})=X_{t-}Y_{t-}$:

Внешняя mid-цена:

где $\sigma\gt 0$ — волатильность. Это цена площадки, где формируется цена (Binance, Kraken).

В CFM liquidity takers приходят по считающим процессам $N^-$ (LT покупает) и $N^+$ (LT продаёт) — число сделок размера $\xi\gt 0$. $Z=(Z_t)$ — мгновенная цена $Y$ в единицах $X$ в пуле. Следуя характеризации CFM у Cartea et al. (2024b), динамика резервов и мгновенного курса при стохастической глубине пула $c_t$ (из-за активности LP):

с $\eta\gt 0$ — волатильность предоставления ликвидности, $N_0^+=N_0^-=0$, $X_0\in\mathbb{R}_+$, $Y_0\in(\xi,\infty)$, $Z_0=X_0/Y_0$. Индикатор $\mathbf{1}_{\{Y_{t-}\gt\xi\}}$ гарантирует сильное решение; на практике он почти всегда единица. Покупка LT уменьшает $Y$ на $\xi$, $X$ поднимается до $\varphi^{c_t}(Y_{t-}-\xi)$, мгновенный курс переходит на $(\varphi^{c_t})'(Y_{t-}-\xi)$.

Пространство $(\Omega,\mathcal{F})$ наделяется $\mathbb{P}$-пополненной канонической фильтрацией $\mathbb{F}=(\mathcal{F}_t)$, порождённой $(\chi_t)$.

2.2. Слабая формулировка

Пусть $(L_t)$ — экспонента Долеан–Дад:

где

и

Линейная модель интенсивностей (в духе Stoikov and Sağlam, 2009) ловит три стилизованных факта: (i) $a_1$ — базовая интенсивность мотивированных сделок; (ii) $a_2$ — связь прибытий с глубиной (при прочих равных большая глубина — меньше проскальзывание, торговать в таком пуле выгоднее; на коротком горизонте $a_2 Y_t$ — разумный прокси глубины); (iii) $a_3$ — арбитражёры, выравнивающие котировки внешнего стакана и CFM. Эффект $S-Z$ асимметричен: при $S\gt Z$ пул недооценён, ожидаем большую интенсивность покупок и меньшую продаж. Минимум $a_0\gt 0$ — техническое условие, чтобы интенсивность не обнулялась; на практике обе интенсивности держатся вдали от нуля. В п. 4.3 это проверяется на рыночных данных.

Пусть $\nu_\infty\gt 0$ — ограничение на скорость, с которой репрезентативный LP добавляет или снимает ликвидность. Множество допустимых стратегий:

Для каждого $\nu\in\mathcal{A}$ производная Радона–Никодима $(K_t^\nu)$:

При $\nu\in\mathcal{A}$ процесс — мартингал (Новиков: $\nu$ ограничена). Мера $\mathbb{P}^\nu$ задаётся $d\mathbb{P}^\nu/d\mathbb{P}:=K_T^\nu L_T$. Все $\mathbb{P}^\nu$ эквивалентны, поэтому «п.н.» однозначно.

Итого, под $\mathbb{P}^\nu$ процессы $\hat N^+$ и $\hat N^-$ имеют интенсивности $(\lambda_t^+)$ и $(\lambda_t^-)$,

— стандартное броуновское движение, $W$ — стандартное броуновское с $\langle W,B^\nu\rangle=0$. Динамика:

В $dX_t$ и $dY_t$ первое слагаемое — репрезентативный LP, второе — остальные LP, третье — LT.

2.3. Задача последователя: репрезентативный LP

Репрезентативный LP финансирует долю в пуле торговлей на внешнем рынке. Чтобы добавить (снять) $\nu_t\,dt$ единиц $Y$ в пул, он покупает (продаёт) $\nu_t\,dt$ единиц внешне по цене $(S_t+a\nu_t)\nu_t\,dt$, где $a$ — временный ценовой импакт внешнего стакана. Критерий на $0\le s\le t\le T$:

Первые два члена — mark-to-market доли в пуле, $Y_t$ оценивается по внешней цене $S_t$. Интеграл $-\int Z\nu$ — финансирование единиц $X$. Последний интеграл — финансирование $Y$: квадратичный член $a\nu_t^2$ — издержки хождения по стакану и спред. Можно добавить running-штраф $-\int p(u,Z_u,Y_u,S_u)\,du$; для простоты формул его нет.

Эквивалентно:

где

Задача управления LP:

где $R\in L^2(\Omega,\mathcal{F}_T,\mathbb{P}^\nu)$ — вознаграждение, которое площадка платит репрезентативному LP, $\gamma\gt 0$ — его риск-аверсия.

Условие 1. Существует $\gamma'\gt\gamma$ такое, что $\sup_{\nu\in\mathcal{A}}\mathbb{E}^\nu[\exp\{-\gamma' R\}]\lt+\infty$.

В разделе 3 для каждого $R$ доказывается единственный оптимальный отклик $\nu^*(R)$.

2.4. Задача лидера: площадка

Площадка даёт контракт $R$ репрезентативному LP и хочет максимальный поток заявок $N_T^-+N_T^+$. Критерий:

где $\zeta\gt 0$ — риск-аверсия площадки, $r\gt 0$ — постоянная комиссия, которую LT платит площадке.

Условие 2. Существует $\zeta'\gt\zeta$ такое, что $\sup_{\nu\in\mathcal{A}}\mathbb{E}^\nu[\exp\{\zeta' R\}]\lt+\infty$.

Множество допустимых контрактов:

где $\underline{R}\lt 0$ — резервационный уровень LP: наименьшая приемлемая полезность; контракт отклоняется, если он её не достигает (замечание 1).

Раздел 3 — оптимальный отклик последователя $\nu^*(R)$, раздел 4 — оптимальный контракт $R^*$.

3. Решение задачи LP

Для $(\nu,A)\in[-\nu_\infty,\nu_\infty]\times\mathbb{R}^4$, $A=(A^W,A^B,A^+,A^-)$,

Максимум по $\nu$ достигается в

и $H(A)=\sup_{|\nu|\le\nu_\infty}h(\nu,A)=h(\bar\nu(A),A)$.

Для константы $P_0\in\mathbb{R}$ и предсказуемого $(A_t)=(A_t^W,A_t^B,A_t^+,A_t^-)$ с

и интегрируемостью дрифта (квадратичные штрафы по $A^W$, $A^B$, скачки и гамильтониан $H$), вводится процесс

$\Lambda$ — множество процессов $(A_t)$, для которых условия 1–2 выполнены с вознаграждением $R=P_T^{P_0,A}$ и $\sup_\nu\sup_t\mathbb{E}^\nu[\exp\{-\gamma' P_t^{P_0,A}\}]\lt\infty$ при некотором $\gamma'\gt\gamma$. Множество

Ясно, что $\mathcal{P}\subset\mathcal{A}_R$. Следующие две теоремы доказаны в приложении A оригинала.

Теорема 1. Для любого $R\in\mathcal{A}_R$ существует единственная пара $(P_0,A)\in\mathbb{R}\times\Lambda$ такая, что $R=P_T^{P_0,A}$. В частности, $\mathcal{A}_R=\mathcal{P}$.

Теорема 2. Для любой структуры вознаграждения $R=P_T^{P_0,A}$ из теоремы 1 функция ценности LP

с оптимальной скоростью предоставления ликвидности

Замечание 1. $P_0$ — certainty equivalent LP при контракте $P_T^{P_0,A}$ и оптимальной торговле; любой допустимый контракт должен удовлетворять $-\exp(-\gamma P_0)\ge\underline{R}$. У El Euch et al. (2021) резервационный уровень берут как полезность агента без контракта: там оптимальный агент прибылен и без контракта. Здесь иначе: без комиссий LP в CPM получает вогнутый отрицательный payoff. Чтобы привлечь LP, площадка должна перераспределить часть комиссий. Поскольку LP может просто не участвовать, $P_0$ должен быть неотрицательным, разумно рассматривать $-1\le\underline{R}\lt 0$. Конкуренция площадок за LP будет поднимать этот уровень. В численных примерах $\underline{R}$ выбирается так, чтобы LP и площадка делили прибыль от комиссий.

4. Решение задачи площадки

Сначала риск-нейтральный случай (п. 4.1), затем экспоненциальная полезность (п. 4.2).

4.1. Риск-нейтральная площадка

При $\zeta\downarrow 0$ задача площадки сводится к

По теореме 2 это эквивалентно супремуму по $P_0\ge\hat P_0$ и $A\in\Lambda$, где $\hat P_0=-\gamma^{-1}\log(-\underline{R})$. Для любого $A$ супремум по $P_0$ достигается в $P_0=\hat P_0$. Остаётся оптимизировать по $A$ ожидаемый интеграл с гамильтонианом $H$, компенсацией риска LP и комиссиями $r-A^i$ на скачках.

Функция ценности $v(t,z,y,s)$ удовлетворяет HJB (4.1) оригинала. Супремум по $A$ достигается в

где

При такой структуре вознаграждения площадка компенсирует LP риск внешнего движения цены и liquidity-taking. PDE после подстановки трудна; приближения — в п. 4.3.

Предложение 1. Если существует $v\in C^{1,2}([0,T]\times\mathbb{R}^3)$ квадратичного роста по $(Z,Y,S)$ (равномерно по $t$), удовлетворяющая HJB (4.1) с $v(T,\cdot,\cdot,\cdot)=0$, то $v(t,Z_t,Y_t,S_t)$ есть ценность площадки, а оптимум по $A$ — формулы выше.

4.2. Риск-аверсная площадка

При $\zeta\gt 0$ HJB принимает вид (4.6) оригинала. Определим

Оптимальные каналы вознаграждения:

Предложение 2. Если существует $v\in C^{1,2}([0,T]\times\mathbb{R}^3)$ квадратичного роста, удовлетворяющая HJB (4.6) с $v(T,\cdot,\cdot,\cdot)=0$, то она есть ценность площадки при указанных оптимумах по $A$.

4.3. Приближённые замкнутые решения

HJB трудно решить в явном виде. Ниже — аппроксимации, которые делают уравнения трактуемыми.

4.3.1. Риск-нейтральная площадка

Снимаем ограничение на управление: $\nu_\infty\uparrow\infty$, так что $(A_t^B)^*=\alpha(t,Z_t,Y_t,S_t)$. Рассматриваем только $Y\gt\xi$. После подстановки и отбрасывания индикатора $\mathbf{1}_{Y_t\gt\xi}$ в стохастических интенсивностях:

Четыре режима: обе интенсивности выше $a_0$; только одна; обе равны $a_0$. Дальше предполагаем, что параметры всегда в режиме (i) — обе интенсивности строго выше $a_0$. Это проверяется данными.

Данные Uniswap V2 и Binance, пара ETH-USDC, 1 января — 30 апреля 2022. Следим за mid Binance $S_t$, мгновенным курсом пула $Z_t$ и liquidity-taking в пуле. Корзины по 10 минут: агрегат покупок и продаж как грубая оценка $\lambda_t^\pm$. Линейная регрессия $\lambda_t^\pm$ на средние разницы $\pm(S_t-Z_t)$; пока $a_2=0$. Оценки $\hat a_1$, $\hat a_3$ значимы ($p\ll 0.01$). Границы $\pm d$ из $0=\hat a_1+\hat a_3 d$: если $S_t-Z_t\lt d$ или $S_t-Z_t\gt -d$, то $\lambda_t^-=0$ или $\lambda_t^+=0$. Рис. 1 — границы $\pm d$ (красные пунктирные вертикали) и рыночные $S_t-Z_t$.

Из 17 131 точек границы пробиты 30 раз слева и 34 справа: 0,37% выборки нарушают $\hat a_1\pm\hat a_3(S_t-Z_t)\gt 0$.

Дальше — разложения Лорана по $\xi/Y$:

Поскольку $Z^\pm=Z Y^2/(Y+\delta^\pm\xi)^2$, скачки $h$ по $Z$ аппроксимируются через $\partial_Z h$. Ansatz

с $h_i(t,Y)=h_{i0}(t)+h_{i1}(t)Y$ для $i=0,1,2$, даёт

Подставляя в $(A^B)^*$:

Замечание 2. Для риск-нейтральной площадки при малом шуме предоставления ликвидности ($\eta\downarrow 0$)

Предоставление ликвидности обратно пропорционально транзакционным издержкам внешнего рынка $a$ и прямо пропорционально (i) комиссии площадки $r$ и (ii) чувствительности потока к глубине пула $a_2$. Если $a_2=0$, LP в равновесии не добавляет и не снимает ликвидность.

4.3.2. Риск-аверсная площадка

Снова $\nu_\infty\uparrow\infty$, так что $\nu^*(A_t)=A_t^B/(2a\eta)$. Аппроксимация $e^{-x}\approx 1-x$, режим $Y_{t-}\gt\xi$. Те же разложения Лорана и ansatz

с терминальными условиями $g_{ij}(T)=0$. Получается система: уравнение Риккати для $G_2$, линейное уравнение для $G_1$ и скалярное для $g_{11}$. Матрицы $U,V,R$ системы выписаны в оригинале (с. 15). Существование решения Риккати на $(-\infty,T]$ следует из теоремы 3.6.6 Abou-Kandil et al. (2012): матрица $\Theta+\Theta^\top$ отрицательно полуопределена (все главные миноры неположительны).

5. Численные результаты

Горизонт $[0,T]$ дискретизируется 10 000 шагами, $T=1$ (один день). Калибровка — Binance и Uniswap V2, ETH-USDC, 1 января — 30 апреля 2022. Начальный курс $S_0=Z_0=2820$, дневная волатильность Binance $\sigma=0{,}0569\times S_0$. Средний объём в десятиминутном окне $\xi=300$, комиссия площадки за транзакцию $r=0{,}01\times\xi\times Z_0$. Каждый скачок $N^\pm$ — агрегат торговли за 10 минут. Начальная позиция $Y_0=50\,000$ ETH (порядок ETH-USDC пула Uniswap на 20 февраля 2025), глубина $c_0=Y_0\times(Y_0\times Z_0)$. Волатильность броуновского движения предоставления ликвидности $\eta=10^{-10}$ ETH.

Интенсивности $\lambda_t^\pm$ оцениваются по предыдущим десяти минутам, затем линейная регрессия калибрует $a_1$, $a_3$ в (2.1); пока $a_2=0$. Получено $a_1=142{,}7$, $a_3=13{,}6$ (масштабированы так, чтобы скачок соответствовал активности за 10 минут, в линии с $\xi$). Ниже — риск-аверсный случай: $\gamma=10^{-18}$ у LP, $\zeta=10^{-6}$ у площадки. Временный импакт на Binance $a=10^{-14}$ (пренебрежимые издержки хождения по книге). При росте $a$ стратегия схлопывается к нулю, LP не добавляет ликвидность.

Рис. 2 — нарушения аппроксимационного предположения $\lambda^-,\lambda^+\gt 0$ внутри симуляции: нарушений нет.

Арбитражёры держат цену пула у внешней. При $a_2=0$ изменения $Y$ относительно малы и в основном от liquidity-taking. Рис. 4 — скорость $\nu_t$, с которой LP добавляет или снимает ликвидность, и кумулятив $\int_0^t\nu_s\,ds$.

Рис. 5 — стресс параметров при той же случайности. Выше волатильность — выше изменчивость стратегии. Меньше временный импакт $a$ на внешней площадке — больше торговли может себе позволить LP. При $a\in\{10^{-13},10^{-12}\}$ стратегия схлопывается к нулю (рис. 6).

5.1. Распределение собранных комиссий

Стартовая точка представления контракта $P_0$ сдвигает прибыльность LP вправо (больше $P_0$ — выгоднее LP) и прибыльность площадки влево. Здесь $P_0$ выбирается так, чтобы средние богатства площадки и репрезентативного LP совпали.

Рис. 7 — 10 000 Монте-Карло равновесия: распределение финального вознаграждения $R$ и PnL площадки. Красная линия — среднее. Оба средних положительны. Чем выше риск-аверсия площадки, тем сильнее концентрация прибылей.

Оптимальный контракт выгоден и LP, и площадке: оба средних положительны.

5.2. Привлечение шумовой торговли

До сих пор интенсивность прибытий не реагировала на количество $Y$ в пуле: $a_2=0$. Тогда при реалистичных издержках внешнего рынка стратегия LP схлопывается к нулю. При $a_2\gt 0$ это уже не так. Далее $a_2=10^{-5}$ и $a=5\times 10^{-6}$. Такое $a_2$ добавляет лишь около 0,5 ETH / 10 минут интенсивности при $\sim 50\,000$ ETH в пуле.

При этих параметрах репрезентативный LP добавляет примерно 8 000 ETH и платит 500 USDT комиссий; спред ETH-USDT на Binance типично 0,01, так что порядок издержек верный. Невооружённым глазом изменчивости скорости торговли нет. Полосы по количеству ETH в пуле — от активности LT. Рис. 9 — влияние $r$ и $a$ на оптимальную стратегию.

При прочих равных выше комиссия с LT — больше собирает площадка — лучше контракт для LP — больше ликвидности в пул. Издержки внешнего рынка работают как в предыдущем разделе: выше $a$ — меньше активность в пуле.

Рис. 10 повторяет анализ рис. 7 при новых параметрах. Оба игрока по-прежнему в плюсе. При $a_2\gt 0$ и покупки, и продажи растут с ликвидностью пула, и этот дополнительный поток ненаправленный (шум). LP этим пользуется: добавляет ликвидность, тянет больше таких сделок, площадка может предложить большее вознаграждение. Параметр транзакционных издержек внешнего рынка здесь существенно выше, чем на рис. 7.

6. Заключение

Мы охарактеризовали равновесие Штакельберга площадки и репрезентативного LP. Торговля идёт в AMM: LP максимизирует прибыльность, площадка — комиссии и поток заявок. Если большая ликвидность не привлекает шумовую торговлю, даже при оптимальном контракте LP не имеет стимула добавлять ликвидность. Если привлекает — LP добавляет столько, сколько позволяют транзакционные издержки внешнего рынка. По данным 1 января — 30 апреля 2022 корреляция дневной средней глубины $Y$ пула ETH-USDC с дневным потоком заявок равна +11%; наклон линейной регрессии положителен, но гипотезу нулевого наклона отвергнуть нельзя ($p=0{,}232$). Работа даёт ориентиры по оптимальному дизайну таких площадок и проверяемые условия их нормальной работы.

Благодарности. Oxford-Man Institute of Quantitative Finance и Fintech Chair at Université Paris-Dauphine. Данные предоставил Fayçal Drissi. Для открытого доступа авторы применили публичную лицензию CC BY к любой author accepted manuscript, возникающей из этой подачи.

Литература

1. Abou-Kandil, H., Freiling, G., Ionescu, V. and Jank, G. (2012). Matrix Riccati equations in control and systems theory. Birkhäuser.
2. Adams, A., Moallemi, C. C., Reynolds, S. and Robinson, D. (2024). am-amm: An auction-managed automated market maker. arXiv:2403.03367.
3. Adams, H. et al. (2023). Uniswap v4 core [draft].
4. Adams, H., Zinsmeister, N., Salem, M., Keefer, R. and Robinson, D. (2021). Uniswap v3 core. Uniswap Labs.
5. Angeris, G. and Chitra, T. (2020). Improved price oracles: Constant function market makers. In AFT '20, pp. 80–91.
6. Angeris, G., Kao, H.-T., Chiang, R., Noyes, C. and Chitra, T. (2021). An analysis of Uniswap markets.
7. Baldacci, B. and Bergault, P. (2024). Optimal incentives in a limit order book: a SPDE control approach. Market Microstructure and Liquidity, 2050012.
8. Baldacci, B., Possamaï, D. and Rosenbaum, M. (2021). Optimal make-take fees in a multi market-maker environment. SIAM J. Financial Math. 12(1):446–486.
9. Bergault, P., Bertucci, L., Bouba, D. and Guéant, O. (2024a). Automated market makers: Mean-variance analysis of LPs payoffs and design of pricing functions. Digital Finance 6(2):225–247.
10. Bergault, P., Bertucci, L., Bouba, D., Guéant, O. and Guilbert, J. (2024b). Automated market making: the case of pegged assets. arXiv:2411.08145.
11. Bergault, P., Bertucci, L., Bouba, D., Guéant, O. and Guilbert, J. (2024c). Price-aware automated market makers. arXiv:2405.03496.
12. Capponi, A. and Jia, R. (2021). The adoption of blockchain-based decentralized exchanges. arXiv:2103.08842.
13. Capponi, A., Jia, R. and Yu, S. (2024). Price discovery on decentralized exchanges. SSRN 4236993.
14. Cartea, Á., Drissi, F. and Monga, M. (2023a). Decentralised finance and automated market making: Execution and speculation. arXiv:2307.03499.
15. Cartea, Á., Drissi, F. and Monga, M. (2023b). Execution and statistical arbitrage with signals in multiple AMMs. In ICDCSW 2023, pp. 37–42.
16. Cartea, Á., Drissi, F. and Monga, M. (2024a). Decentralized finance and automated market making: Predictable loss and optimal liquidity provision. SIAM J. Financial Math. 15(3):931–959.
17. Cartea, Á., Drissi, F., Sánchez-Betancourt, L., Siska, D. and Szpruch, L. (2023c). Automated market makers designs beyond constant functions. SSRN 4459177.
18. Cartea, Á., Drissi, F., Sánchez-Betancourt, L., Siska, D. and Szpruch, L. (2024b). Strategic bonding curves in automated market makers. SSRN 5018420.
19. Chiu, J. and Koeppl, T. V. (2019). Blockchain-based settlement for asset trading. Review of Financial Studies 32(5):1716–1753.
20. El Euch, O., Mastrolia, T., Rosenbaum, M. and Touzi, N. (2021). Optimal make–take fees for market making regulation. Mathematical Finance 31(1):109–148.
21. Fukasawa, M., Maire, B. and Wunsch, M. (2023). Model-free hedging of impermanent loss in geometric mean market makers. arXiv:2303.11118.
22. Fukasawa, M., Maire, B. and Wunsch, M. (2025). Liquidity provision of utility indifference type in decentralized exchanges. arXiv preprint.
23. Lipton, A. and Treccani, A. (2021). Blockchain and distributed ledgers: Mathematics, technology, and economics. World Scientific.
24. Loesch, S., Hindman, N., Richardson, M. B. and Welch, N. (2021). Impermanent loss in Uniswap v3. arXiv:2111.09192.
25. Milionis, J., Moallemi, C. C. and Roughgarden, T. (2023). Automated market making and arbitrage profits in the presence of fees. arXiv:2305.14604.
26. Milionis, J., Moallemi, C. C., Roughgarden, T. and Zhang, A. L. (2022). Automated market making and loss-versus-rebalancing. arXiv:2208.06046.
27. Neveu, J. (1972). Martingales à temps discret. Masson.
28. Pham, H. (2009). Continuous-time Stochastic Control and Optimization with Financial Applications. Springer.
29. Stoikov, S. and Sağlam, M. (2009). Option market making under inventory risk. Review of Derivatives Research 12:55–79.

Перевод основного текста с сохранением структуры, формул и данных оригинала. Доказательства приложения — в PDF. Оригинал: arXiv:2503.22502 · Aqsha, Bergault, Sánchez-Betancourt · CC BY 4.0.