An arbitrage driven price dynamics of Automated Market Makers in the presence of fees

4.5/10

Аннотация

Мы предлагаем модель динамики цены в постановке автоматических маркетмейкеров (AMM). Референсная рыночная цена следует геометрическому броуновскому движению. Цена AMM стеснена верхними и нижними границами — постоянными кратными референсной цены. Через локальные времена и теорию экскурсий получены аналитические результаты: представление со сменой времени и предельное поведение.

1. Введение

Автоматические маркетмейкеры [2, 3] — алгоритмы на блокчейне, автоматизирующие ценообразование и матчинг на децентрализованных биржах. Смарт-контракты позволяют покупать и продавать криптоактивы peer-to-peer без посредников и кастодианов.

Главное отличие от централизованного стакана: в LOB цена складывается из намерений покупателей и продавцов, в AMM — из доступной ликвидности пула. Пул — средства, заблокированные поставщиками ликвидности (LP) в смарт-контракте. Порог входа низкий: самокастодиальный кошелёк и совместимые токены.

Критическая издержка LP — adverse selection: арбитражёры зарабатывают на отставании цен AMM от рыночных цен централизованных площадок. Работы [5, 4] измеряют потери LP через loss-versus-rebalancing (LVR). Смежные переводы: теоретический каркас комиссий, равновесное вознаграждение LP, динамические комиссии в CFMM.

Модель строится на трёх предположениях:

1. Существует референсный рынок с бесконечной ликвидностью и нулевыми издержками; цена $p=(p_t)_{t\ge 0}$ — геометрическое броуновское движение.
2. AMM берёт фиксированный тир комиссии $(1-\gamma)\%$, пропорциональный объёму. Тир может быть от 1 до 100 базисных пунктов; Uniswap v3 предлагает 1, 5, 30 и 100 б.п. Мы берём наихудший случай: все сделки в пуле мотивированы арбитражем.
3. Арбитражёры непрерывно мониторят рынок и торгуют, как только видят возможность.

Предположения соединяют [5] (непрерывный арбитраж без комиссий) и [4] (дискретный арбитраж с комиссиями): здесь непрерывный арбитраж при наличии комиссий.

Из (a)–(c) следуют соотношения между рыночной ценой $p$ и ценой AMM $\tilde p$:

• При (a) и (b) арбитраж есть, когда $p_t \lt \gamma\tilde p_t$ или $p_t \gt \gamma^{-1}\tilde p_t$ (см. [1, §2.4]).
• Из (b) цена AMM стабильна в интервале $\gamma p_t\le \tilde p_t\le \gamma^{-1}p_t$ — безарбитражный интервал.
• Из (c) арбитраж срабатывает только при $p_t=\gamma\tilde p_t$ или $p_t=\gamma^{-1}\tilde p_t$; следовательно, $\tilde p$ меняется только в эти моменты.

Работа вдохновлена неопубликованной статьёй Tassy and White [7] про constant product. Наша модель применима ко всем AMM. Главный вклад — вероятностное описание процесса цены AMM через локальное время броуновского движения. Логарифм $\tilde p$ — склейка running infimum и supremum рыночной цены со сдвигами. Классические результаты по уравнению Скорохода для отражённого броуновского движения, выраженные через локальные времена, дают корректность процесса, представление со сменой времени и асимптотику. Насколько нам известно, это первое исследование такого стохастического процесса в контексте AMM.

Дальше — точная конструкция процесса, затем два подхода к его анализу.

2. Процесс цены AMM

Рыночная цена $p=(p_t)_{t\ge 0}$ (нормирована так, что в нуле равна 1, с подходящей единицей времени) — геометрическое броуновское движение $p=\exp B$ для стандартного броуновского $B=(B_t)_{t\ge 0}$. Цена AMM стеснена

где $\gamma\in(0,1)$ связано с комиссиями AMM. Эквивалентно

где $U_t=\log\tilde p_t$, $B_t=\log p_t$, $c:=\log(\gamma^{-1})\gt 0$; см. рис. 1.

Процесс $U=(U_t)_{t\ge 0}$ выбирается так, что $U_0=B_0=0$, и $U$ постоянен во все моменты, совместимые с (2.1). Точнее: постоянен, кроме случаев, когда его толкает вверх $(B_t-c)$ или вниз $(B_t+c)$, чтобы сохранить неравенства.

Конструкция через последовательность моментов остановки. Если $B$ достигает $c$ раньше $-c$ (событие $A$), по индукции:

• $T_0$ — infimum $t\ge 0$ таких, что $B_t=c$.
• Для всех $k\ge 0$, $T_{2k+1}$ — первое $t\ge T_{2k}$ с $B_t-\sup_{T_{2k}\le s\le t}B_s=-2c$.
• Для всех $k\ge 0$, $T_{2k+2}$ — первое $t\ge T_{2k+1}$ с $B_t-\inf_{T_{2k+1}\le s\le t}B_s=2c$.

По свойствам отражённого броуновского движения $T_{m+1}-T_m$ конечно, и каждое $T_m$ конечно п.н. Тогда:

• $U_t=0$ для $0\le t\le T_0$.
• Для $k\ge 0$ и $T_{2k}\lt t\le T_{2k+1}$, $U_t=\sup_{T_{2k}\le s\le t}B_s-c$.
• Для $k\ge 0$ и $T_{2k+1}\lt t\le T_{2k+2}$, $U_t=\inf_{T_{2k+1}\le s\le t}B_s+c$.

Неформально: $U$ толкается вверх процессом $B-c$ на $[T_{2k},T_{2k+1}]$ и вниз процессом $B+c$ на $[T_{2k+1},T_{2k+2}]$.

Если $B$ достигает $-c$ раньше $c$ (событие $A^c$):

• $T_0$ — infimum $t\ge 0$ с $B_t=-c$.
• Для $k\ge 0$, $T_{2k+1}$ — первое $t\ge T_{2k}$ с $B_t-\inf_{T_{2k}\le s\le t}B_s=2c$.
• Для $k\ge 0$, $T_{2k+2}$ — первое $t\ge T_{2k+1}$ с $B_t-\sup_{T_{2k+1}\le s\le t}B_s=-2c$.

Тогда $U_t=0$ на $[0,T_0]$; на $(T_{2k},T_{2k+1}]$ имеем $U_t=\inf_{T_{2k}\le s\le t}B_s+c$; на $(T_{2k+1},T_{2k+2}]$ — $U_t=\sup_{T_{2k+1}\le s\le t}B_s-c$.

Предложение 1. Процесс $U=(U_t)_{t\ge 0}$ — единственный непрерывный процесс конечной вариации со свойствами:

1. $U_0=0$;
2. $B_t-c\le U_t\le B_t+c$ для всех $t\ge 0$;
3. $U$ неубывает на всех интервалах, где остаётся строго меньше $B+c$;
4. $U$ невозрастает на всех интервалах, где остаётся строго больше $B-c$.

Последние два свойства влекут: $U$ постоянен на интервалах, где $B-c\lt U\lt B+c$.

Доказательство. $U$ непрерывен на $\mathbb{R}\setminus(T_m)_{m\ge 0}$. По определению разрывов в $(T_m)$ нет. На $A$:

вторые равенства — потому что supremum и infimum достигаются в моменты попадания отражённого броуновского движения. Непрерывность на $A^c$ — так же. Поскольку $U$ монотонен на каждом $[T_m,T_{m+1}]$, вариация конечна.

Свойства (a)–(d) проверяем на $A$ (другой случай аналогичен):

1. $U$ равен нулю на $[0,T_0]$;
2. для всех $k\ge 0$, $U$ неубывает на $[T_{2k},T_{2k+1}]$ и невозрастает на $[T_{2k+1},T_{2k+2}]$;
3. для всех $k\ge 0$, $U$ равен $B-c$ в момент $T_{2k}$ и $B+c$ в момент $T_{2k+1}$.

(i) по определению, (iii) из определения $(T_m)$ и равенств выше, (ii) — $U$ кусочно supremum/infimum, значит кусочно монотонен. Тогда (a) следует из (i), (b) — из (ii) и (iii).

Остаются (c) и (d); доказываем (d), (c) симметрично. Пусть $J:=\{t\ge 0:U_t\gt B_t-c\}$. Из (iii) $J\subset[0,\infty)\setminus(T_{2k})_{k\ge 0}$ — объединение $[0,T_0)$ и $(T_{2k},T_{2k+2})$. На $[0,T_0]$ процесс постоянен, на $[T_{2k+1},T_{2k+2})$ невозрастает. Достаточно подынтервалов

Для $t\in I$ имеем $U_t=\sup_{T_{2k}\le s\le t}B_s-c$ и $U_t\gt B_t-c$, значит supremum $B$ на $[T_{2k},t]$ не достигается в $t$. Следовательно, $\sup_{T_{2k}\le s\le t}B_s$ постоянен на $I$, и $U$ постоянен (тем более невозрастает) на $I$. Это (d).

Единственность. Пусть $U^1$ и $U^2$ — два различных процесса со свойствами (a)–(d), и

Предположим $S\lt\infty$ и получим противоречие. Из (a), (c), (d) оба равны нулю до первого попадания $B$ в $\{-c,c\}$, которое строго положительно, значит $S\gt 0$. На $[0,S)$ процессы совпадают, по непрерывности $U_S^1=U_S^2=:U_S$.

Пусть $U_S^1-B_S=U_S^2-B_S=U_S-B_S\ge 0$. По непрерывности $B$ и $U$ и свойству (b) на $[S,S+u]$ при малом $u\gt 0$ имеем $B_t-c\lt U_t^j\le B_t+c$. На этом интервале:

$Y_S\ge 0$, $Z_t^j\ge 0$, $A^j$ непрерывен и обнуляется в $S$. Вариация $A^j$ несётся множеством времён, где $Z^j=0$: $A^j$ меняется только когда меняется $U^j$, то есть когда $U^j$ равен $B-c$ или $B+c$, и на $[S,S+u]$ только когда $U^j=B+c$. Из $U^j\gt B-c$ и (d) процесс $U^j$ невозрастает, значит $A^j$ неубывает. По лемме Скорохода (лемма 2.1, гл. VI [6]; лемма 3.1.2, гл. 3 [8]) $A^j$ однозначно определяется $Y$ на $[S,S+u]$, откуда $A^1=A^2$ и $U^1=U^2$ на этом интервале — противоречие с определением $S$. Значит $S=\infty$. Дополнение к (2.4) аналогично. $\square$

Пусть теперь $W=(W_t)_{t\ge 0}$ — другое стандартное броуновское движение, а $F:\mathbb{R}\to[-c,c]$ — треугольная волна периода $4c$:

и периодически далее. Производная $F$ равна $1$ на $((4k-1)c,(4k+1)c)$ и $-1$ на $((4k+1)c,(4k+3)c)$ для $k\in\mathbb{Z}$. Вторая производная в смысле распределений:

где $\delta_x$ — мера Дирака в $x$. По формуле Ито–Танаки

где $(\beta_t)$ — стандартное броуновское движение,

$L_t^x$ — локальное время $W$ к моменту $t$ на уровне $x\in\mathbb{R}$.

Замечание 1. Процессы $(\beta_t)$ и $(V_t)$ непрерывны и обладают свойствами:

1. $V_0=0$;
2. $(V_t)$ имеет пути конечной вариации: разность двух неубывающих процессов (суммы локальных времён на разных уровнях);
3. для всех $t\ge 0$, $V_t-\beta_t=-F(W_t)\in[-c,c]$, значит $\beta_t-c\le V_t\le\beta_t+c$;
4. на $K:=\{t:V_t\lt\beta_t+c\}=[0,\infty)\setminus\{t:F(W_t)=-c\}$ процесс $W$ не достигает уровней, сравнимых с $-c$ по модулю $4c$. Локальные времена на уровнях $(4k-1)c$ постоянны на $K$, откуда $V$ неубывает на $K$;
5. на $K':=\{t:V_t\gt\beta_t-c\}=[0,\infty)\setminus\{t:F(W_t)=c\}$ процесс $W$ не достигает уровней, сравнимых с $c$ по модулю $4c$; локальные времена постоянны, $V$ невозрастает на $K'$.

По предложению 1 и единственности $(V_t)$ восстанавливается из $(\beta_t)$ так же, как $(U_t)$ из $(B_t)$. Поскольку оба — броуновские движения, $(B_t,U_t)$ имеет то же совместное распределение, что $(\beta_t,V_t)$.

Два описания через смену времени: обратные локальные времена и времена достижения.

Смена времени обратными локальными временами

Линейная комбинация локальных времён

и обратный процесс $(\sigma_\ell)_{\ell\ge 0}$:

$L_t\nearrow\infty$ при $t\to\infty$, значит $\sigma_\ell\lt\infty$ для всех $\ell$ п.н.

$L$ — аддитивный функционал броуновского движения $W$ ([6], гл. X). По сильному марковскому свойству процесс со сменой времени $(W_{\sigma_\ell})_{\ell\ge 0}$ — непрерывная по времени марковская цепь. Вариация $(L_t)$ сосредоточена на множестве времён, где $W$ лежит в $E:=\{(2k+1)c:k\in\mathbb{Z}\}$, поэтому цепь принимает значения только в $E$. Скачки только между соседними точками $E$: прыжок между несоседними $x,y\in E$ означал бы путь от $x$ к $y$ без накопления локального времени на промежуточных уровнях $E$ — событие вероятности нуль. Стартовая точка $W_{\sigma_0}$ может быть только $c$ или $-c$.

Предложение 2. Процесс $(W_{\sigma_\ell})_{\ell\ge 0}$:

1. стартует в $c$ с вероятностью $1/2$ и в $-c$ с вероятностью $1/2$;
2. прыгает на $2c$ или $-2c$, интенсивности всех возможных прыжков одинаковы по симметрии.

Интенсивность прыжков. По трансляционной инвариантности и сильному марковскому свойству вероятность отсутствия прыжка на интервале длины $\ell$ для броуновского $B$, его локального времени $L^B$ в нуле и обратного локального времени $\tau_\ell:=\inf\{t\ge 0:L^B_t\gt\ell\}$:

по независимости положительных и отрицательных экскурсий и теореме Рэя–Найта; $\mathrm{BESQ}^2$ — квадратичный бесселев процесс размерности 2. Для стандартной экспоненциальной $e$:

Сумма интенсивностей прыжков на $+2c$ и $-2c$ равна $1/(2c)$, каждая из двух — $1/(4c)$ по симметрии.

Далее

На интервале, где $W_{\sigma_\ell}$ постоянен и равен $(4k-1)c$, вариации $V_{\sigma_\ell}$ противоположны вариациям $L_{\sigma_\ell}=\ell$ (меняется только локальное время на $(4k-1)c$). На интервале, где цепь равна $(4k+1)c$, вариации $V_{\sigma_\ell}$ совпадают с вариациями $\ell$. Значит $(V_{\sigma_\ell})$ — разность времени, проведённого марковским процессом $(W_{\sigma_\ell})$ на уровнях, сравнимых с $c$ по модулю $4c$, минус время на уровнях, сравнимых с $-c$. Редукция по модулю $4c$ и деление на $c$ даёт цепь $(Y_\ell)$ на двух состояниях $\{-1,1\}$, старт равномерный, интенсивность прыжков $1/(2c)$. Тогда

Смена времени временами достижения

Последовательность $(H_k)_{k\ge 0}$:

• Если $W$ попадает в $c$ раньше $-c$ (событие $A$), то $H_0=H_1$ — первое время попадания в $c$, и для $k\ge 1$

• Если $W$ попадает в $-c$ раньше $c$ ($A^c$), $H_0$ — первое попадание в $-c$, и для $k\ge 0$ то же рекуррентное правило.

Между $H_0$ и $H_1$ процесс $V$ меняется как минус локальное время $W$ в $-c$; для $k\ge 1$ между $H_{2k-1}$ и $H_{2k}$ — как локальное время в $W_{H_{2k-1}}$; между $H_{2k}$ и $H_{2k+1}$ — как минус локальное время в $W_{H_{2k}}$. Для всех $m\ge 1$:

Член $j=0$ обнуляется на $A$, поскольку там $H_0=H_1$. Все эти приращения локального времени, кроме первого при $H_0=H_1$ на $A$, независимы и распределены как локальное время $L^B_{T_{2c}^*}$ броуновского $B$ в нуле, где

Распределение через теорему Рэя–Найта: $L^B_{T_{2c}^*}\gt\ell$ тогда и только тогда, когда ни одна экскурсия $B$ до обратного локального времени $\tau_\ell$ не достигает $\pm 2c$. Отсюда

Значит $L^B_{T_{2c}^*}$ распределено как $2ce$. Равенство по распределению для $m\ge 2$:

где $(e_j)_{j\ge 0}$ — н.о.р. стандартные экспоненциальные, $X$ — независимая Бернулли с параметром $1/2$: $X=0$ тогда и только тогда, когда $W$ попадает в $c$ раньше $-c$.

Для $k\ge 1$ величина $V_{H_{2k+1}}$ — сумма $-2cXe_0$ и $k$ н.о.р. слагаемых, распределённых как $2c(e_1-e_2)$. Они центрированы, дисперсия $8c^2$ (независимость, $\mathrm{Var}(e_i)=1$). Отсюда ЦПТ:

Предложение 3. При $k\to\infty$

по распределению.

Приращение $H_{2k+1}-H_1$ — сумма $2k$ н.о.р. с тем же распределением, что $T_{2c}^*$. По ЗБЧ п.н.

Останавливая мартингал $(B_t^2-t)_{t\ge 0}$ в момент $T_{2c}^*$, по optional sampling

При $t\to\infty$ левая часть ограничена $4c^2$ и сходится к $4c^2$, правая монотонно сходится к $T_{2c}^*$. Доминированная сходимость слева и монотонная справа дают $4c^2=\mathbb{E}[T_{2c}^*]$, откуда п.н.

Тогда

первый множитель сходится к стандартной нормали по предложению 3, второй — п.н. к 1 по (2.5). По теореме Слуцкого:

Предложение 4. При $k\to\infty$

по распределению.

Это согласуется с ЦПТ $V_t/\sqrt{t}\to N(0,1)$ при $t\to\infty$, прямым следствием неравенства $\beta_t-c\le V_t\le\beta_t+c$, где $(\beta_t)$ — броуновское движение: цена AMM в логарифме флуктуирует как броуновское, зажатое в коридоре ширины $2c$ вокруг рыночного логарифма.

Литература

1. Angeris, G. and Chitra, T. (2020). Improved price oracles: Constant function market makers. In AFT '20, pp. 80–91.
2. Capponi, A. and Jia, R. (2021). The adoption of blockchain-based decentralized exchanges. arXiv:2103.08842. ↑
3. Gobet, E. and Melachrinos, A. (2023). Decentralized Finance & Blockchain Technology. SIAM FM&E 2023. ↑
4. Milionis, J., Moallemi, C. C. and Roughgarden, T. (2023). Automated market making and arbitrage profits in the presence of fees. arXiv:2305.14604. ↑
5. Milionis, J., Moallemi, C. C., Roughgarden, T. and Zhang, A. L. (2022). Automated market making and loss-versus-rebalancing. arXiv:2208.06046. ↑
6. Revuz, D. and Yor, M. (1999). Continuous martingales and Brownian motion. 3rd ed. Springer. ↑
7. Tassy, M. and White, D. (2020). Growth rate of a liquidity provider's wealth in $xy=c$ automated market makers. ↑
8. Yen, J.-Y. and Yor, M. (2013). Local times and excursion theory for Brownian motion. Lecture Notes in Mathematics 2088. Springer. ↑

Перевод выполнен с сохранением структуры, формул и доказательств оригинала. Оригинал: arXiv:2401.01526 · Najnudel, Tung, Yamazaki, Yen · CC BY 4.0.